1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 81
Текст из файла (страница 81)
чп. млетингглы Зафиксируем два числа а и Ь, а ( Ь, и для стохастической последовательности Х = (Х„,,У „) определим моментьн т, О, тт = т(п (и ) О: Х„~ а), т, = пип (и ) т,: Х„~ Ь), т,„,=пип(п т,„е'. Х„(а), т„„=пи(п(п)тз,. 'Х„~ь), полагая те=О, если соответствующее множество ( ) пусто.
Далее, для каждого п)1 определим случайные величины О, если т,) и, Р„(а, Ь) = гпах(т: т, -и), если т,~п. По своему смыслу р„(а, Ь) есть число пересечений (снизу вверх) интервала (а, Ь1 последовательностью Хи ..., Х„. Теорема 3 (Дуб). Пусть Х=(Х„, Г„)„~~ — сублартингал. Тогда для любого и--» 1 йй~ (, Ь) - м(х — 1' (27) йев (О Ь)~ ""~ Положим Х,=О, У,=(ф, й), и пусть для 1=1 2 г, (28) 1, если т ~' ~ т ,1 для некоторого нечетного т, О, если т ( (т т для некоторого четного т, Нетрудно видеть, что Ь(1. (О, Ь),'У, 'йч(Х, - Х,,) (%=1)= Ц Цт (Ц (т ы<(Ця,У;ы,. Доказательство.
Число пересечений субмартингалом Х = — (Х„, У'„) интервала (а, Ь1 совпадает с числом пересечений интервала 10, Ь вЂ” а) неотрицательным субмартингалом Хе .= ((Մ— а)+, У„). Поэтому, считая рассматриваемый субмартингал Х неотрицательным и а=О, надо доказать, что 495 % 3.
ОСНОВНЫЕ НЕРАВЕНСТВА Поэтому л ЬМ8„(0, Ь)=,М~ !ру(Х! — Ху-а) =„У', ~ (Х; — Х,,) у(Р у=! (ту=у) у=! М(ху-х,,),У! !) бР= (ч! ='1 у=! л [м (ху ~.У,,) — ху,1 у(Р ==- '='(ч=у) л =-~ ~(М(Х,.~.У,,)-Х,,1 ( =МХл, у=! у! л ВР 1 гпах 1'уХу1-1- ~ )Улх„у(Р (,'У М)Уу Лху. (29) !!<!<а ! ! лала у Ку<*) у=! 1!<у<л 2. Пусть К=(Хл,,Ул) — супермартингал. Показать, что Р~ и!ах ~ху!=В~( — и!ах М)ху~, с !<у<л В !<у..л где С==8 (константа С может быть взята равной единице в случае, когда Х вЂ” мартингал или когда Х не меняет знака). 3.
Доказать справедливость рпзлоуусения Крикеберга: всякий мартингал Х=(Хл, У'„) с Вар М'Х„!<.Со может быть представлен как разность двух неотрицательных мартингалов. 4. Пусть Х = (Хл, .У л) — субмартингал. Показать, что для всякого е)0 и п)1 ВР ( пнп Ху ~ — В1 М (Хл — Х!) — У) Х, дР =В. 1у<у<л у мх„'- мх . 5. Пусть 3„$„... — последовательность независимых слул чайных величин, 5„=$,+...+3„и 5„,,„= ~ч" Ву. Доказать (=лаф ! что и доказывает неравенство (28). 4. Задачи. 1. Пусть Х = (Хл, У,) — неотрицательный субмартингал и (У = ()У„,,У л „) — предсказуемая последовательность такая, что 0()у,.„()у„==С (Р-п. н.), где С вЂ” некоторая константа.
Показать, что имеет место следующее обобщение неравенства (1): гл. чн. мх тннгхлы справедливость следующего неравенства Отта виан и: Р (! 5„!» е ! Р~ щах (5,()2е~~ ! <!<л и вывести из него, что ~ Р( щах )5~!»2()а1==2М,'5„!+2 ~ Р(!5„!)!)д!. (30) в 0<! <" 6. Пусть К, в„...— последовательность независимых случайных величин с М$,=0. Используя неравенство (30), установить, что для рассматриваемого случая имеет место следующее усиление неравенства (3): М5й ~ 8М ! 5„!. $ 4. Основные теоремы о сходимости субмартиигалов и мартингалов 1.
Следующий результат, являющийся основным во всей проблематике сходимости субмартингалов, можно рассматривать как ьероятностный аналог того известного факта из анализа, что ограниченная монотонная числовая последовательность имеет (конечный) предел. Теорема 1 (Дуб). Пусть Х (Х„У„)„»,— субжартингалс ьнр М ! Х„(<оо. (1) л Тогда с вероятностью единица существует предел !!паХ =Х и М!Х )~со. Доказательство. Предположим, что Р (1'ип Х„) 1пп Х„) » О.
Тогда поскольку (!!гпХ„>1!щЛв) = О (!ппЛ >Ь)а)1ппХ„) ась (2) 7. Доказать справедливость формулы (5). 8. Доказать неравенство (8). 9. Пусть о-алгебры Ум ..., У„таковы, что У,ы,У, =... ...: — У„и события Авен,Ум у=1, ..., и. Используя (13), доказать справедливость следующего неравенства Дворецкого: для всякого в)0 497 $ С ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О СХОДПМОСТИ (а, Ь вЂ” рациональные числа), то найдутся такие а и Ь, что Р (1!7НХ„>Ь >а>1ппХ„) >О. (3) Пусть (1„(а, Ь) — число пересечений снизу вверх последовательностью Хь ..., Х„интервала (а, Ь) и р (а, Ь)=1нп!)„(а, Ь). и Согласно (3.2?) И (Մ— 1 МХ„+' ,а ! Мр,(а, Ь) =- и, значит 5ВР МХ~~+ ' В ' Мр (а, Ь)=!!Н1М3„(а, Ь)~ " «Оо, и что следует из (1) и того замечания, что для субмартингалов знр М , 'Л„((со С=заир МХ„"(со (поскольку МХ~ — М ! Х„! = 2МХ„' — МХ„=- 2МХ~- МХ,).
Но условие М() (а, Ь)(ОО противоречит допущению (3). Следовательно, с вероятностью единица существует (ниХ„=Х, для которого из леммы Фату М(Х ((зпрМ,'Х„!(Оо. Теорема доказана. Следствие 1. Если Х вЂ” неположительный субмартингал, то с вероятностью единица существует конечный предел !ниХ„. Следствие 2. Если Х=(Х„, з~ „)„~~ — неположительный субмартингал, то последовательность Х=(Х„,,У„) с 1(и--.со, Х =!!юХ„и У =о(О.-У„) образует (неположительный) субмартингал. Действительно, по лемме Фату МХ = М1!гп Х„==-:! !ш МХ,.=-» МЛ'1 > — ОО и (Р-п.
н.) М(Х ! У'„)=М(!!тХ„! У )~1)юМ(Х„! У' )~Х„. Следствие 3. Если Х=(Х„, У„)-неотрицательный мартингал, то с вероятностью единица существует (ННХ„. В самом деле, тогда епр М)Х„(=зпр МХ„=МХ1.. Оо в применима теорема 1. 498 Гл. чп. мАРтингллгл 2. Пусть $м 3„...— последовательность независимых случайных величин с Р($;=О)=Р($,=2)=1!2. Тогда Х=(Х„, У'!) л с Х„= Ц $; и,у„=п(ьи ~, ..., 5„) есть мартингал с МХ„=! >=> и Х„-«Х = 0 (Р-п, н.).
В то же время ясно, что М ~ Մ— Х ! =! ь1 и, значит, Х„Х . Таким образом, условие (1) не обеспечивает, вообще говоря, сходпмость Х„ к Х в смысле Ь'. Приводимая далее теорема 2 показывает, что если предполо>кение (1) усилить до предположения равномерной иптегрируемости семейства (Х„) (из которой условие (1) следует согласно п, 4 9 6 гл. 11), то тогда наряду со сходимостью почти наверное будет выполняться и сходимость в смысле ).>.
Теорема 2. Пусть Х=(Х„, У,) — субл>артингал, для которого семейство случайных величин (Х„) равномерно интегрируемо. Тогда суи(еетвует такая !случайная вели.ини Х с М!Х !(со, что при а — «со Х„«Х (Р-п, н), Х„~'1 Х (4) (5) При эо>ол> последовательность Х=(Х„У„), 1 =.и ='со, с У = о(() У„) также пбрпзует сдбмпртингал. До к а з а т е л ь с т в о. У'тверждение (4) следует нз теоремы 1, а утверждение (5) — из (4) и теоремы 4 9 6 гл. 11. Далее, если А ~ У„и т~ и, то М1л',Х вЂ” Х ! — «О, т-«со, и поэтому 1!щ ')Х йР= )Х йР. я мл л Последовательность ( ~ Х дР1 является неубывающей и, (л )ыжл значит, ~Х„й ~Х.д ~Х дР, л л л откуда Х„(М(Х ! У„) (Р-п.
н.) для всех и- 1. Теорема доказана. Следствие. Если Х=(Х„, У'„)-субмартингал и для некоторого р ) 1 (6) звр М!Х„!»<со, л то существует интегрируемая случайная величина Х, для кото- рой выполнены (4) и (5). 499 з 4 основныв твогвмы о сходимости Для доказательства достаточно заметить, что, согласно лемме 3 9 6 гл. 11, условие (6) обеспечивает равномерную интегрируемость семейства (Х„). 3. Приведем теперь теорему о свойствах непрерывности условных математических ожиданий, которая была одним из самых первых результатов относительно сходимости мартингалов. Теорема 3 (П. Леви), Пусть (44, У, Р) — верочогностное пространство, '(Г„)„~1 — неубывающее семейство о-алгебр,,У, ~ : — У а ы...
ы У . Пусть $ — некоторая случайная величина с М~$~<оо и .У =о'(),У„). Тогда Р-п. н. и в смысле Е! л МЯ( У'„)-+.МЯ( У ), а-+-оо, (7) Доказательство. Пусть Х„М($~ У'„), и)1. Поскольку ~Х1~й - ~ М((И(~ У'Д4(Р ~ )Р~й (~Х,.!)а) ()Х4!Гаа) (!Х,.(Ъа) и зпрР((Х!1~а) =зпр -- — -+О, а-+.оо, м~х ~ м~й( а а то (лемма 2 9 6 гл. 11) семейство (Хл) равномерно интегрируемо и, значит, по теореме 2 существует случайная величина Х такая, что Х„=М(9! У„)-+Х (Р-п. н. и в смысле й'), Поэтому надо лишь показать, что Х = М ($( У ) (Р-и.
н.), Пусть т~и и А ен Ул. Тогда ~Х„й = ~х„й = ~М(9~,У„)й = ~~йР. А А А А В силу равномерной интегрируемости семейства (Х„) и теоремы 5 9 6 гл. П МУАРАՄ— Х )-а О, о1-а.оо, и, следовательно, =~~ (. (8) А А Это равенство выполнено для любого А ы Ул и, значит, для любого А ен (),У„.
Поскольку М(Х !(оо, М($((со, то левая л=1 и правая части в (8) представляют о-аддитивные меры, возможно, принимающие и отрицательные значения, но конечные и совпадающие на алгебре ( ) .У',. В силу единственности продолжения л=! а-аддитивной меры с алгебры на наименьшую о-алгебру ее содер. 500 Гл, нп»!АРтингклы жащую (теорема Каратеодори, 9 3 гл.
!1) равенство (9) остается справедливыч и для множеств А ен,У =о((),У„). Итак, ~Х.дР=-~$е(Р= [М(5~ У )!(Р, А«вЂ” : У, (9) Велич,!ны Х и М(»),У„) явля!отея:У' -измеримыми, поэтому в силу свойства 1 п. 2 3 б гл. 1! из (9) следует, что Х == М(«!,У ) (Р-п. Н.). Теорема доказана. С л е д с т в и е. Стаха стическа я последовательность Х = (Х„,,У „) является равномерно интегрир!!емым мартингалпл! тогда и только тогда, когда существует случайная величина Е с М 15!(со такая, что Х,=МД,' У„) для всех а - 1.
При этом Х„-+.МЯ!',У ) (Р-п. н. и в смысле й') при а-~-оо. Действ!пельно, если Х=(Х„, У„) — равномерно интегрируе- мый мартингал, то по теореье 2 найдезся такая интегрируемая случайная вели шна Х, что Х„-+Х (Р-п. н. и в смысле й') н к тому же Х„=М(Х !,У„). Так что в качестве случайной вели- чины Э можно взять (,Г -измеримую величину) Х .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
