1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Теорема 2 (теорема Иоясску Тулчи о продотжении мегы и сущес!всваиии случайной последователю!Ости). Пусть (О„,,У „), п = 1, 2, ..., — к!роизвольнь!е !галери,иые простронсв!ва и 11 = = Ц 0„, г = , '-., -к „. Вредполозг!!л!, чп!о на (11„,У !) задана веролтносптия вера Р, и для казеоого набора (га,, ..., Вк„) !в: ен 1)кх...хй„п -- 1, на (Ркк!, Ук„'! заданы еерояп!постные меры Р!га,, ..., ак,; ).
Будем предполигита, яо!о Р(що,.., а!к; В) д,!я коясдого В =:У„„, являюо!ся боре.!есск!! яи фгТнкг(ия,ии сп! (а~!,... ак„), и ги кпь Р„(Л, х... х Л,) = =- ~ Р,(д!а,) ~ Р(а!!; д!а,)... ~ Р(а!„..., а!„!; аа!„), (В) л„ А, ~,У'!, п --- 1. Тогда но (11,;.. ) сеи(естау!от единственная веротипносгпная мери Р и!акоя, !!Но для л!обого и==1 Р(ап м, еп А„..., а! ен А,) =Р„(Л,х...хА,), ((б) и случайная последовстельность Х =(Х, (а!), Х,(а!), ...) такая, чп!о Р(ан Х!(а!) Еп А,..., Х„(га) ~А„)=Р„(Л,х...хА„), (11) где А! ЕНЮ!. Доказательство.
Первый шаг в доказательстве состоит В УСтаНОВЛЕНИИ ТОГО, ЧтО ДЛя КаждОГО и) 1 фУНКцИЮ МИОжЕСкв Р„, заданную иа прямоугольниках А,х...хА„с помощью равенства (9), можно продолжить иа о-алгебру У Т(х~...~х.7 „. 265 э о постРОсние пРОцессА С этой целью для каждого и -- 2 и В е- :.Р> (х)... Я .» „положим Р„(В) = $ Р>(йо>) ( Р(го,; дао) $ Р(го„..., а„,; йо„>)х г Я ( ) л-> 12 х ~ (а(а„..., а„) Р(а„..., а„,; йол). и„ Нетрудно видеть, что для В= А,х...хАл правая часть в (!2) совпадает с правой частью в (9).
Кроме того, для и =2, так же как и в теореме 8 9 6, устанавливается, что Р, является мерой. Отсюда по индукции легко устанавливается, что Р„являются мерами для произвольного г>еь2, Следующий шаг в доказательстве такой же, как и в теореме Колмогорова о продол>кении меры в (В, л%(В )) (теорема 3 ~~ 3). А именно, для всякого цилиндрического множества зл (В) = = (а-. Рп (о>„..., а„) С.=В), Ве==.»,Я...Я.»„, определюл функ>Оно множеств Р с помощью равенства Р(Ул(В»= „(В). (13) Используя (12) и то обстоятельство, что Р(а„..., а»; ) являются мерами, нетрудно установить, что Определение (13) корректно в том смысле, что значение Р (У„(В)) не зависит от способа гредставления цилиндрического множества.
Отсюда вы~екает, что функция множеств Р, определенная в (13) для цилиндрических множеств и, очевидным образом, на алгебре, содсржащей все цилиндрические множества, является на этой алгебре конечно-адднпгвной мерой. Осгается проверить ге счетную аддитивность на этой алгебре и затем воспользоваться те>ремой Карагеодорн. В геооеме 3 ч 3 осуществление указанной проверки основы- ВаЛОСЬ Па тоМ СВОйетВЕ ПРОСтРаНСтВ (йл, л%Д")), ЧтО ДЛЯ Каждого борелевского множества В можно . найти компакт А: — В, вероятностная мера которого сколь угодно близка к мере множества В. В рассматриваемом случае этот момент доказательства видоизменяется следующим образом. Пусть, как и в теореме 3 2 3, (В„)„-г — последовательность цилиндрических множеств В,=(еи (а„..., а„) ~ В„), убывагощих к пустому множеству г)>, но ! Цп Р (В„) ) О.
(14) Из (12) для и~ 1 Р (В ) = ( Г'А' (а ) Р (г(а>) и, 266 Г.ч и, мАтемхтические ОснОВАния теОРии ВеРОятнОстей где !')'(о»с) = $ Р(со»' с(со»)" ~ 1в,(о»»* .».» о»л)Р(ыо " » о»л-с! с(о4). Поскольку В„„, с=. В„, то В„„= В„Х Р,сс и, значит, 1В„., (о»„ ь,„) =-"1а„(о»», ..., со,)!и„,, (о»„,»»). Поэтому последовательность функций (1„"(о»»))„~с является убывающей.
Пусть !сн(о»с) =» 1!И»1„"(о»»). Тогда по теореме о мажорируемой сходимости »» !ип Р (В„) = 1» тп ~ 1,'" (о»с) Р, (с(о»с) = ~ !си (о»с) Р, (йос). По предположению 11гп Р(В„)- О. Отсюда следует, что найдется такое со» ~ В, что 1'»» (со») ) О, поскольку, если точка о»с ф В„ то 1„"(ы,) ==О для всех пта 1. Далее, для п 2 '» ( )!»(»1 (о) (15) о Где !';.'(со,) = 1 Р(о»», с»,; с(со,)... б» ... ~ !В„(со), о».„...„и„) Р(о»»", ыи ..., о»о н с(с»„). о Как и в случае госледоватсльности (1„" (о»»)), устанавливается, что последоеа»ельность с»1„-' (о»о)) является убывающей. Пус»ь 1»и(соо) =- 1!п» )„»'(соо), Тогда пз (15) следует, что и л О(!си(ы») = ~ !со»(соо) Р(со»", с(о»с), с» и найдется такая точка со3 се йи что 1»И (со3) ) О.
При этом (о»», о»3) ~ В,. Продолжая указанный процесс, получим, что для любого и найдется точка (со",, ..., со,",) е—: . В„. Следовательно, точка (со",, „., о»,'„...) с=() В„, но в то же время, по предположению, () В„= ф, Полученное противоречие показывает, что 1!»п Р(В„) = О. »» Итак, утверждение теоремы в части, касающейся существования вероятностной меры Р, доказано. Заключительная часть очевидным образом следует из предыдущей, если положить Х„(со) = =о», и 1. Следствие 1. Пусть (Е„, 6„)„~» — произвольные измеримые пространства и (Р„)„~ » — вероятностные меры на них.
Тогда суще- ! и возные виды сходимости ствуют вероятностное пространство (!1, "г", Р) и семейство независимых случайных элементов Х„ Х„, ... со значениями в (Еы 6,), (Е„ Жо)...,, соответственно такие, что Р (еп Х„(со) ен В] = Р„(В), В а 8„, п ) 1: Следствие 2. Пусть Е=(1, 2, ...], (ро(х; д)] — семейство неотрицательных функций, й =о 1, х, у ен Е, таких, что ~х~ р„(х; у)=1, хенЕ, й=-1. Пусть, кроме того, л=л(х) о~ е распределение вероятностей на Е(л(х) ==-:О, ~х~ л(х) =1). оев Тогда существуют вероятностное пространство (!у, Х, Р) и семейство случайных величин Х = Д„ $„ ...] на нем такие, что Р (во=х„Ес =х„..., $„=х„] = =л(хо)рс(хо х,)...р„(х, „х„) (16) сер.
с (1.!2.4)) для всех х, ееЕ и и) !. В качестве Р можно взять пространство (У = (ев со = (хо х„...), х, ~ Е), Последовательность случайных величин Х=(ео, е„...], удовлетворяющих условшо (16), называют марковской с)еиою со счетным множеством состояний Е, с матрицами переходных вероятностей (ро(х, у)] и начальным распределением вероятностей л. (Ср. с определением в й 12 гл. 1.) 4. Задачи.
1. Пусть О = !О, 1], Х вЂ” класс боре. тевских множеств на !О, 1], Р— мера Лебега па (О, 1]. Показать, что пространство (!У,,T, Р) является универсальным в том смысле, что для любой функции распределения Е (х) на (!1, У, Р) можно так определить случайнуо величину $ = $(со), что ее функция распределения Ее(х) = = РД(х) совпадает с функцией Е(х). (Указание. $(со) = =Е-'(со), 0< со<1, где Е-'(со) =зцр (х: Е(х) < со), когда 0< < со<1, а Е(0), в(1) могут быть взяты произвольными.) 2.
Проверить согласованность семейств распределений в след. ствиях к теоремам 1 и 2. 3. Вывести утверждение следствия 2 к теореме 2 из теоремы !. 5 10. Разные виды сходимости последовательностей случайных величин 1. Как и в математическом анализе, в теории вероятностей приходится иметь дело с разными видами сходимости случайных величин.
Ниже будут рассмотрены следующие основные виды схо- 268 Гл и мьтемлтические Осиовлиия таОРии ВВРОятиостеп димости: по вероятности, с вероятноспгью единица, в среднем порядка р, по распределению. Начнем с определений. Пусть 4, е„$„...— случайные величины, заданные на некотором вероятностном пространстве (О, У, Р).
О и р е дел е н и е 1. Последовательность сл) чайных величин е„ь„... называется сходящейся го вероятности к случайной величине е (обозначение: ь„~ е), если для любого е)0 Р ( ! $„— е ! ) е) — э- О, и -~ оо, (1) С этим видом сходимости мы уже встречались в связи с законом больших чисел в схеме Бернулли, утверждающему, что Рт' ~ —" — р ~ ) е) -г-0, п -~ со (см, обозначения в 8 5 гл. !). В анализе этот вид сходимости принято называть сходимостью по мере.
Оп р еделен и е 2. Последовательность случайных величин е„ем ... называется сходящейся с вероятностью единица (почти наверное, почти всюду) к случайной величине $, если Р гвя $„-у' Ц=О, (2) т. е. если множество исходов ы, для которых с„(гь) не сходятся к $(ы), имев~ нулевую вероятность.
Этот вид сходимости обозначают следующим образом: ь, -« ь, (Р-и. н.), или $„-"л-"-и в, или ь„-"' — '$. О п р е д е л е н и е 3. Последовательность случайных величин $„8„... называется сходящейся в среднеи порядка р, 0(р ж, к случайной величине $, если йй ! й„ вЂ” й ! 0, ('Ъ) В анализе этот вид сходимости называют сходижостью в сиысле е, .
В этой связи (3) обычно записыва!от в виде ь — е. В частном случае р=2 эту сходимос!ь называют также сходимостью в среднелг квадратическолг и пишут с =1. !. ш. 8„(!. 1. гп. — сокращение от !(шВ гп пеап — сходимость в среднем). О п р е де л е н и е 4. Последовательность случайных величии называется сходящейся по распределению к случайной величине $ (обозначение: Е„~.$), если для любой ограниченной непрерывной функции )' =)'(х) М) (й.) - М) (ьь), и - о~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
