1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Доказательство. Зафиксируем а, Ь ~)7, В~О и рассмотрим функцию (л=(«(х), изображенную на рис. 33. Покажем, что 7' (х) г(г (х) = ~ !» (х) !(с! (х). (21) Пусть п=.О таково, что [а — е, Ь+В]«=[ — и, и], и последавательность (б„) такая, что 1)б„,')О, и- со.
Как всякая непрерывная на [ — и, п] функция с равными значениями в концевых точках, функция (»=7'(х) может быть равномерно аппрокснмирована (теорема Вейерштрасса — Стоуна) тригонометрическими полиномами, т. е. существует конечная сумма ['„(х) = ~~!' а„ехр ~(пх — ) (22) такая, что знр ( [» (х) — ('„(х) ! ~ б„.
-л~«К:,л (23) Теорема доказана. Замечание 1, Аналогично доказательству (14) устаиавливаатся, что если для некоторого п~! М ~$(л(оо, то 301 $ гк хлРлктеРистические Функции Продолжим периодически функцию 1л„(х) для всех х я)г и заметим, что зцр !~'„(х) ! Ф- 2. л Тогда, поскольку в силу (20) 1,",(х) дР(х) = ) )л (х) д6(х), то СО СО л л (л(х) дР(х) — ~ )л(х) д6(х) ~ глдР ~ )лд6~ ОС вЂ” СΠ— л л л ~ 1'„дР— ~ 1'„д6 +26„~ — л — л 1',дР— ~ 1'„д6 +2Ь„+2Р(1 — и, и))+26("1 — и, и)), (24) где Р(А)= )дР(х), 6(А) = )д6(х).
Прп и — лсо правая часть А А в (24) стремится к нулю, что и доказывает равенство (21). При е-с-0 )л(х)- 1„м(х). Поэтому по теореме о мажорируемой сходимости из (21) следует, что 1с, ю (х) дР (х) = ~ 1с ю (х) д6 (х) цс(1)оо ~ е'слдР(х) — ее характеристическая функция. а) Для любых двух точек а, Ь(а(Ь), где функция Р=Р(х) непрерывно, е ;нл е-иь Р (Ь) - Р ( ) = И ~ ., ф (1) д1; а (25) т. е. Р(Ь) — Р(а) =6(Ь) — 6(а), откуда в силу произвольности а и Ь следует, что Р(х) =6(х) для всех х ев Я. Теорема доказана. 5. Предыдущая теорема говорит о том, что функция распределения Р = Р (х) однозначно восстанавливается по своей характеристической функции чс=ср(1).
Следующая теорема дает явное представление функции Р через ср. Теорема 3 (формула обращения). Пусть Р=Р(х) — функция расссределения и зз2 ГЛ. И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕН Ь) Если ~ ! ео (() ! Ш < со, то функция распределения Е (х) иссеет плотность ) (х), Е(х) = $ сс(сс) "у е (х) ~ е-ссаср (() б( 1 Доказательство. Прежде всего отметим, что если функция Е(х) имеет плотность 7'(х), то ер(!) = ~ есс"7(х) с(х, (28) и поэтому формула (27) есть не что иное, как преобразование Фурье от (интегрируемой) функции ср(Г).
Интегрируя левую и правые части (27) н применяя теорему Фубини, получим б бГ са е!е!-е! )=)С! !е - — )() ~т;!р!а1е*- 1 2л а а -໠— ее Ьа ае После этих рассмотрений, объясняющих до некоторой степени формулу (25), перейдем к ее доказательству. а) Имеем е -с — са Р ( Р е-иа е-себ — есс" с(( с(Е(х) 2л ~~~ и — ае — Е 1 Ч"е(х) ХЕ(х), (29) где мы положили е Р Е-иа Е-иб Чс,(Х)= 2 ) ЕСС С(Г 2ла и ЗО4 Гл н мктемАтические ОснОВАния теОРии ВВРОятностеи где последнее равенство справедливо для любых точек а и (), являющихся точками непрерывности функции Р(х). Итак, формула (25) доказана.
Ь) Пусть ) (ср(!))с(! с.оо. Обозначим )(х) = — ) г-и ср(!) д!. Из теоремы о мажорируемоь! сходимости следует, что эта функция непрерывна по х и, следовательно, вна интегрируема на интервале [а, (»1. Позтому, снова применяя теорему Фубини, находим, что ь (са!с*=( —,'„() * !!а)»*- а а — с» — ( ср ()) ~ ( е-и' с(х1 дШ = 1(т — „~ ср ()) ~ ( е-!"' с(х1 с(( = са а -с а с ! !'епа — еил = 11 — „~,.
ср (Г) с(Г = Р ((!) — Р (а) 'для всех точек а н 6, являющихся точками непрерывности функции Р(х). Отсюда вытекает, что Р (х) = ~ ~ (у) сту, х еи )т, и так как Цх) — непрерывная, а Р(х) — неубывающая функции, ' то )(х) есть плотность Р(х). Теорема доказана. Следствие.
Формула обращения (25) дает другое доказательство утверждения теоремы 2. Теорем а 4. Для того чтобы компоненты случайного вектора 5 =$„..., З„) были независимы, необходимо и достапючно, чтобы его характеристическая с)ьункция была произведением характери' стических функций компонент: л Мг'('»!»+- +ел!л) — П ((!)вил!А, () ( ) е- р(л ь=! Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость следует из задачи 1. Для доказательства достаточности обозначим Р=Р(х„..., хл)— функцию распределения векторе $=($„..., 5„) и Р! (х)-функ- зоз $ !! ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ~ Е'( !'!+"'+ 'л "л) дб (Х,...
Хл) = П Г)Е 'А'и йРА (Х) = ял А=!и л = П Мень!А = Ме'(' Е Ф'"+'А!А) = ~ е'(! ' + "'+!л"л) 6Р (х,, х„). Поэтому по теореме 2 (точнее по ее многомерному аналогу; см. задачу 3) Р = О, и, следовательно, согласно теореме из 3 5, величины $„..., $, независимы. 6. В теореме 1 сформулированы некоторые необходимые условия, которым удовлетворяет характеристическая функция. Таким образом, если для функции !р=!р(1) не выполняется, скажем, одно из первых трех утверждений этой теоремы, то это означает, что рассматриваемая функция не является характеристической.
Сложнее обстоит дело с проверкой того, является ли интересующая нас функция !р= — !р (1) характеристической. Сформулируем (без доказательства) ряд результатов в этом направлении. Теорема Бохнера — Хинчина. Пусть !р(1) — непрерывная функция, (ен)т, и гр(0)=1. Для того чтобы !р(1) была характеристической, необходимо и досп!аточно, чтобы она была неотрицательно-определенной, т, е, для л!обык действительных 1„... ..., 1л и любых комплексных чисел Л„..., Лл, а=1, 2, ..., л Ч! (1! — 1!) Л!Л! ~ О 1,/=! (32) Необходимость условия (32) очевидна, поскольку, если !р(() = ~ еилдР(х), то л со л ! !р (1! — 1) Л!Л! = ~ ~ А„еол" с(Р(х) =.-О.
с, у=! — сю А=! Труднее доказывается достаточность условия (32). Теорема Пойа. Пусть непрерывная, четная и выпуклая книзу-функция ц!(1) такова, что Ч!(1)- О, !р(0) =1, !ь(1)- О при 1-л со. Тогда !ь(1) является характеристической функцией. Эта теорема дает весьма удобный способ конструирования функций, являющихся характеристическими.
Таковыми будут, цию распределения $А, ! =/г~п. Положим 0= 6(х„..., хл) = =- Р, (х,)... Р„(хл). Тогда по теореме Фубини для всех (г„... 1)е-Ял звв гл н мАтемАтические ОснОВАния теОРии ВеРОятнОстей например, функции !р! (() =е ! ' 1 — (((, (1( =1, ггь(н) = Таковой будет и функция !Р,((), изображенная на рис. 34. На интервале [ — а, а1 функция гр,(!) совпадает с функцией гр,((). Однако отвечающие им функции распределения Е, и Е„очевидно, различны.
Зтот пример показывает, что для совпадения функций распределения недостаточно, вообще говоря, совпадения их характеристических функций на конечном интервале. -а о а ! ! Рвс. 34. Т е о р е м а М а р ц и н к е в и ч а. Если характеристическая функция нр(!) имеет вид ехрнУ'(!), где ьгь(() — люлином, то степень этого полинома не может быть больше двух. Из этой теоремы вытекает, например, что функция е-н не является характеристической функцией.
7. Следующая теорема является примером результата, показывающего, как по свойствам характеристической функции случайной величины могут быть сделаны нетривиальные заключения о структуре этой величины. Теорема 5. Пусть гре(() — характеристическая функция случайной величины $. а) Если ~ср;((,) (= 1 для некоторого (ьчьО, то случайная вели2к чина $ является решетчатой с шагом й= —, т. е, гн (33) Р [е = а+,пЦ = 1, где а — некоторая константа. Ь) Если ~ !рь (() ~ = (гре (а() (= 1 для двух различных точек 1 и аг, где а — иррациональное число, то случайная величина $ является вырожденной: Р Я=а[=1, где а — некоторая константа. зот $1к КАРАктеРнстнческне Функции с) Если )<ре(1) ~ =— 1, то случайная величина $ вырождена.
Доказательство. а) Если (~ре((,) ,'=1, 1,~0, то найдется число а такое, что для этого 1, ~р ((,) =е"". Тогда еи' = ~ е" ' е(Р(х) =э 1 = ~ е" м-'>дР(х) =:о!= созт,(х — и) дР(х):=Р ~ [1 — сов(,(х — а))е(Р(х) =О. Поскольку 1 — соз(,(х — а) )О, то из свойства Н (и. 2 2 6) следует, что (Р-п. н.) 1 = соз |е (к — а), что эквивалентно соотношению (33). Ь) Из предположения ( Чь (1) ! =,' ~рь (а1) ~ = 1 и (33) следует, что Р(3=а+ — и) = ~)' Р (5=6+ — "т~=1, Если $ не является вырожденной, то тогда во множествах (а+ — ип, и=О, -+ 1, ...~ и (о+ — т, т=О, -~-1,, ) найдутся по крайней мере по две совпадающие точки: 2и 2и 2и 2и а +='- и, = Ь + — т„а+ — и, = Ь+ — т„ С иг с ви откуда 2и 2и — „" (и,— и,)= — (т, — 'т,), что противоречит предположению об иррациональности числа и. Утверждение с) следует из Ь).
Теорема доказана. 8. Пусть е=(ео ..., 2А) — случайный вектор, ФЕ (1) = Ме'сс В, г = (Г„..., тл), — его характеристическая функция. Будем предполагать, что для некоторого и~1 М($;)" (оо, 1=1...,, й. Из неравенства Гель- дера (6.29) и неравенства Ляпунова (6.27) отсюда следует, что существуют (смешанные) моменты М (~,~ ... ~~~А) для всех неотри- цательных т„..., ул таких, что т,+...+те~и. Как и в теореме 1, из этого выводится существование и непре- рывность частных производных аа1+- +~А .А ~Е( " 1) ос, ... ае,л зав, Гл и.
мАтемАтические ОснОВАния теОРии ВВРОятностеи — смешанн«и1 момент порядка н=(тн ..., Т«). Функция ~р«(г„..., Г«) непрерывна, <р«(0, ..., О) = 1, и поэтому в некоторой окрестности нуля ()(! ~ б) она не обращается в нуль. В этой окрестности существуют и являются непрерывными частные производные д« вг«1 ... д1«« где под 1п г понимается главное значение логарифма (еслн г= и'э, то !пав полагается равным !пг+(6). Поэтому !пар«((„..., 1«) может быть представлен по формуле Тейлора »«+" +'« !пав (( "° (~)= Х э,, в(' «)(,' " ° ( «+о( (,'") эд ...
««! л +...+»«~л (33) где коэффициенты в(~ "'"«1 называют (смешанными) семиинвариане тами или кумулянтами порядка т = (ч, ... т«) вектора = («. " ° е«). Заметим, что если $ и т) — два независимых вектора, то 1п «ре+ч(() = 1п ср«(()+ )п ~рч((), (36) н поэтому в( « - «) — в( « «) ! в( « - «) $+ч $ ч (37) (Именно это свойство и оправдывает название «семиинварианты» для з<" "' «).) $ Чтобы упростить запись и придать формулам (34), (35) «одномерный» вид, введем следующие обозначения. Если т=(т„..., ч«) — вектор с неотрицательными целочисленными компонентами, то положим т!=ч,! ... я«1, )т!=ч,+...+Т«, ("=(р ...
«««. Пусть также в"'=в('« "'«1 тел =и('« "«1. для Р,+...+т«(п. Тогда, разлагая <рз((н ..., Т«) в ряд Тем лора, найдем, что 'ре (( " "«) = л»+ +л« т<~1"' «Ю .„ф+о(((!"), (34) тд, .«! $ У1+ - .~-7«(л где )г'! =!(,!+...+!Т«! и т(л~ '-~«) = Ма~» ... й"« -1 " « 309 Ф и хьрхктвристичвскив етикции Тогда представления (34), (35) примут следующий вид.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
