1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Тогда, согласно (2.6), О<1<в МХ.) МХ, = Х, дР+ ~ Х, с(Р)е ~ йР+ ~ Хе|(Р. (х,";)е) (хе се) (х„")е) (х,*, < е) Позтому еР (Х"„) е) ~ МХ,— ~ Х„е(Р = ~ Х„с(Р.= МХ„, (х,",<е) (хе~е) 1Х„*)Р( со, (4) и воспользуемся тем фактом, что для любой неотрицательной случайной величины В и г)О Ме' = г ~ 1'-'Р ($ ) 1) Ж. о Тогда из (1) и теоремы Фубини получаем, что для р) 1 (б) М(Х) =р~1-Р(Х„" ()й(==р~(Р- ( ~ Х„д д1= «е ре =р~(Р- ЦХ„~(Х."' 1)1й(=р ~Х„~~ (Р-Ч( дР- е (а 1 и о = —, М (Х„(ХД)Р-1), (б) что н доказывает (1).
Первые неравенства в (2) и (3) очевидны. Для доказательства второго неравенства в (2) предположим сначала, что Гл. чп мАРтинГАлы М (Х,*, ~! ).? ~ — дгМХ~ = ди ' Х„)~~ М(Хй)г=- Ит М(Х„'Д7.)»дг,~Х„)~~. и, значит, Докажем теперь второе неравенство в (3), Снова применяя (1), находим, что МХ,".,— 1 М(Х,*,— 1) =~ Р(Х„.— 1 !)!Г й х' — ~ л х.шР)м-мх„) —,, =ах,1 .ч. о [(х ~~+,) Поско.'ы.у для любых а~О и Ь О а! и Ь -=. а 1пза+ Ье-', (3) то МХ„" — 1» МХ„!п Х„*» МХ„!п' Х, + е-'МХ„". Если МХ'„е со, то отсюда сразу получаем второе неравенство (3), Если же МХ,", = оо, то следует поступить, как и выше, перейдя от величин Х„ "к Х„*/~).. Теорема доказана. Следствие 1.
Пусть Х=(Х„, У„) — квадратично интегрируемый мартингал. Тогда Х'=(Х„', г„) — субмартингал и из (1) следует, что Р ) гпах ! Ху ) ~ а~ » —,". (9) !г < л В частности, если Х~=$,+...+$7, где ($г) — последовательность независимых случайных величин с М~ = О и МД ~ со, Отсюда по неравенству Гельдера М(Хл)" »д(Хд1р !(Хл)" ')е=д)Хл1г(Ы(Ха)")"'ю (7) где д= —.
Р р — ! ' Если выполнено (4), то из (7) сразу получаем второе неравенство в (2). Если же условие (4) не выполнено, то следует поступить таким образом. Рассмотрим в (6) вместо Х„" величину (Х;~,Е), где ь— некоторая константа. Тогда получим М (Х„"ЛЦ дМ [Х„(Х,*,Ю -') д ~ Х„ЦМ (Х„'Л7.)Ч', откуда в силу неравенства М (Х„*,а,Е)г» 1У». со следует, что % х ОснОВные неглвенствл то неравенство (9) превращается в неравенство Колмогорова 6 2 гл.
!Ч) Следствие 2. Если Х=(Х„,,У„) — квадратично интегрируемый мартингал, то из (2) получаем, что М (гпах Х)~ ( 4МХ„' 1!:а л 2. Пусть Х = (Х„, У „) — субмартингал и Х„=М„+ А„ Нижеследующая теорема 2 показывает, что зто неравенство справедливо не только для субмартингалов, но и для более широкого класса последовательностей, обладающих свойством доминируемости в следующем смысле. Определение.
Пусть Х=(Х„,,У„) — некоторая неотрицательная стохастическая последовательность и А = (А„, ,У,,)— возрастающая предсказуемая последовательность. Будем говорить, что Х доминируется последовательностью А, если МХ,=а МА„ для всякого момента остановки т. Теор ем а 2. Если Х= (Х„, У „) — неотрицательная стокаспшческая последовательность, доминируемая возрастаюи!ей предсказуемой последовательностью А=(А„, У„,), то для е)О, а'- 0 и любого момента остановки т Р(Х„~ )» МА~ Р (Х~ = е) ~ — М (А, у1 а) + Р (А, ~ а), (12) (13) (ХР!Р~( ) ( Ат)Р, 0 с Р(1. (14) Д о к а з а т е л ь с т в о.
Положим о„= ппп (1 - т ~, и: Хх - В), считая о„=тЛп, если ( ) = ф. Тогда МА,~МА, ~МХ,„- ~ Х,,йР- ВР(Х;ль>Е), (хтЛЛ>ь) — его разложение Дуба. Тогда, поскольку МА4„=0, то из (1) следует, что Р (Х„* е) МА.. Гл. оп млотиигллы о к1'дз Р',Х„"' „) ) «! МА„ что в силу леммы о1оату доказывает неравенство (12).
Для доказательства (13) введем момент у=!п1(12 Аг„~а), полагая у =со, если ( ) = ф. Тогда Р (Х,"' =-- е) = Р (Х; .=- е, А, < а) + Р (Х; ~ е, Ао -: а) = «Р(7(л„<,)Х,")е[+Р(А,з.а) = -=Р(Х,""лт~е)+Р(А,. а)=- — МА<от+Р(А,)а)« ! == — М (А, /(а) + Р (А, ~ а), где использовано неравенство (12) и то, что 7(л <,)Х'," - Х лт. Пакопеп, из (13) [Х ~~~ = М (Х*)е = ~ Р ((Х ')о - 1) о(1 = ~ Р (Х," 1! !о, о(( « о о «~ 1 — ьеМ[А„Л(!! ) й+ ~ Р(А,'==1)о(1= о О А о СО М ~ о(1+ М ~ (А ! — !1„) ~(( ( МАо — !' МА о о ло Теорема доказана. С лед от в не. Пусть при каждом Ф=» 1 последовательности Х' и А" удовлетворяют условиям теоремы 2 и для некоторого момента остановки т А,' ~ О, !о-!-со.
Тогда что сразу следует из неравенства Р((Хо),"'~е) « — + Р (А~~~а[, вытекающего из (13). 3. В этом пункте будет приведен (без доказательства, но с применениями) ряд замечательных неравенств для мартин!алов, 5 3. ОСНОВНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 489 (18) где А [18 !22((р 1)1-! В 18 2ы2)( ! 1)2!2 являющихся обобщениями неравенств Хинчнна и неравенств й!а!эцинкевича и Зигмунда для сумм независимых случайных величин.
Неравенства Хннчина. Пуси!в $„$2, ...— независим 2г одинаково распределенные бернуллиевские случайньы величины с Р(3!=1)=Р(Е!= — — 1)=1!2 и (сь)„-.! — некоторая последовательность чисел. Тогда для ~гюбого О С р(оз су!цеству!от такие универсальные конга!инты АР и ВР (не завися!2(ие от (с.)), что для любого и =: 1 ! и '!!2,! п ! ь !/2 (18) Сбобщеннем этих нерагеьств (для р-- 1) являются. Неравенства Марцинкевича и Зигмунда.
Если с„ ЬЬ2,... — ПОСЛЕВОВШПС.2ЬНОСИь НгэаеиеиМЫХ иигавг)зи)ЗуЕМЫХ СЛунайивск ы почин с (ч!с2=-0, 2по для р= ! найдуаюя такие универсальные константы А„и Вр (не зае!!ель!!ие от ($,)), что для любого п =-1 В неравенствах (15) и (16) щ!следовательности Х =(Х„) с Х„=. 1 ь ~' с,"; н Х„= ~„' г; образуют мартингалы. Естественно !' — ! 2--. ! задаться вопросом о том, нельзя ли обобщить эти неравенства на случай произвольных ь2артингалов. Первый результат в этом направлении был получен Буркхольдсрс и. Неравенства Буркхольдера. Если Х=(Х„,,Tь)— март!игал, то для всякого р ) 1 суи(ген!ау!о!и такие универсальные консли2нты Ар и Вр (не зависли!ие от Х), что для любого и ) 1 АР (!'~~1Х!.
((Р-=--', Х, !Р ~ ВР ~!! ДХ1„((Р, (17) где ~Х]„— квадратическая вариация Х„, ь !Х).= У', (ЛХ,), Х,=О. !'= ! В качестве коне!понт АР и ВР мож22о взять АР=-(18ры 7(р — 1))-2, В,=18р 7(р — 1) ° С учетом (2) нз (17) следует, что А(! Р [Х)„'!!Р~ )!Х„':1Р~ВР(! ДХ)„((Р, (19) 49о Гл. уп мхРтингллы Неравенства Буркхольдера (17) справедливы для р >1, в то время как неравенства Марцинкевича — Зигмунда (16) верны н для р=1. Что можно сказать о справедливости неравенств (17) для р 17 Оказывается их обобщение на случай р=1 в форме (1?) уже несправедливо, что показывает следующий Пример, Пусть $!, $,, ...— независимые бернуллиевскне случайные величины с Р ($! =1) =Р(Ц = — 1) =1)2 и лл~ х„= ~ =,, т=! л : Хь=!) ! — ! Последовательность Х =(Х„,,У4) является мартингалом а 1Х„(,=М~Х„~=2МХ~-+ 2, п-~оо. Но ! тлп !!м ~!)ГРЦ,=М )Г(Х1„=М~ ~ 1) =М )ГтДп 7=! Следовательно, первое неравенство в (17) несправедливо.
Оказалось, что на случай р =1 обобщаются не неравенства (1?), а неравенства (19) (эквивалентные, если р) 1), Неравенства Дэвиса. Если Х=(Х„, У„) — л!артангал, пю существуют такие универсальные константы А и В, 0(А ( (В(со, чп!о А ~ 3/ [Х~„~! ~ ,'! Х;, !! «= В ) ЯХ]„)„ (20) т. е. Г л Г АМ 1/ 'л,' (ЛХ7)' =М) !пах (Х„!)~ВМ ~/ 'У', (ЛХ!)'. ! —. ! !! (/(д С л е д с т в и е 1.
Пусть с„$„... — независимые одинаково распределенные случайные величины, 5„=$!+...+1,, Если М!В!((со и М$! =О, то, согласно тождеству Вальда (2.14), для всякого момента остановки т (относительно (У1)) с Мт с.оо М5,=0, (21) Оказывается, что для справедливости (21) предположение Мт ( со можно ослабить, если усилить требования на сами случайные величины, Именно, если М!!$!!'«, где 1 «с ~2, то условие Мт'" - са достаточно для справедливости равенства М5,=0, 49! % 3.
ОСНОВНЫЕ НЕРАВЕНСТВА )г 1)+Р(т«1', )г~()« +Р) гпах [5, ~))~- !! «!'(т +1-'М[5, !" « /ъ гМ +1-"В,М~Х Ц) « /=1 тт ! — гВ М Р ()г ) 1) = Р (т ) 1", «Р (т -~ 1') = Р(т~1) «Р(Т~В) =Р(т~(') Заметим, что ( У 2 = (3, 22)) 'г М ~~ г()'«т )~~ Р ! =. ! (= ! = ~ ММ [!'(1 «т,) (ЕТ ) !';У) ! =1 ! У, '1 (1 = т„) М [! з )' ~ У,' !1= М ~" М ~ йт ~т = р.,МТ, !' = — ! 2=! где рг=-М (ч! '". Поэтому Р ()г ) г) Р (т ~ гг) + ! — гВ 12 Мт — Р1Т=-1)+В,)!,! '~тР(т~(')-)- ~ !(Р1« (тс! ) =- (1 -)-В.)!,) Р (т =- 1') +В,)!,1-' $ т дР ( 2г) и, значит, МУ'=1 Р()' 1)а-(1+В, .) Мтп'+В. ° [1'~ 1 тдр Ж = о (т<!.) =(1+В,р,) Мтн +В,р, ~т ) 1- !11 а!р— Ь!2г = (1+ В,р, + — '~~'~ Мт нг ( со.
Для доказательства обозначим т„=тДп, У=зпр) 52,), и пусть для 1)0 т=12г) — целая часть числа В. В силу следствия 1 к теореме 1 з 1 М5,„ = О. Поэтому для справедливости соотношения М5, = 0 достаточно (согласно теореме о мажорируемой сходимости) проверить, что М зцр ~ 5,„[(со. Пользуясь неравенствами (1) и (17), находим 492 ГЛ. ЧП МАРТИНГАЛЫ Следствие 2.
Пусть М =(М„) — мартингал с М ~М„~" (оо для некоторого г:~1 и такой, что (М,=О) (22) л 1 тогда (ср. с теорезюй 2 $ 3 гл. 1Ч) имеет место усиленный закон больших чисел: — „"- 0 (Р-п. н.), п- со. (23) В случае г=1 доказательство проводится по той же схеме что и доказательство теоремы 2 3 3 гл. 1Ч. А именно, пусть л Ф-! Тогда ЛМА л Мл — /гЛги„ Л л п и, согласно лемме Кронекера (5 3 гл.
1Ч) для сходимости (Р-п. н.) — йби!А — О, и — !- со, 1 'ю * =- 1 достаточно, чтобы (Р-п. н.) существовал конечный предел 1!гпт„, л что в свою очередь (теоремы 1 и 4 из $ 10 гл. П) имеет место в том и только том случае, когда Р) Зир !т„+А — т„( ~а~-л.О, И-!-ОО. (24) ',А~! В силу неравенства (1) М (ЛМА)! ,Х А! Р) зпр (и!„АА — т„( )в~--". (А)~ ! Поэтому требуемый результат следует из (22) и (24). Пусть теперь г -> 1, Утверждение (23) эквивалентно тому (теорема 1 3 10 гл. 11), что для всякого е)0 е"Р(зцр . ~е~-+ О, и!м;~ (25) !>л 1 493 $ 3.
ОснОВные неРАВенстВА В силу неравенства (29) из задачи ! ~/и/! !, / , л//~ ° В2гр(ЗПр )Е В»г !ПП Р! Юак ' - Е2г~. !/>л / а га л</<~л /г М!М !»г ! »У! М( М,2г !Л,(, 2г) /) л+ ! Из леммы Кропекера и условия (22) вытекает, что !пп — „„- М ! М„!»г = О. л И!кем ! и = ~ -.— „[М ~ М/," — М ' М/. ! !'г! ~ /1 / —.— 2 г=з В силу неравенства Буркхольдера (17) и неравенства Гельдера м ! и, ! -.= м ~ ~', (л/11,)'~ =-= м/ — "~' ! лм; ! . Поэ!ему / . ',, (/'-! '~ М ЛЛ!...::г= ~ =-! / А! у' м лм2,"- .=с, '~ "— '"","; — '+с, ! — "! 2=-.2 /м= 2=2 к — ! =с, ~ .,'.„ (С; — 'некоторые константы), что в силу (22) доказывает оценку (26).
Последовательность случайных величин (Х„)„~2 имеет с вероятностью единица предел 1пп Хл (конечный или бесконечный) тогда и только тогда, когда число «осцилляций между двумя любыми (рациональными) числами а и (/, а(Ь», конечно с Вероятностью единица. Приводимая ниже теорема 3 дает оценку сверху среднего числа «осцилляций» для субмартингалов, которая в следующем параграфе будет использована для доказательства фундаментального результата о их сходимости, Поэтому для доказательства (25) достаточно лишь показать, что Х вЂ” „М(, М/! — ! М/-2, ) <- /2Г (26) /~2 494 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
