1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 73
Текст из файла (страница 73)
С этой целью положим л л Рм (Л) ~ 1д (т) е(т, Ри (Л; х) = ~ ~и (т", х) ~И, где Ь(т; х) — периодограмма, построенная по (х„х„..., х,,) Из доказательства теоремы Герглотца 5 1) следует, что для любого и е= Б л л ~ е'"дР,(Л) ~ е'хлдР(Л). Отсюда (ср. со следствием к теореме 1 ч 3 гл. !1!) следует, что Рм — ~Р, т. е. Рх (Л) сходятся и Р(Л) в каждой точке ненрерыз ости функции Р(),). Заметим, что для всех /и1(Ф л е'лДР;(Л $)=)~.(и ~)(1-'— "!' Поэтому, если предположить, что Фи(и; в) сходятся с вероьтно- стью единица к )т(и) при У -со, то тогда л л $ е™БАКР,д(Л; й) — ~- $ е'хле(Р(Л) (Р-п. н.) и, значит, (Р-п.
и.) Рл(Л; 5) =>Р(1,). Отсюда нетрудно вывести (переходя в случае необходимости от последовательностей к подпоследовательностям), что если )1и(и; $)-+.)т(и) по вероятности, то тогда н Ри(Л; $)==эР(Л) по вероятности, 4. Задачи. 1..Пусть в схеме (1,5) величины е„ а4" (О, 1). Показать, что для любого и и У- со (й! — и)ОР (и; в) 2 ~ (!+е 'ль) р(л) е(л, — л 437 э з ехзложенив вольдх 2.
Установить справедливость формулы (16) и следующего ее обобщения 2/э (О), Л = ч = О, 4- л, 1!т сочту(Л; ~), ~э(т; ф))= ('(Л), Л=ч~О, -+ л, О, Л-.~ '+ е. й 5. Разложение Вольда 1. В отличие от представления (3 2) дающего разложение стационарной последовательности в частотной области, рассматриваемое ниже разложение Вольда действует во временной области. Суть этого разложения сводится к тому, что стационарная последовательность с = ($„), л ен У„ представляется в виде суммы двух стационарных последовательностей, одна из которых полностью предсказуема (в том смысле, что ее значения полностью восста-.
навливаются по «прошлому»), а вторая этим свойством не обладает. Введем прежде всего некоторые обозначения. Пусть Н„Я) = = Е' Д") и Н ($) = 1.' (5) — замкнутые линейные многообразия, порожденные величинами ч" =( 5 -о 5 ) и ь=( ь -1 ь ° ) соответственно. Пусть также Очевидно, что Для любого элемента и ~ Н Я) обозначим через л„(71) = Й (т) ! Н„Я)) проекцию элемента т) на подпространство Н„($) (см. $ 11 гл.
П). Будем обозначать также Каждый элемент т) ен Н ($) можно представить следующим образом: Ч = л- (Ч) + (4) л — (т))) где ~) — л (т)) 1 л (4)). Поэтому пространство Н($) представляется в виде ортогональной суммы Н ($) = Я (в) Щ )х (Ц, 4зз гл. чь сткционкгныв слтчквные послвдовктвльности где 5 ($) состоит из элементов й (Ч) с Ч я Н($), а Й(в) — из элементов вида Ч вЂ” и — (Ч) Всюду в дальнейшем будем предполагать, что М$„=0 и 0$„) ) О. Тем самым пространство Н($) заведомо является нетривиаль. ным (содержит элементы, отличные от нулевого). Определение 1.
Стационарная последовательность В=($„) называется регулярной, если Н (й) = Л (3), и сингулярной, если Н (э) = 5 («). 3 а мена н не. Сингулярные последовательности называют также детерминированными, регулярные — чисто или вполне недетерминированныл«и, Если 5 Я) есть собственное подпростраиство пространства Н(«), то последовательность «называют недетерминированной. Теорема 1, Всякая стационарная в широком смысле случайная последовательность $ допускает и притом единственное разложение 3л=$4+э', (1) где «' = («„') — регулярная, а в' = ($'„) — сингулярная последовательности.
При этом $' и $' ортогональны ($„' 1 $,'„для всех и и п1), Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению положим $', = М («„/5 («)), Поскольку й„' 1 5($) для любого п, то 5($') 1 5($). С другой стороны, 5 (в«) ы 5 ($), и, значит, 5 (««) тривиально (содержит лишь случайные величины, совпадающие почти наверное с нулем). Сле- довательно, процесс $' является регулярным, Далее, Н„($): — Н„($') Я Н„($') и Н„(э'): — Н„($), Н„($') «:— = Н, ($). Поэтому Н„(«) = Н„($') Я Н„(«'), и, значит, для любого п 5 Я) Н„(Г) Я Н„й').
(2) Поскольку «„' 1 5($), то из (2) следует, что 5 ($) «: — Н, ($'), и, значит, 5(э) ы 5(й') с:-Н(в'). Но $'„~5(в), поэтому Н($') я ы 5($) и, следовательно, 56) =5(Р) =Н(Г), что означает сингулярность последовательности $'. Ортогональность последовательностей ~' и $' следует очевид.
ным образом из того, что в~, я 5(в), а $,' ) 5 (в). 439 % Х РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЛЬДА Докажем теперь единственность разложения (1). Пусть $„= = Ч,'+Ч„', где Ч' и Ч' — регулярные и сингулярные ортогональные последовательности. Тогда, поскольку Н„(ч') =Н(ч«), то Нв Я) = Н (Ч') В Н«(Ч') = Н (Ч') О+ Н (Ч'), и поэтому 5($)=5(Ч')9Н(Ч«). Но 5(Ч') тривиально и, значит, 5Е=Н(ч ) Поскольку Ч«енн(Ч«) = 5($), а Ч„' ) Н(Ч') = 5(9), то М(9,15($)) = М(Ч'„+ Ч'„~5ф) = т)„', т. е.
совпадает с ~'„, что и доказывает единственность разложения (1). Теорема доказана. 2. Определение 2. Пусть 5=Я„) — невырожденная стационарная последовательность. Случайную последовательность е = (е») назовем обновляющей последовательностью (для $), если: а) е =(г„) состоит из попарно ортогональных случайных величин с МЕ„=О, М~е„(»=1; Ь) Н„Д)=Н„(г) для любого и е= Е. Замечание. Смысл термина «обновление» обусловлен ассоциацией с тем, что г„ы как бы привносит новую «информацию», не содержащуюся в Н„($) (иначе — «обновляет информацию» в Н„(Д, которая необходима для образования Н»ы(9).
Следующая важная теорема устанавливает связь между введенными выше (пример 4 в 91) последовательностями одностороннего скользящего среднего и регулярными последовательностями. Теорема 2. Для того чтобы невырожденная последовательность $ была регулярной, необходимо и достаточно, чтобы наи«лись такая обновляющая последовательность е=(г„) и последовательность комплексных чисел (а„), п)0, с,У, (а„)»(ОО, чтв (Р-п. н.) «О ОЭ $„= ~ а»а„». (3) »=о Локазательство.
Необходимость. Представим Н„(9) в виде н„(й) =н„,(й)ев„(й„), где В„($„) есть пространство случайных величин вида р $„, где )1 — комплексные числа. Пространство Н„(9) не может совпадать с Н„,Я) ни при одном и. В самом деле, если при каком-то и В„Я„) тривиально, то в силу стационарности тривиальными будут пространства В»(9„) при всех й, а, значит, тогда Н($) =5($), что противоречит предположению о регулярности последовательности с.
Итак, пространство В„Я„) содержит заведомо хотя пы один 440 гл уъ стАциОнАРные случАйные пОследОВАтельности ненулевой элемент, скажем, пл. Положим пл ъ!' ГдЕ !! Т)л 1~' = М ! Пл (' ) О. Для фиксированных и и й)О рассмотрим разложения Н„Д~.=Н„„(й) О) ВИ,„,Д..,.) В ... 03 В.
(Е„). Тогда ел „, ..., ел образуют ортонормированный Вл „1 (С„-АН) Ст!... 0 Вл (Ел) И Ф вЂ” ! $л,~~ Оуел-/ + Пл-А (Ьл)~ !=о базис в (4) где ат — М$„е„п В силу неравенства Еесселя (!1.1!.б) '5', ! ат !' ==.!$„11' ( со. !=о Отсюда следует, что ряд,5, 'атал, сходится в среднеквадратическом 4=о смысле, и в силу (4) для доказательства (3) осталось лишь доказать, что л„А($„) — -О, й- оо. Достаточно рассмотреть случай и =О. Поскольку А и „=и„+ У',(и; — и;„), а слагаемые, участвующие в сумме, ортогональны, то для любого й)0 Х~~--.-'--1 =1х('- -'-") = ~=о 1л=о =~!п.— Р 4(!Ь(!'~ Поэтому существует (в среднеквадратическом смысле) предел 1цп и „. Для каждого й и А ен Н,($), и, значит, рассматриваемый предел должен принадлежать подпространству П Н А(е) = О ($). АЛ:О Но по предположению 5 ($) тривиально, и поэтому и А ~-О, й- Оа.
Достаточность. Пусть невырожденная последовательность| допускает представление в виде (3), где е=(ел) — некоторая ортонормированная система (не обязательно удовлетворяющая условию Нл($)=Н„(е), лыУ). Тогда Нл($)ыНА(е) и, значит, В($)= 441 Э э г»вложение вольд» = П Н» Я) «: — Н„(е) для любого и.
Но е„«, 1 Н„(е), поэтому е„ы ! 5 Д) и в то же самое время а =(е„) является базисом в Н($). Отсюда следует, что подпространство 5 Я) является тривиальным, и, следовательно, последовательность ~ регулярна. Теорема доказана. Замечание. Из проведенного доказательства следует, что невырожденная последовательность $ является регулярной тогда и только тогда, когда она допускает представление в виде одностороннего скользящего среднего ь«= ~ а«й -ю «=о (5) где й=--(е„) — некоторая ортонормированная система, которая (это важно подчеркнуть!) не обязательно удовлетворяет условию Н„(а) =Н„(е), пвэл.. В этом смысле утверждение теоремы 2 говорит о большем, а именно о том, что для регулярной последовательности $ найдутся такие а=(а„) и ортонормированиая система е = (е„), что наряду с (5) будет справедливо представление (3), для которого Н„Я) =Н„(е), и в= Е.
Из теорем 1 и 2 непосредственно вытекает Теорема 3 (разложение Вольда). Если а = Я„) — невырожденная ста«(ионарная последовательность, то $„= ~'„+ ~ а«е„„ (б) еде ~х, ~ а«!' ( со и е = (и„) — некоторая обновляюи4ая последова«=о тельность (для $'). 3.
Смысл введенных выше понятий регулярной и сингулярной последовательностей становится особенно ясным при рассмотрении сгедующей задачи (линейной) экстраполяции, для общего решения которой оказывается весьма полезным использование разложения Вальда (5). Пусть Н, (а) = Р К«) — замкнутое линейное многообразие, порожденное величинами $»=(..., $ и а»). Рассмотрим задачу построения оптимальной (в среднеквадратическом смысле) линейной о«4енки й'„величины $„по «прошлым» наблюдениям а«=(..., $-», $»). Из $ 11 гл. 11 следует, что 442 гл.
у! стАциОБАРные случАйные пОследОВАтельнОсти (В обозначениях п. 1 $„=по($„).) Поскольку е' и $«ортогоиальны и Но(с) =Но(е') 63 Но(е'), то с учетом (б) находим ~„=-МЯ„*+~'„,Н,(Р) =Мй'„~Н,а)+Мй„'~Н,Е)= = М й'. ! Н й') В Н, й')) + М й:: Н ($') О Н й')) = =м(в'.!н.й'))+мй н.й'))= = $„' -,'- М ( ~ч~ а,е„» ! Но ($")) 'а=о В (6) последовательность е = (е„) является обновляющей для о' = = ($„') и, значит, Н,(е') =Н,(е). Поэтому ОЗ ОЭ $,=1'+М! ~х~ а»е„»)Но(е) ! — — е'„+ ~', а»е„» '!»=О ! и среднеквадратическая ошибка предсказания $» по Ео = (..., с „Зо) равна о — 1 О««=М!е — Е»! = ~ 'а»,!» (9) Отсюда вытекают следующие два важных вывода. а) Если последовательность е сингулярна, то для любого и=г! ошибка (экстраполяции) о„' равна нулю, иначе говоря, возможно безошибочное предсказание $„по «прошлому» Г=(..., е „ео).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
