1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 47
Текст из файла (страница 47)
(4) Наименование этого вида сходимости объясняется тем, что, как будет показано в Э 1 гл. Н! условие (4) эквивалентно сходимости функций распределения ре„(х) к функции распределения ! !о РАзные анды сходимости Рь (х) в каждой точке х, где функция Рь(х) непрерывна. Эту сходимость обозначают Р!„--» Гь. Подчеркнем, что сходимость по распределению случайных величин определяется только в терминах сходимости их функций распределения. Поэтому об этом виде сходимости имеет смысл говорить и тогда, когда случайные величины заданы на разных вероятностных пространствах.
Этот вид сходнмостп будет подробно изучаться в гл. 111, где, в частности, будет объяснено, почему в определении сходпмсстп Ре„-эрь требуется сходнмость лишь в точках непрерывности функции рь(х), а не для всех х. 2, В математическом анализе для решения вопроса о сходимсстн (в том или ином смысле) заданной последовательности фушсций оказывается полезным понятие фундаментальной последовательности, илп последовательности Коши.
Введем аналог;юные понятия для первых трех рассмотренных видов сходпмости последовате.тьностей случайных величин. Будем говорить, что последовательность случайных величин (еа)„» ! фундаментальна по вероятности, с верояп!ность!о единица и в среднем порядка р, 0 ( р ( со, если выполнены соответственно следующие условия: для любого е 0 Р ( , '~„— $ (е) — ~0, и, т-~со, последовательность Д„(о!))„»! фундаментальна для почти всех ео ~ Зг, последовательность функций Я„(оь))а» ! фуНдаМЕНтаЛЬНа В СМЫСЛЕ ЕР, т. Е. М ! $„— Ре,„!Р— О, П, т-и.со.
3. Теорема 1. а) Для того тпобы $„-~.я (Р-п. н.), необходимо и достаточно, чтобы для любого е„»0 Р(зцр ~йь — Е~'.=-Е! -е-О, П-лСО, (5) (А»а'" Ь) 1!оследовап!ельность (я„)„»! фундаментальна с вероятное!пыо единя!(а тогда и только тогда, когда для любого е.»0 Р(впрячь — о!! -е) — иО, и-+-со, (б) ь»л !»л или, что эквивалентно, Р(знр (й„,а — $„,1=»е) — ~0, и-!-Со.
(2) А>О Доказательство. а) Пусть Ае=(оо! /$„— Я!==Е), А' = =1нп А'„П (.) Аь Тогда а=!А»л о„»г,о) ( ) Ае Ц А!! е»о и=! 270 ГЛ. и, МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТСП Но Р(А')=ВгпР( Д Аел) л 1А л поэтому утверждение а) является результатом следующей цепочки имплпкаций: О=Р(: ~„~Ц=Р~Ц А '1<=>Р( Ц А -)=О<=> С=-> Р (А1/ ) — О, /и =- 1 Е=,> Р (А') = О, е ) О С:=> с,'=-.>Р(/ /()/ А') О, и ООС=:>Р(зир($~ — $ (~е) О, и л>.
'1А --л /' А)л Ь) Обозначим Вле /=(ьи ($А — $/,')е), В'= П () Ве ь л = 1 / -.- л /)л Тогда (ы; Д„(ь>))„~1 не фунданен/птльнп) ( ) В', и так же, е>0 как в а), показь/вается, что Р /оп (ее„(е>)';„~1 не фундаменл/альна/) —— = Ос=О/'6). Эквивалентность же утверждений (6) и (7) следует из очевидных неравенств зор/$лле — ьл,'==51/р,'алле $лл/' ---25нр, Йл/л 'л 1. А -О /==5' ' е.о /)> Теорема доказана.
Следствие. Поскьс/ьку Р ',5нр ~ „— 81=- е) = Р 1/ О (. й/. — 1 ' =- е)) == ~ Р / ( ел — с '-=е), /,*- л то выполнен1.е для каждого е ) О условия У, 'Р(~~А — В~=-г) (~ А=1 (8) достаточно для сходимости с„-"-' — 'Ес.
В связи с условием (8) уместно сейчас отметить, что положенные при его выводе рассуждения позволяют установить следующий простой, но важный результат, являющийся основным средсгвом при исследовании свойств, выполня/ощнхся с вероятностью единица. Пусть А,, А„ . „ — некоторая последовательность событий из У . Напомним (см. Табл. в Е 1), что через (А„б.ч.) обозначается собьпне 1ип Ал, состоящее в том, что произойдет бесконечно много собьпий из А„А.„.„ й 10 РАЗНЫЕ ВИДЫ СХОДИМОСТИ Лемма Вореля — Кантелли.
а) Если ~Р(Ал)(оо, то Р(А„б.ч.)=О. Ь) Если ~;Р(Л,)=со и события Аы А..., незасасимьс, то Р (А „б.ч.) = 1. Доказательство, а) По определению (А„б. ч)=!ип А„п Ц АА. пгы А»л Поэтому Р(Лп б. ч.)=Р((1 Ц А>1=1!шР(Ц АА~~!(ш 'У, 'Р(А,), (л=> А»л ) 1А»л ! А»п откуда и следует утверждение а). Ь) Если события А„А„... независимы, то таковыми >ке будут и события А„АРл ....
Тогда для любого Ф"-»и Р!П А ПР(~) А=п А=п откуда нетрудно вывести, что сл лл Р( П Л;=И Р(А) А =и, Л=-л В силу неравенства !од(! — х)» — х, О-=.х(1, 1ое Ц [1 — Р (АА)) = ~~ ! од (1 — Р (Л> )) ( — У Р (ЛА) = — со. и .и Ф вЂ” ~ й=л Следовательно, для любого п Р, (1 А)=о ~,л=л и, значит, Р(Лп б.
ч.) =1. Лемма доказана. Следствие 1. Если Л„'=(ес (5„— с)~е), то условие (8) означает, что 5', Р(А.') (со, е) О, и по лемме Бореля — Капп=1 телли Р(Л') =О, е) О, где А'=!Ип Л„'. Тем самым Х Р ( ! 8А — $ ! = е) ( со, е - О =:З Р (А') = О, е)Ос=о Р(ен Е,-А $) =О, что уже отмечалось выше. йтй Гл ц мхтвмхтическпе основания теоепи Веяоятиостеп Следствие 2. Пусть (е„)„~! — последовательность положительных чисел таких, что е„.) О, и- со. Тогда, если ~", Р(,'$„— «~~е„) ~со, а=! (!О) Лок а вате льет в о. Утверждение (11) следует из сравнения определения сходимости по вероятности с критерием (5), а импликация (12) — из неравенства Чебышева. Для доказательства (13) пусть !1(х) ~~с, е- 0 и Л! таково, что Р(~«)) Л) ~е!4с.
Выберем 6 таким, чтобы для всех )х)( Ф и ~ х — у !:~= 6 было выполнено неравенство !Г (х) — 1(у) ~ ~ е)4с. Тогда (ср. с доказательством теоремы Вейерштрасса в и. 5 з 5 гл. 1) МУ(Б.) — Р(Б)~=МИ(«„) — Р(«)~; ~«.— 3~-6, ~«~ Л')-(- +М(~~(«.) — )'(з).'; ~Ь.— «~~б ! Б~) й))+ + М (! ) ($„) — ) («) !; , '«„— $ / = 6) -=. (е)2+а)2+2сР (, $„— « ~) 6) = е-1-2сР (,' $„— «,') 6).
Но Р () $„— «)) б)- О, поэтому для достаточно больших и М|!'($„) — ~(«)~«"-2е, что в силу произвольности е)0 доказывает импликацию (13). Теорема доказана. Приведем ряд примеров, показывающих, в частности, что в (11), (12) обратные импликации, вообще говоря, несправедливы.
Пример 1. («„— "$4>«„"— "$; «„— '«4>$„" — "«). Пусть 11 = =!О, 11, У'=-Л(10, Ц), Р— мера Лебега. Положим „л Тогда последовательность случайных величин д): «я «э! Й!, $1 ъв', " ) то $„"— ' — '$. В самом деле, пусть А„=(߄— «,'~е„). Тогда по лемме Бореля — Кантелли Р (А„б. ч.) = О. А это означает, что для почти каждого исхода о! ен 11 найдется такое А! =А! (е!), что для п~Л'(о!) ~«„(е!) — $(о!)) =е„. Но е„ф О, поэтому «. (!о)-;-(с!) для почти всех !о ен э). 4.
Теорема 2. Ил!е!от л!есто следующие импликацисц $. "— "' $ =о $. — ' Ь сР $.-$~$.— -«, р)0, $„~ $==э «„~ «. 273 $ !ь ! и!ые В!!Ды сход!!мости сходится и по вероятности, и в среднем порядка р ) О, но не сходится ни в одной точке «! ~ 10, 1]. Пример 2. (с„— "' "'С=:ЭС„-'-Суьь„~ й, р)0), Снова пусть 0=10, 11, У =.%(!О, 1!), Р— мера Лсбега и е", 0 =ео =1/и, йн («!) = О, ео >!/и. Тогда последовательность <ь„) сходится с вероятностью едииипа (и, следовательно, по вероятности) к нулю, однако для любого р)0 ене м!~„!' =— и Пример 3, (~„~ ~ ~ь с„— "' —" ~). Пусть ($„) — последовательность независимых случайных величин с Р (с„=! ) = р„, Р Я„= 0) =! — р,.
Тогда нетрудно установить, что с„~ Оьь р„- О, и-!-оо, се $и — 0 ьь р„— н0, и-~-оо, $„— "' — ' 0 ь: ~ р„со. (14) (15) (16) и =! си п. н. В частности, пРи Рн=!(л „— 0 дла любого Р)0, нос, тс,'О. В следующей теореме выделяется один интересный случай, когда из сходимости поч!и наверное следует сходимость в смысле (.!. Т е о р е и а 3. Пусть (с„) — носледоеательносл!л неотрииательных случайных величин таких, что с„— ' — $ и Мь - Мс н со. Тогда М<5„— $,'- О, и- со. (17) Доказательство. Для достаточно больших и М$„<со, г!оэтому для них М!~ — ~„< =Ма — ~„) 7(„, ) ) М(~„— Р7(е„,) = =2М(5 — ь„) 7!н..н„)+М(ь — 5).
Но 0(я — ~„)! (, 1(ь. Поэтому по теореме о ма>корируемой сходимости И!и(с — $„)! 1„, ) =О, что вместе с предположением М$„- М$ доказывает (17). Замечание. Теорема о мажорируемой сходимости справедлива и тогда, когда в ней сходимость почти наверное заменяется 2>4 гл и мьтамхтичсскиа основлния таовии вавоятностап ( 1!ш «„(ь>), н е=й,ы>, В(ы) =4 о, ь> я «Л". (18) Так определенная функция является случайной величиной и, очевидно, $„—" — "$ Теорема доказана. Прежде чем переходить к случаю сходимости по вероятности, установим следующий полезный результат. Т е о р е м а 5. Если последовательность Я„) фундаментальна (сходится) по вероятноспш, то из нее можно извлечь подпоследовап<ельность Д, ), фундаментальную (сходяьцуюся) с вероятностью единица. Лок а вате льство.
Пус.<ь последователып>сть Д„) фундаментальна по вероятности. В силу теоремы 4 достаточно доказать, что из пее можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся почти наверное. Положим и, = 1 и по индукции определим п», как то наименьшее п ) и» „, для которого при всех в ~ и, ! ~ п Р ( ! 5< — $» ! ) 2 ') ( 2 ' Тогда ~ Р ( ! 5,» „, — $.»1 ) 2» ) ~ У, 2» ( со на сходимость по вероятности (см. задачу !).
Поэтому в теореме 3 сходнмость <4„— ""'5» можно заменить на сходимость «$, — в». 5. Из математического анализа известно, что всякая фундаментальная числовая последовательность (х„), х„ев Д, является сходящейся (критерий Коши). Приведем аналогичные результаты для сходимости последовательности случайных величин, Теорема. 4 (критерий Коши сходимости почти наверное). Для того чтобы последовательность случайных величин Д„),» < была сходяи(ейся с вероятностью единица (к некоторой случайной величине Е), необходимо и достагпочно, чтобь< она бьта фундаментальна с вероятноспгью единица. Лок аз ател ьст во.
Если $„— "' — '5, то зпр !й — Ь~ ~ -зцр 1Ь вЂ” 5! +зпр !Ь вЂ” $! »)л »» <-"ь <)» откуда вытекает необходимость условия теоремы. Пусть теперь последовательность Я„), ) < фундаментальна с вероятностью единица. Обозначим в«<" = (м: Я„(ь>)) не фундаменпгальная!. Тогда для всех ь> ев 1г,е,Ф числовая последовательность Я„(ь>))„»< является фундаментальной и, согласно критерию Коши для числовых последовательностей, существует 1нп 5„(ь>). Положим $ !0 Рязиыв Виды сходпмости й по лемме Бореля — Кантелли Р( ~$АА, — $ь ~= 2-Абль) =О.
Поэтому с вероятностью единица Х ($ь„! — $ья ~ С О. А=! Пусть в4"=(сь: ~~~$ль~,— я,я(=ж~. Тогда, если положить ~ $„, (сь) + У', ($,'"0!э ! — ~„, (сь)1, 00 е= 11 !оя"! ~()=~ " О, 00 Е= ья! ! о!куда ясно, что 2ь н 0. Теорема доказана. В связи со сходимостью в среднем порядка р) 0 сделаем прежде всего несколько замечаний о пространствах 1.0. Будем обозначать через Е" = УУ (11, ,г, Р) — пространство случайных величин "= $ (сь) с М ( ~,т =— ~ ~ , "Р дР , оо. Предположим, что р= 1 и положим 161,=(М~Б~ )" . Ясно, что Д) '»о, ( с~,:!р —— ( с !1 $ („„с — постоянная, (20) (21) то получим $л, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
