1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 72
Текст из файла (страница 72)
»-! $„,+! = — ~ Ь„!л„+р„е « !+! 1=» (39) ! — ! где р»=а„р!=а!» —,У', р»б!-» »=1 й 4. Статистическое оценивание ковариациониой функции и спектральной плотности ! ъ» »и»!(х) = — 1» х„. Тогда из элементарных свойств математического ожидания следует, что эта оценка является «хорошей» оценкой величины и! в том смысле, что «в среднем по всем реализациям х„..., кл»» она является несмещенной, т. е !« — 1 м,!!!=и(' ~ ь) »=о Более того, из теоремы 4 Э 3 вытекает, что при условии 1 '«! — ~~ )с(я)-~-0, й1-» со, рассматриваемая оценка является также »=о 1. Задачи статистического оценивания тех или иных характеристик распределений вероятностей стационарных случайных последовательностей возникают в самых разнообразных областях науки (геофизика, медицина, экономика и др.).
Материал, излагаемый в настоящем параграфе, дает представление о понятиях и методах оценивания и о тех трудностях, которые здесь возникают. Итак, пусть $ = Я„), и еп У„ стационарная в широком смысле (действительная †д простоты) случайная последовательное!ь с математическим ожиданием М$„= т и ковариацией Я (л) = = ~ г'Р(бЛ). Пусть х„х„..., х!«! — полученные в ходе наблюдений значения случайных величин $„Е», ..., $!«!. Как по ним построить «хорошую» оценку (неизвестного) среднего значения ту Положим 431 $4.
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ и состоятельной (в среднеквадратическом смысле), т. е. М ( тн ($) — т!»-»-0, У-~ со. (3) Займемся теперь вопросом оценивания ковариационной функции )7(п), спектральной функции Р (А) = г'([ — и, Ч) и спектральной плотности )(),), предполагая, что т = О. Поскольку «1(п) = Мй„«Д„, то в качестве оценки этой величины по результатам У наблюдений х„ хм ..., хА , естественно взять (для 0( и(У) величину и — л — 1 1 1т„(п; х) = „„~~~~~ хл+»х». Ясно, что эта оценка является несмещенной в том смысле, что МФн(и; ~)=Л(п), 0 п(У.
Рассмотрим теперь вопрос о ее состоятельности. Подставляя в (3.37) вместо о» величины с„««э» и предполагая у рассматриваемой последовательности $ =($„) существование четвертого момента (МЦ(сс), находим, что условие и — 1 — М [$л+Д» — У (п)~[$л$» — У (п)1-« 0 У вЂ” ~ ОО~ (4) «=о является необходимым и достаточным для того, чтобы М! Ун(и; $) — Р(п) ~о — 1-0, У-~со. (б) Предположим, что исходная последовательность $ = ($„) является гауссовской (с нулевым средним и ковариацией У (и)). Тогда в силу (11.12.51) М й.+»Ь — Л (и)) [Ыо — Р (п)) = Мь.о Ы.1» — й' (и) = = М$л+»Ь МЫ»+ Молл»»оьл ° Мол«о«о+ Молл«»$» ' МЫл — )1~ (и) = = )~о (й) +)!! (и+ й) У (и — й). Поэтому в гауссовском случае условие (4) эквивалентно условию Ф вЂ” 1 — [ТС»(П)+)С(п+П)ТА'(и — Ь)1 — +О, У-«со.
(6) ПОСКОЛЬКУ )1«Т(и+й)У(п — й)1~1«Т(и+й)!о+(У(и — й)(о, тО ИЗ условия и — 1 — ~ Р(й)-о О, У-«ОО, (7) 432 гл ю. сткционкеныв сл»чкиные послздовлтвльности вьпекает и условие (6). В свою очередь, если (6) верно для я =О, то выполняется условие 17). Таким образом доказана следующая Т е о р е и а. Пусть з = (о„) — гауссовская стас(ионарная последовательность с Мо„=О и ковариационной функцией Я(п). Тогда выполнение условия (7) является нсобходимым и достаточным для гпого, чтобы при любом и= О ос!гика 77н(п; х) была состоятельной в среднеквадрапшческом смысле (т.
е. чтобы было выполнено условие (5)). 3 а м е ч а н и е. Если воспользоваться спектральным представлением коварнационной функции, то получим и — ! ь о — ~ сто (й) = ( ( — У е«ь '! ьР (йЛ) Р ((») =- о.= о — в — ь с=о в ь $ 7н(Л, »)Р(йЛ)Р(й»), где (ср. с (3.35)) !, Л=О, Ь(Л, ») = !,«л-»!н -» у!! о«л-ю! * Но при п-~-оо (1, Л=», 1„(Л, »)-о-)(Л, ») =$ ~ О, Л~».
Поэтому — Х Юо(й)- У У 7'(Л, »)Р(йЛ)Р(й»)= ь=о — ь — ь = $ Р((Л))Р(йЛ)=~Р ((Л)), где сумма по Л не более чем счетна, поскольку мера Р конечна. Тем самым условие (7) эквивалентно условию ~ Р*((Л)) =О, (8) означающему, что спектральная функция Р(Л) Р(1 — по Л!) является непрерывной. 2. Перейдем теперь к вопросу построения оценок для спектральной функции Р.(Л) и спектральной плотности 1(Л) (в предположении, что она существует). о ! стотнстнчвсков оценивании Естественно напрашивающийся путь построения оценок спектральной плотности следует из проведенного выше доказательс!ва теоремы Герглотца. Напомним, что введенная в 2 1 функция (9) 1л (Ф обладала тем свойством, что построенная по ней функция г"л(Л) = ~ )л (т) !(о сходилась в основном к спектральной функции г" (Л) Поэтому, если г (Л) имеет плотность ) (Л), то для каждого Л ен( — л, л) ~ )м(т)сЬ вЂ” !- ~ 1" (т)Йч, (10) Исходя из этих фактов и вспоминая, что в качестве оценки 0(и) (по наблюдениям к„х„..., хм,) брались величины Йл(и, х), возьмем в качестве оценки ) (Л) функцию У (Л, )=; —,у, ~1-Яг (; ), (11) ~о си полагая Йм(и; х) =Ил(!и ~, х) для всех ) и1(!у функцию ~~ (Л; х) принято называть иераодограммоа, и нетрудно проверить, что ее можно представить также в следующем несколько более удобном виде: М вЂ” ! о !„ч(Л, х)=2— а! ~ х„е-'"" [12) "=о Поскольку МКм(и; $)=)с(и), 1и) - !у, то Если спектральная функция г (Л) имеет плотность ((Л), то, учитывая, что )!о(Л) может быть записана также в виде (1 34), найдем, что !о — ! о! — ! л ! (Л) ! Э' У 'о е!о!о-!>е о!!-о!г(т),(т 2ла!о' ! ~4> о=о !=о -л л Ч вЂ” ! о е 1о-х!о г(т) !от ! ,1 2лМ 2о — л !=о 434 Гл, чь стАциОнАРные случхяиые последовАтельности Функция А' — ~ (о ~ »1и — А' Ф ()„) ч1 44А»~ 2лМ ~.~ 2лМ Ип 1~2 »=О называется ядром Фейера.
Из свойств этой функции известно, что для почти всех Х (по мере Лебега) ~ Фн (Х вЂ” у) ) (у) сЬ вЂ” «) (А). (13) МР(О)Р(О)~4М О(э~о Более того, несложный подсчет показывает, что если Г" (Х) — спектральная плотность стационарной последовательности с = Я„), образованной по схеме скользящего среднего: $ = ,У, а,е„ А (15) А=о )а»!(со, ~', )а»)»(со, где е=(е„) — белый шум с Ме'( А-О то с 'У', »=о ( СО, Поэтому для почти всех Х ~( — л, л) мЬ (); $) - ) (х), (14) иначе говоря, оценка Гн(Х; х) спектральной плотности Г(Х) по наблюдениям х„х,, хн, является асилттотически несмещенной.
В этом смысле оценку Гн(Л; х) можно было бы считать достаточно «хорошей». Однако на индивидуальных наблюдениях х„ хм значения пернодограммы ~н ()»; х) оказываются, как правило, далекими от истинных значений 1'(Х). В самом деле, пусть с = Д„) — стационарная последовательность независимых гауссовских случайных величин, $л в4"(О, 1). Тогда 1'(Х) = 1,~2л, а н — 1 » '(н(Х; $) = — = ~о~~ 4»е™ А=о Поэтому при Л= О )н(0; $) по распределению совпадает с квадратом гауссовской случайной величины Ч в4 (О, 1). Отсюда при любом Ж 435 4 4.
стхтистичвскоя оценив»низ Отсюда становится понятным, что периодограмма не может служить удовлетворительной оценкой спектральной плотности. Чтобы исправить это положение, в качестве оценок для 7(Л) часто используют оценки вида )й(Л; х) = ~ )(гл,(Л т)~л (т; х) й, (17) которые строятся по периодограмме ~п(Л; х) и некоторым <сглаживающим» функциям Ф'п(Л), называемым спектральными окнами.
Естественные требования, предъявляемые к функциям Фп (Л), состоят в том, чтобы: а) Я7п(Л) имели резко выраженный максимум в окрестности точки Л=О; Ь) ~ йг (Л) (Л = 1; с) М',')п(Л; р — )(Л)~'- О, Лт, Л =( „,,). В силу (14) и требования Ь) оценки )й(Л; $) являются асимптотически несмещениыми. Требование с) является условием асимптотической состоятельности в среднеквадратическом смысле, что, как было показано выше, нарушается для периодограммы. Наконец, требование а) обеспечивает «вырезание» из периодограммы требуемой частоты Л.
Приведем некоторые примеры оценок вида (17). Оценка Б а рт лет а основана на выборе спектрального окна Ятп (Л) = апВ (апЛ), где а 7 оо, ап/М-~.О, У-~со и В(Л)=2 Оценка Парзена использует в 'качестве спектрального окна функцию МУп (Л) = апР (ах Л), где ап такие же, что и выше, а 8 Л4 Оценки Журбенко строятся с помощью спектральных окон вида Ул,(Л) =апЕ(апЛ) 436 гл. ю стхционленыа слхчлнныв посладовхтильностн — — ~Л!-+ —, !Л,,~1, а+1 а+1 Е(Л) = о, ~л!~1, где 0<и~2, а величины аи подбираются специальным образом.
Не останавливаясь подробнее на вопросах оценивання спектральных плотностей, укажем лишь, что имеется сбширная статистическая литература, посвйщенная пострсению спектральных окон и сравнению свойств соответствующих им оценок )й (Л; х). 3. Рассмотрим теперь вопрос оценивания спектральной функции Р(Л) =Р6 — и, Л))л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
