1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Обраы|ое утверждение следует нз теоремы 3. 4. Остановимся на некоторых применениях доказанных зеорс«!. П р и ме р 1. Закон «нуля или единицы». Пусть Р„«„, последовательность независимых случайных величин, У « = =-= и ',ы: «„..., с„) и 2" — о-алгебра «хвсстовых» событий. Из зео- ремы 3 М((л ~ У;;) — М(!л!,У"') =!л (Р-и. и.). Но 1л и (э„..., ч„) независимы. Поэтому М(»л! Ук) =Мул и, значит, (Р-п. н.) 1л = =- М!'л, откуда Р(А! = — 0 или Р(А) = 1, Следующие два примера иллюстрируют возможности примене- ния приведенных выше теорем о сходимости в математическом анализе.
П р и м е р 2. Если ) = ! (х) — функция на [О, 1), удовлетворяю- щая условию Липшица, то она абсолютно непрерывна н, как и аестно из анализа, найдется такая интегрируемая (по Лебегу) функция и = д (х), что к ) (х) — )(О) = ~д(у) «(у.
(10) 0 (В этом смысле д(х) есть «производная» ) (х).) Покажем как этот результат может быть получен из теоремы 1. Пусть !1 =[О, 1),,У = Э([0, 1)) и Р— лебеговская мера. Положим 501 5 4 ОснОВные ТВОРемы О сходимости У„=о(х: $„..., с„) =О(х! в„), и пусть Х )Рю +В") — )6) 2-" Поскольку при заданном значении $„ случайная величина $„+! принимает лишь два значения $, и К„+ 2-1".11! с условными вероятностями, равными 1/2, то м[х.„)~.1=М[х.„д.) =2.
М[~а.„+2-- »- — ~ (Е.. 1) ! Е.) = 2"" ~ — [)" 6. + 2-'""") — 1($.)~ + +,' [(Я„+2- ) — ) (",ю+2-1юи м)1~ =- 2Р () (;ю+2-») ((.„)) = Х„. Отсюда следует, что Х=(Х„,,У„) есть мартингал, причем равномерно интегрируемый в силу того, что ~Х„!-=Е, где Š— константа в условии Липшица: ! г' (х) — 1(р) ( ( Е ! х — у (. Заметим, что,У =,З([0, 1))=а(О,Р„). Поэтому, согласно следствшо к теореме 3, найдется такая ~-измеримая функция 11=у(х), что Х„- гю (Р-п. н ) и х„=м й!,у.1. (1! ) Возьмем множество В=[0, й,ю2"1. Тогда из (11) мз" Мзюю 1( ю'.)-1юю!- ) х.ю»- ) юю*~ю и в силу произвольности а и й отсюда получаем требуемое равенство (1О).
Пример 3. Пусть Й=[0, 1), У =Л ([О, 1)) и Р— мера Лебега. Рассмотрим систему функций Хаара (Н„(х))„ж1, определенных в примере 3 5 11 гл. 11. Положим Р'„=о(х: Й„..., Н„) и заметим, что о(Ц Р„) = У. Из свойств условных математических ожиданий и структуры функций Хаара нетрудно вывести, что для жобой борелевской функции Ген Е юю М [!' (х) ),У,) = ~Ч~~ аьНЕ (х) (Р-и. н.), где 1 а~ =Д, Н„) =~Е(х) Н„(х) дх. о Иначе говоря, условное математическое ожидание М [Е(х) ( У'„1 есть частичная сумма фурье при разложении функции ) (х) по системе Хаара.
Тогда, применяя теорему 3 к мартингалу 502 Гл. уп. МАРтинГАлы (М Ч! У„), У'„), находим, что при п-+со л ~ Д, НА)Н,(х)-»-1(х) (Р-п. н.) 1! л У, '(), Н„)Н,(х) — )(х) 1(х-~.О. О А=1 5. 3адачи. 1. Пусть ( ь„) — невозрастаюшее семейство о-алгебр чг— = Ф,=»..., .р = () ь„и 1) — некоторая интегрируемая случайная величина. Доказать справедливость следующего аналога теоремы 3: при п».оо М(1!! Р„) — ».М (т!1.Р ) (Р-п. н.
и в смысле 0'). 2, Пусть В„$„...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с М!$1!(оо и М$1=л1, 3„= в1+...+с„. Показав (см. задачу 2 4 7 гл, П), что М(Е,)5„, В„,ь ...) =М($,)5„) = —" (Р-п. н,), вывести из результата задачи 1 усиленный закон больших чисел: при и- со —" — эгп (Р-п. н. н в смысле й').
л 3, Доказать справедливость следующего результата, соединяющего в себе теорему Лебега о мажорируемой сходимости и теорему П. Леви. Пусть (с„).»1 — последовательность случайных величин таких, что $„-».$ (Р-п, н.), !с, ((еь Мп -.со и (,У ) неубывающее семейство о-алгебр, У =о(().У„). Тогда (Р-п. н.) 11П1 М (Е„! У ) = М (а! у ). Я Х л с» 4. Доказать справедливость формулы (12). 5. Пусть 11=[0, 1),,У = %([0, 1)), Р— мера Лебега и 7'= = 1(х) е= 1.', Положим 1А, 11»-Л )„(х) = 2" ~ ~(у) ду, й2-" =х((й+1) 2-". АЗ-Л Показать, что )„(х)-» )(х) (Р-п.
И.). 6, Пусть 11=[0, 1),,У =,%([0, 1)), Р-мера Лебега и 7 = = ~(х) енЫ Продолжим зту функцию периодически на [О, 2) и ьвз » 5. О множнствлх сходимости ПОЛОЖИМ »» (х) =,5~ 2 л7'(х ! !2-л) Показать, что г„(х)-«)(х) (Р-и. н.). 7. Доказать, что теорема 1 сохраняет свою силу для обобШенных субмартингалов. ф 5. 0 множествах сходимостн субмартингалов и мартингалов 1. Пусть Х = (Х„ У „) — стохастическая последовательность. Будем обозначать через (Х„-«), или ( — со - !пп Х„ < ОО), множество тех элементарных исходов, для которых 1пп Х„суи4ествует и конечен.
Будем говорить также, что А с= В (Р-п. н.), если Р(7л ~ )в) =1. Если Х вЂ” субмартингал и знр М(Х„! Оо (или, что эквивалентно, зпр МХ, < со), то в соответствии с теоремой 1 э 4 (Р-п. н.) (Х»-«) = а. Рассмотрим вопрос о структуре множеств сходимости (Մ— ) для субмартингалов в случае нарушения условия зир М! Х„(<ОО. Пусть а -« О и т, = !п1 (и =: 1: Х, ) а) с т, = со, если ( ) = ~>. Оп р еде лен ие. Стохастическая последовательность Х = == (Х„,,У'„) принадлежит классу С+ (Х ен С»), если для любого а)О М (ЛХ, )" 7 (т, < со) < со, (1) где ЬХ,=Х вЂ” Х»-ь Х»=О.
Очевидно, что Х ыС"., если Мзнр(ЛХ„! <со (2) илп, тем более, если (Р-п. н.) для всех п)1 (ЛХ„(<С<со. Теорема 1. Если субжартингал Х ен С', то (Р-п. н.) (зпр Х„< со) = (Х» — «). (4) Доказательство. Включение (Х»-«) «: — (знрХ„<со) очевидно. Для доказательства обратного включения рассмотрим « «остановленный» субмартингал Х '=(Х, л„, У„). Тогда в силу (1) внрМХ; д„~а+М[Х'; 1(т„<ОО)(< =- 2а+ М((ЛХ, )' ) (т, < со)1 < со, (5) 504 ГЛ. Гп МЛРЧИНГАЛЫ и, значит, по теореме 1 из й 4 (Р-и. н.) (т„=со) ='(Х„- ).
Но ( ) (т„= со) =(зпрХ„«" оо), поэтому (Р-и. н.) (зпр Х„.о' оо) о-. а)Р ы (Х„). Теоре аа доказана. Следствие. Пусть Х вЂ” мартингал с Мэнр (ЛХ„(~со. Тогдз (Р-и. и.) (Х„- ) () (1!изХ„= — со, 1!гпХ„=+ со) = П. (6) В самом деле, применяя теорему 1 к Х и — Х, находим, чго (Р-п. н,) (1(гпХ„(со) =(знрХ„(со) =(Х„-»), (1!щ Х, > — со) = (!п1 Х„) — со) = (Х„-+.). Поэтому (Р-п. н.) (1!щХ„(со, )пп Х„(со) = (Х„-»-), что и доказывает (6). Утверждение (6) означает, что почти все траектории мартин- гала Х, удовлетворяющего условию Мзнр! ЛХ„!( оо, таковы, что или для них существует конечный предел, или же они устроены «плохо» в том смысле, что для них 1пп Х„ = + со, а 1!щ Х„ = — со. 2. Если «и $„ ... — последовательность независимых слу ~ай- ных величин с М$; = О и !5;!--с ~ оо, то, согласно теореме ! '; 2 гл.
1Ч, ряд 2". «; сходится (Р-п. н.) тогда и только тогда, когда 2; Мь) с со, Последовательность Х = (Х„, У .) с Х„ = в1 + . + -... У „ = о(еи $„ ..., $„)„ есть квадратично интегрируемый мартин- гал с (Х)„= ~Ч', М«, и сформулированному утверждению можно в=1 придать такую форму: (Р-п. н,) ((Х) о.
оо) = (Մ— »-) = О, где (Х) = !!щ (Х)„. Ф Приводимые далее утвергкдення обобщают этот результат на случай более общих мартингалов и субмартиигалов. Теорема 2. Пусть Х=-(Х„, У„) — субжартингал и Х„=т„+А, — его разложение Дуба. а) Если Х вЂ” неотрицательный субиартингал, то (Р-и. и.) (А (со) ы (Մ— ) = (ьнрХ«(со).
(7) вов 6 а о мно>каствлх схоцимости Ь) Если Х ~ С+, то (Р-и. н.) (Х„-+) = (зпр Х„< со): — (А < со). (б) с) Если Х вЂ” иготрииатгльный србмартилгал и Х ен С-', лю (Р-и. н,) (Մ— ~)=(зпрХ„с со)=(А <со). (9) Доказательство. а) Второе включение в (7) очевидно. Для доказательства первого включения введем моменты и„=-|п1(а»1: Л„м а), а»0, полагая ил=+ со, если ( )= ф. Тогда Ао,(а и в силу следствия 1 к теореме 1 ~ 2 МХ„л, =МА„д„-а. Поэтому (т,=со) =(Л <со) и требуемое утверждение следует .. --, ° ' Ц (т.=:) =(зпрХ.~-)'.
а)О с) Это утверждение есть непосредственное следствие утверждений а) и Ь). Теорема доказана. Замечание. Условие неотрицательности Х можно заменить условием зпр МХ со. л Следствие 1. Пусть Х,=$,+...+С„, где $,=-0, М~;<со, 1; — К;-измеримы и У;=(3, (1). Тогда (Р-и. н.) М($,( У„1)<со ы (Х„-э.), и=! (10) Пусть У'„= Х„~„, тогда У" = (У;,,г'„) — субмартннгал с зпр МУ"„(а<со и в силу его неотрпцательности из теоремы 1 9 4 следует, что (Р-и.
и.) (Л (а)=(о,=со) ~=(Х„-э-). Поэтому (Р-и. н.) (А <оо)= () (А =аа):-(Х„- ). а>0 Ь) Первое равенство следует из теоремы 1. Чтобы доказать второе, заметим, что, согласно (5), МА„,~„=МХ, д„==.МХ," л„«--2а+М((ЛХ,)+1(т„<оо)) и, значит, М Л~, = М 1пп А, л „«" оо, г 506 ГЛ. УП. МАРТИНГАЛЫ и если к тому же Мзнр $„(оо, то (Р-п. н.) л ,Ч , 'М ($, ) У, !) ( со = (Մ— ~).
л=! Следствие 2 (лемма Бореля — Кантелли — Леви). Если события В„ен Ул, то, полагая, в (11) $„=1г, получаем, что (Р-и. н.) с ~, Р(В,~,Г„-,)л ) (»,1,( 1 (!2! л=1 1 1л=! 3. Теорема 3. Пусть М=(Мл, У„),~! — квадратично интегрируемый мартингал. Тогда (Р-п, н.) ((М> ( ) (Мл- ). (13) Если к тому же Мзцр! ЛМ„~'(оо, то (Р-п.
н.) ((М) ( со) = (Мл- ), (14) где (М)„= У, 'М((ЛМ.)»~,У„!) л=! с М»=() лр'о=(6 с)) Доказательство. Рассмотрим два субмартингала М' = (М'„, .У„) и (М+1)'=((М„+1)', Ул). Тогда в их разложениях Дуба М" = т„'+ А„', (Мл + 1)' = и1„"+ А„" величины А„' и А;, совпадают, поскольку л л А; = ~ , 'М (ЛМ»» ~ У»-!) =,У, М ((ЛМ»)'' ,У»-!) »=-1 »=1 А„" = ~ М (Л (М»+ 1)' ~ У» !) = ~~ М (ЛМ» ~ У'» 1) = »=1 »=! л = ~ М ((ЛМ,)»,.У,,), Поэтому из (7) (Р-п.
и.) ((М)„-со) =(А; (со) ~(М'„- ) П((М (-1)' — )=(М -л.), В силу (9) для доказательства (15) достаточно проверить, что условие Мзнр(ЛМ„!» со обеспечивает принадлежность субмар* тингала М' классу С". 507 $ а О мнОжестВАх схОдимости Пусть т,=(п1(а= 1: М„')О), а)О. Тогда на множестве (т,(со) ра р ~а ра ~ ~ ра ~а ~ + +2~М, 1)!М, — М, р'((ЛМ,)'+2ац" ЛМ, 1 откуда У кв(1ам,Р~У;,1 р=! (16) то с всроятностью сдинииа Л!а —" — О, и-м со, (17) Аа Л о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим квадратично интегрируемый мартннгал т=(т„, Уа) с а р рсм Тогда ~ч~ м((амдР~Ур,) А' ь=р р (18) Поскольку ~ Аьаврь '"ра А Р (19) р М ~ ЛМ,' ~ 7 (та ( со) = ( М (ЛМ, )' ) (т, ( со) + 2аы' )ГМ (ЛМ, )' 1 (т, - со) ( ~м-р,ам.~.рр р м„р~ьм.р ~ Теорема доказана. В качестве иллюстрации этой теоремы приведем следующий результат, который можно рассматривать как своеобразную форму усиленного закона больших чисел для квадратично интегрируемых мартингалов (ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
