1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Пусть .У! ~.Р,: —...— неубывающее семейство о-алгебр и 5 — интегрируемая случайная величина. Показать, что последовательность (Х„)„~! с Х„= М($ ~,К„) образует мартингал. 6. Пусть Р! = 'Р, =~...— невозрастающее семейство а-алгебр и с — интегрируемая случайная величина. Показать, что последовательность (Х„)„! с Х„=М Я):е„) образует обращенный мартин- 4 е еохРАнение своиствА мАРтинГАльности гал, т. е, М(Х„~Х„+н Х„~м ...) = Х„.„, (Р-п. н.) 477 5 2. О сохранении свойства мартингальности при замене времени на случайный момент 1.
Если Х =(Х„„У„)„~в — мартигсал, то для всякого п:- 1 МХ„= МХ„. (1) Сохранится ли зто свойство, если вместо момента и вз1нь марковский момент т7 Приведенный в предыдуп1ем параграфе пример 8 показывает, что, вообще говоря, это не так: существует такой мартингал Х и марковский момент т (конечный с вероятностью единица), что МХл Ф МХо. (2) Следующая важная теорема описывает те «типичные» ситуации, для которых, в частности, МХ,=МХ„.
Теорема 1 (Дуб). Луста Х=(Х„У„) — мартингал (субмартингал), т1 и те — моменты остановки, для коп1орых 1=1, 2, 1=-1, 2. М ~ Хв. ( ( сов !'Нп ~ ~Х„!дР=О, в гс (7.)л) (4) Тогда М(хн!,У;,)1~)Х,, ((т,)т,); Р-п. н.). Если к тому же Р(т,(те)=1, то МХН,~, МХлс Лосгаточно показать, что для всякого Доказательство. Аее У,, ЛП[н)Н1 х„дР,=, ~ х„дР, ля (н ~вн (7) для любого и)1. 7.
Пусть $ы 5м св, ... — независимые случайные величины, в Р(з;=0)=Р(зе 2)= — и Х„= ИЬ. Показать, что не суще- 1 е=! ствует такой интегрируемой случайной величины $ и неубывающего семейства и-алгебр (У'„), что Х„=м(Е! У„). (Этот пример показывает, что не каждый мартингал (Х„)„~ представим в виде (М(ь~ У,)),~Н ср. с примером 3 й 11 гл, 1,) 47а ГЛ, тн А<АРТИПГАЛЫ В свою очередь для этого достаточно установить, что для любого л В О Хь<[Р< 1 ~ Хт,[(Р, т[П (т,>т,! П (тт л! АП (т,~~тЛ П(т, л! или, что то же, Х„<[Р <~! ~ Х„<(Р! ВП[т >л! В П (тт.л л ! где В,4 Д (т! и) еп У л. Имеем Х„<[Р ~ Х„<[Р+ ~ Х„<[Р <~1 ~ Х,,т(Р+ ВП(т~л! вп(т, л! ВП(ттул! ВП[т,=- ! М (Х,ь! ~ д л) [[Р ~ Х„т[Р+ ~ Х ы<[Р<(1 ВП[ > ВП (т, л! ВП [т,)л4-1) [-! ~ Х„[Р+ ~ Х„. (Р<Ь" Ь ВП[л<тт~л+!! ВП(т,)л+2! Д! ~ Хь<[Р+ ~ Х ~Р, ВП (л~т, (~л! ВП (т,)»~! откуда Х„[Р,~! ~ Х.
[ — ~ Х,„[Р ВП(лКт,< ВП (л <тт! ВП [т<т~! и в силу (4) Хь<[Р<)) )(т ~ 1 Х„<[Р— 1 Х <[Р1= ВП[тть:.л! ~ 'л~ ВП(л(т,! ВП(я т,! Х( — 1 ~ Х[ = ~ Х[Р, ВП (л(т ! "т л~ ВП [а Стт! ВП (тт*лл! что и доказывает (8), а значит, и (5), Наконец, соотношение (6) следует из (5). Теорема доказана. Следствие 1. Если существует константа Л" такая, что Р (тд ( У)=1, Р (т, ~ Ж) 1, то выполнены условия (3), (4). Поэтому, если к тому же Р(т[~тт) 1 и Х вЂ” мартингал, то МХл = МХ, = МХт, = МХ[т.
(9) Следствие 2. Если семейство случайных величин (Х„) равномерно интегрируемо (в частности, если с вероятностью едиьп!ца <Х„~л-С(оо, В~О), то выполнены условия (3) и (4). Действительно, Р (т; ~ п) — О, и — оо, поэтому условие (4) следует из леммы 2 $ 6 гл. П. Далее, поскольку семейство (Х ) равномерно интегрируемо, то (см. П.6.16)) (10) апр М (Х[т (( со. $ а сокРлнение свойствл млРтинглльности 479 Если т — некоторый момент остановки и Х вЂ” субмартингал, то, согласно следствию 1, примененному к ограниченному моменту ..=.лл. Мх,~мх,н, Поэтому М~Хлт~=2МХф, — МХп (2мх~н — МХл (11) Последовательность Х+=(Х„',,У„) является субмартингалом (при- мер 5 из Э 1) и, значит, МХ; = У ~ Х)дР+ ~ ХйдР==ч„~ Хйд + 1=О (ли= г) (л> н1 г=-а (ли=/1 Х,чс(Р=мхй-~м архи(==зпр М)хн! < >ли что вместе с (11) дает неравенство М(х,, ~~Заир М ~Хи), откуда по лемме Фату М ~Х„( ~Заир М ( Хн (, Мт< со, и для л~обого п)0 и некоторой константы С М(~х.„— х.~~~,У3«с (Р- .
Н.).'~ М(Х,,'(оо Тогда (12) МХ,,=, МХ . Поэтому, выбирая т=ть 1=1, 2, и учитывая (10), получаем, что М ~ Х, )~со, 1=1, 2. 3 а меч а н не. В примере 8, рассмотренном в предыдущем параграфе, |Х /с(Р (2л 1)Р(т~п) (2л 1).2-л 1 и ~с,» (сьл! и, следовательно, нарушается условие (4) (для т,=т).
2. Для приложений часто оказывается полезным следующее предложение, выводимое из теоремы 1. Те о рема 2. Пусть Х=(Хл) — мартингал (субнартингал) и т — иологнт останогки (относительно (лУ л )» лУ „=о (ы: Хо,..., Хл) ) Иргдполоским, что 480 Гл, рр!! мхет!)нгллы Доказательство.
Проверим для т,=т выполнение условий (3) и (4) в теореме 1. Пусть у'о=(Х,), )'у )Ху — Ху,(, у==:1. Тогда )Х,! =. 'р'', )'у и у-о ил л Х 1 Х Х 1 Х у=о о у=о и=о(л=л) у=о УудРлл '~~ ~, '~ Уус(Р= ~Х', ~ )гур(Р. и=ау= о (и=и) р'=ли=-р (и=и) !=о (!) р] Множество (т ~ у) = П",(т < у) ен У х, Позтому У,д = ~ МР,Х„..., Ху,)д СР( у) (л~/) (л)~ у) н в силу (8) и ! си М!Х,)=-'М( ~ )гу)==С ~ ~Р(т=-:.у) =СМт -со. (у=о р у=.о Далее, если т ) л„то л Х~'у~ Х 1'» (! 3) у=о и позтому !Х„!д ~ У, 'УдР. (и) л) (и)л) р'=-о Отсюда, учитывая, что (согласно (13)) М,5' ,'г'у ~ со и что р=о (т ) и) ) ф, л-и со, по теореме о мажорируемой сходлмости получаем и !пп ~ )Х„(РУР( !!п) ~ ~ч, ')'у)дР=О. и э (р)л) л ии (р)и) р=в (14) М (т + .., + йд = — МБ Мт.
Тем самым выполнены условия теоремы 1, из которой следу~т требуемое соотпоьченпе (12). Теорема доказана. 3. Остановимся на некоторых применениях доказанных теорем. Теорема 3 (тождества Вальда). Лурстрр $„с„...— независимо!в одинаково распределенные случайные селичины с М )$р) (оо и т — момен!и остановки (отнес!!тельно (,У„),,У „=о(ьк $), ..., с„), т)1) с Мт< со. Тогда 4В! $2 сохглг!енпв свогчствА млетггнглльг!Ости Если к тому оке Мс)(со, то МЯ,+...+$,) — тМЦ~=0$, Мт. (15) Локазательство.
Ясно, что Х=(Х„, У~)и>! с Х„= = (",г+...+$„) — пм$! есть мартингал с М(, 'Х„„— Х„))Х,, ..., Х„) =М(~ й„„М„,!хо „,, „) = М,! с,„г — М;-,,' == 2М ! ~г, ~ сх». то М ь (е (г,))г 3 Доказательство. Положим ) .=е'" (т(1.))-. Тогда Г=-(Ут Уг)„~! есть мартингал с М)'„=1 и стве (т~п) !э и!!г„,-г.!!г„... с!=г и(;„, — !()Ь.... ч'(го) = У, М (! е! гчр-' (гл) — 1 Д на ллноже- ~ В ( оо, где  — некоторая константа.
Поэтому применима теорема 2, из которой следует (16), поскольку М)', = 1. Теорема доказана. Пример 1. Этот пример служит иллюстрацией применения вышеизложенных результатов к задачам нахождения вероятностей разорения и средней продолжительности игры (см. у 9 в гл. 1). Пусть $„$„... — последовательность независимых бернуллиевск их случайных величин с Р К! = 1) = р, Р (ь! = — 1) = Ч! р + Ч = 1! Поэтому по теореме 2 МХ,=МХ,=О, что и докалывает (14). Аналогичные рассмотрения, примененные к март!нгалу у'.= =-(1'„, еУ й) с 1'„=Х„' — п0'„приводят к доказате:гьству соотношения (15).
Следствие. Пусть $„$„...— независимыз одинаково распределенные случайные величины с Р ($г = 1) = Р(гг =- — 1) = 1/2, В =$г+...+$„и т=)п1(п=:.-1: о,,=1). Тогда Р(т(=»)=1 (см., например, (1.9.20)) и, значит, Р(5,=1) =1, МВ,=1. Пгсюда н из (14) вытекает, что Мт=сю. Теорема 4 (фундаментальное тождество Вальда), П!.спгь $„ сл, ...— последовательность независимых одинаково расггредггенныс случайных величин, о„= $г+... +$„, и ~ 1. Пусть <р (1) = Ме'и, ггс, причем для некоторого го~О гр(гв) суи4еспгвуепг и ч»И ) ~1. Если т — момент остановки (относительно (Хл), -.У „"=о 'гик! сг, ... ..., в„), т~1) такой, что )В„( =.С((т~п) Р-п. н.) и Мт(со, 483 $ а сохРлнение сВоиствл мл Ртинглльнос! и и 32=0. Ясно, что МХи — МХВ = соз Л (20) Покажем, что семейство (Хил,) является равномерно интегрируемым.
Для этого заметим, что в силу следствия 1 к теореме ! при 0<Л -В+~ ~~ МХ,=МХил, М(созЛ) < Л'>созЛ Бил, В+А < ~ М (соз Л) <иди соз Л вЂ”.  — А Поэтому из (20) Л— В+А М (соз Л) — <иди ~ соиЛ +' и, значит, по лемме Фату сои Л— В+А М (соэ Л) ~» В+) А ! сои Л (21) Следовательно, согласно (19), )Х„Л,! а(сов Л)-', что вместе с (21) доказывает равномерную интегрнруемость семейства (Х„л,), Тогда в силу следствия 2 к теореме 1 соаЛ вЂ” МХ,=МХ,=М(созЛ) 'созЛ В+А  — А 2. Пусть Х=(Хи, Ри) > о — квадратично интегрируемый мартннгал, т — момент остановки и 1пп ~ Хйс(Р=О, и ии <х>и! !Ип $ /Хи! <УР =О.
и ~и <с>и! откуда следует требуемое равенство (18), 4. Задачи. 1. Показать, что в случае субмартингалов теорема 1 остается справедливой, если условие (4) заменить условием !Ип ~ Х< <(Р=О, 1=1, 2. и си (с >и) 434 ГЛ. Чн. Л1АРТИНГАЛЫ Показать, что тогда ОХ(-и!Х1,(-М Г, !хХГ), г=о где ЛХо=Хо ЛХ! =Хг — Хг-! 1'~1. 3. Показать, что для каждого мартингала или неотрицательного субмартннгала Х =(Х„,,У „)„~о и момента остановки т М , 'Х, ( ~ 1ип М ( Х„!. 4. Пусть Х = (Х„, У „)о. о — супеомартннгал такой, что Х„~ ~ М (а,' У„) (Рп.
и), а~0, где М(Б((со. Показать, что если г, и т, — момен;ы сстаповки с Р(т, -т,) =1, то Хи ~ М (Х,„( У,,) (Р-п. в.). 5. Пусть "х„1о, ...— последовательность независимых случайных величин с Р(о!=1)=Р(о1= — 1)=1/2Л, а и Ь вЂ” полож!пельные числа, Ь ) а, о х Х.=а К )(оо=+1) — Ь х:1(оь,= — 1) Ф=! и т= и!1 (п- 1: Х„.с- — г), г ~0. 6. Пусть 1„$„... — последовательность независимых случайных величин с М$! = О, Рй! = о1, 5„= $1+... + $„М = о (ен $„ ..., 1,). Локазать справедливость следующих утверждений, обобщающих тождества Вальда (14) и (16): если М ~~ М ~$т((оо, 1= ! то М5, =0; если М ~ МЦ(оо, то 1=! М51=М Х ь1=М Х о!' )=! /=1 (22) $3.
Основные неравенства 1, Пусть Х=-(Х„,,У „), > о — стохастическая последовательность, Х„*= гпах (Хг(, (Хо)Р— — (М(ХЛ;р!'!", р.- 0. о<1~о Показать, что Мах' Соо при Х~охо и Мах'=со при Х)!х„где Ь 2Ь а за ао = — 1и — + — !п —. а+Ь а+Ь а+Ь а+Ь' $ а основные неРАВенстВА Теорема 1 (Дуб). Пусть Х=(Х„, .К,) — неотрицательный сублеартингал. Тогда для всякого е) О и любого и О Р(Х„*= е) = — ~ Х„йР=" — "; (1) (хе >е) Хе)Р~~) Хе),< — ', ) Хе)„ (Х„( ~|(Х„*( ~ — '(1+);Х„!пеХ„)), если р=1. (3) гс ги р ) 1; (2) Доказательство. Обозначим т„=пп(п(1'(п: Х|~е), полагая т„=п, если |пах Х~(е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
