1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 84
Текст из файла (страница 84)
!Оь Т е о р е м а 4. Пусть Р «~ Р, а„=г„гЮ „п»1, с г,=1. Тогда (,У «=(ф, 11)) (16) Доказательство. Поскольку Й„(г„=О) = ~ г„с(Р=О, (»„=О) то (Р-п. н.) (18) (г <оо)=(0<г, <оо)=(0<Ив!г„<оо) Полагая в (3) А=(г =О), находим, что Р(г =0)=0. Поэтому из (18) ((з-п. н.) 4 6. АБсОлютнАя напРеРывность и сингуляРность 5!7 Введем функцию х, <х< =1, [ з)ипх, <х<~1. Тогда < л ( л — ЛИ т, )„,Л )-1 — Л)) Г ))и А)Л <, !)И) А=) А =-1 из которой, в частности, вытекает, что М(а,< Р„д) =1 (Р.п. н.).
Из (23) М [и (1 и а„) <,У „Д = М [а„и (1 и сс,) <,Р „,) (Р-и. И.). (24) Поскольку хи(1пх) ~х — 1 для всех х~0, то в силу (24) М [н (1п а„) <,Р'„д) ~ О (Р-и. н.). Отсюда следует, что стохастическая последовательность Х = (Хл, Р )с л Хл лл и', и (1п ЯА) А=! относительно меры Р является субмартингалом, причем )л)Х„< = < и (1п а„) < ~ 1. Тогда по теореме 5 из й 5 [Р-п. Н.) Пусть М означает усреднение по мере Ри т) — T„-измеримая интегрируемая случайная величина. Из свойств условных математических ожиданий следует (задача 4), что г„дМ(т)< К„д)=М(д)г„< ~„д) (Р- и Р.п.
н.), (21) М (11) )лР'л 1) =Рлй-)М (д)зл<лК~ 1) (Р-и. н.). (22) Вспоминая, что а„=ай !г„, из (22) получаем следующую полезную формулу: М (11 ! и'„1) =М(а„Ч < ~„д)(Г)-и. Н.), (23) 518 ГЛ. Нп. МАРТИНГАЛЫ Тем самым из (19), (20), (22) и (25) находим, что (Р-п.н.) )=(Ха( - * "» -1 ]- 1*= 1 =(т. и(. О .)О- . ((,О(г.,)~ ) АА=( и, следовательно, в силу теоремы 2 Р~РииР(О,М(, О,)О, 'О О(О,-,(( ] ), (ОО) 1А=( Р ) РииР(~ М( „О,)-(- Ф'О ъ))Г,-,)- [=(.
(2)) Заметим теперь, что в силу (24) М [(1 — )Га„)О! У „т]=2М[1 — )Га„!Х„О] (Р-и. н.) и для всех х) О найдутся такие константы А и В (О» А» В»оо), что А(1 — ~' х)'(хи(1пх)+хиО(1пх)+! — хи-В(1 — )Г х)'. (28) Поэтому утверждения (16) и (17) следуют из (26), (27) и (24), (28). Теорема доказана. Следствие 1. Если для любого п)1 о-алгебры о(ОО„) и )ОО ,У„, независимы по мере Р (или Р) и Р<,'Р, то имеет место альтернатива: либо )З ~Р, либо Р 1 Р. При этом Р<Р > ~ [1 — М~ „]» и=! Р 1. Р <=:> У', [1 — М 3/а„) = оо.
и= 1 В частности, в ситуации Какутани (см, теорему 3) ОО„=(7„и Р <, 'Р сэ ~ [1 — М )/ ()„(х„)]» со, и 1 Р 1 Рс:;> ~ [1-М)Г(4(х„)]=со. а 1 4 а АБсОлютнАя непРеРыВнОсть и сннгуляРность 5!9 !ас Следствие 2. Пусть )О ~Р.
Тогда а(т. ма.!".!г.,!а )-1~А<а. Та =- ! Для доказательства достаточно заметить, что для любого х~О х!пх+-9-(1 — х) ~1 — х'*, з (29) и воспользоваться (16) и (24). Следствие 3. Поскольку ряд ~ч~11 — М()! а„),У', !)), Состоя. а= ! щнй из неотрицательных (Р-и. н.) членов, сходится или расходится одновременно с рядом 2;)!ПМ()Га„),У'„,)!, то утверждениям (16) и (17) теоремы 4 можно придать следующую форму: Р СасаР)~ )! мо' „)г„,)/( ) !, (зс! Та=! Р, асса(~/!.м(У;,/г.,)/ )=!. сз!! Та=! Следствие 4.
Пусть существуют константы А и В такие, что 0(А~1, В~О и Р(1 — А =а„( 1+В) = 1, и.= 1. !сс Тогда, если Р((Р, то а<асса(Т м!!~ — .!а ~г.,!а )=1, Та= ! Р ) Р а=> ) ~ ~, М «(1 — аа)'),У„!1 = ОО = 1. Та =- ! Для доказательства достаточно заметить, что для х ен 11 — А, 1+В], 0(А(1, В= О, найдутся такие константы с и С (Ос с(С(оо), что с (1 — х)' м--. (1 — р' х)' ( С (1 — х)'. (32) 4. В обозначениях п.
2 предположим, что $=(9„$„...) и $ = 19„$,... ) — две гауссовские последовательности, ЄЄ˻ 1. Покажем, как для таких последовательностей из полученных выше «предсказуемых» критериев следует альтернатива Гаека — Фельдмана: либо Р Р, либо Р„) Р З2О ГЛ. НП. МАРТИНГАЛЫ По теореме о нормальной корреляции (теорема 2 й 13 гл. 11) условные математические ожидания М (х„) %„1) и М (х„~ %„1), где М и М вЂ” усреднения по мерам Р н Р соответственно, являются линейными функциями от х„..., х„,, Обозначим эти (линейные) функции через а„,(х) и а„1(х) соответственно и положим Ь„, = (М [х„— а„, (х))')чн Ь„, =(М (х„— 11 1(х))Ч) '*.
По той же самой теореме о нормальной корреляции найдутся последовательности з=(з„е„... ) и й=(й„з„... ), состоящие из независимых гауссовских случайных величин с нулевым средним и единичной дисперсией такие, что х„=ач 1(х)+Ь„,е„(Р-п. н.), х„= йч 1 (х) + Ь„,з„(Р-п. н.). (33) (хч ач-! (х)) 1 (хч «л-! (х)) ~ (34 2Ьч -1 2«й-1 ) ач 1(й! 1ехр( где 1(„=(Ь„Ь, ~ и пч (х) Мй1, пч (х) =' Мй1, Ь3 = ОВ1. Ьй рйч, Из (34) !пМ(а,')Фч 1) — 1п 2 1+«й-Ч ач 1(х)-«„,(х)' Ч ! !Ч 1+«й-1 Ьа-1 Поскольку 1и — ",' ~0, то утверждение (30) принимает следую- 1+ «й-Ч Заметим, что в случае Ь„,=О (Ь„1=0) для построения величин е„(й„) приходится, вообще говоря, расширять вероятностное пространство.
Однако если Ь„,=О, то распределение вектора (х„..., х„) сосредоточено (Р-п. н.) на линейном многообразии х„а„,(х), и поскольку по предположению Р, 'Р„то Ь„,=О, а„,(х)=11„1(х) и а„(х) =*1 (Р- и Р-п. н.). Поэтому без ограничения общности можно считать, что Ьй)0, Ь„')0 при всех п~1, поскольку в противном случае вкладсоответствующнх членов в сумму '1, '[1 — МР"а,) 9„!) (см. (16) и (17)) равен нулю. Ч=! Используя предположения о гауссовости, из (33) находим, что для и) 1 622 Гл, чп. МАРтинГАлы и~1.
Тогда либо Р Р, либо Р 1 Р. При этол« У [И ~ — '"'"')'+ (ф-1Д~ л=О Р ) Р ~ ~М~ — '"~"') +(ф — 1Д= л=О (38) Р~~ ()'„<оо~=1с:=> 'У', Мр1<со. !л= ! 1 л=! (39) Доказательство. Имплнкацня <.= следует из теоремы Фубини. Установим обратное утверждение, предположив сначала, что Мр„ =О, и =- 1. С этой целью достаточно показать, что (40) поскольку тогда нз условия Р Д,'Я(со) =1 будет следовать, что правая часть в (40) меньше бесконечности. Зафиксируем некоторое п~1. Тогда из Я 11 и 13 гл.
11 следует, что можно найти такие независимые гауссовские случайные величины )1» „, /г=1, ..., г=-п, с М(1» »=0, что л ~ И= Х ()1,. Л=-! А=! Если обозначить Мр) „=Хь „, то легко найдем, что л М '~, р),л= .'~, ')»,л л=! *=1 (41) Г л М„р у, 8; „) = И И+2Л»,л)- !». А= !»=! (42) Сравнивая правые части в (41) и (42), получаем -» ' О».! ъ Ме л М ~ р»=М ~" р» „=- Ме »=! А=- ! Докажем теперь закон «нуля или единицы» для гауссовских последовательностей, использованный при доказательстве теоремы 5.
Л е м м а. Пусть р = ())„)„~ ! — гауссовская последовательность, заданнал на (11, У; Р). Тогда 5 б. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ И СИНГУЛЯРНОСТЬ БЕЗ откуда предельным переходом (прн и-р со) получаем требуемое неравенство (40). Предположим теперь, что М()„=бЗ О. РаССМОтрИМ НОВУЮ ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтЬ р = (()„)„гл! С тЕМ жЕ распределением, что и у последовательности р = ф„)„в.1, и не зависящую от нее (в случае необходимости расширяя исходное „р» * р .р »1Р л, Р(~1!л )р, !л=1 Р (~ !1.— Р.р*( )-Р,...
р....„,.„ !»=1 2 ~ М(б.— Мб„) = ч„м(()„-б„) »=1 л=! Так как (Мб„) 2б„+2(б„Мб„), то ~Ч„(М)р,)б( со и, значит, л=! Х Мб:= ч; (Мб.) + ~; М(()„— Мб,)» »=1 л=! »=1 Лемма доказана. 5. Задачи. 1, Доказать справедливость утверждений (б). 2. Пусть Рл Рл, п~1. Показать, что Р РС=:р Р(г ОО)=Р(г )О)=1, Р ) Р<=:>(!Р(г =со)=1 или Р(г =О)=1. 3. Пусть Р„< Рл, п~1, т — момент остановки (относительно (,У'„)), Й,= )В~ У, и Р,=Р~ У; — сужения мер Р и Р на О-ал- ГЕбру Г'„.
ПОКаЗатЬ, ЧтО (Ь,<,'Р„ЕСЛИ И ТОЛЬКО ЕСЛИ (тл»ОО) = =- (г ( со) (Р-и. и.). (В частности, если )ъ (т < со) = 1, то Р,< Р,.) 4. Доказать формулы (21) и (22), 5. Проверить справедливость неравенств (28), (29), (32). 6. Доказать формулу (34). 7. Пусть в п.
2 последовательности $=(е„е„...) и = ($„4„...) состоят из независимых одинаково распределенных случайных величин. Показать, что если Р- б Рм, то Р»~~Р атом и только том случае, когда меры Р- и Рь совпадают. Если же ер РР ~Р1, и Р~ ~Рб„то )з ) Р. 524 Гл. чи. МАРтингхлы й 7. Об асимптотике вероятности выхода случайного блуждания за криволинейную границу 1. Пусть $„$„...-последовательность независимых одинаково распределенных случайных !величин, 3„=$,+...+ «„, д = = а(п) — некоторая «граннца», п~.1, и т=!п!(п)1: Я„=д(п),' — тот первый момент, когда случайное блуждание (5„)„~ ~ окажется ниже границы д=д(п).
(Как обычно, т=со, если ( ) = сд.) Отыскание точного вида распределения для момента т является весьма трудной задачей. В настоящем параграфе находится асимптотика вероятности Р (т ) и) при и-». со для широкого класса границ у=у(п) и в предположении, что величины 5; нормально распределены. Применяемый метод доказательства основан на идее «абсолютно непрерывной замены меры» с использованием ряда изложенных выше свойств мартингалов и марковских моментов. Теорема 1. Пусть $ь «„...— независимые одинаково распределенные, фр л' (О, 1), случайные величины. Предположи»о что граница у=а(п) такова, что д(1) (О и для а~ 2 О =Лд(п+ 1) =Лд'(и), где Лд(п) =й(п) — д(п — 1) и » - (Хв»ьв), ~.»= 2 (2) Тогда где Т.
(и) — некоторая медленно меняющаяся функция (например, Е(п) =С(1пп)з с любым (! прн 1(2(ч(1 и с р) О при т=1/2). 2. Следующие два вспомогательных предложения будут использоваться при доказательстве теоремы 1. Будем предполагать, что $„ $„ ... †последовательнос незаврсимых одинаково распределенных случайных величин, ер" (О, 1), Обозначим,г;=(ф, 11), .У„=о(вк 1,, ..., $„), и Прежде чем переходить к доказательству, отметим, что усло- вия (1) и (2) выполнены, если, скажем, а(п)=ап'+Ь, 1/2<т(1, а+Ь<О, илн (при достаточно больших и) д(п)=п'1.(п), 1~2(т(1, 526 ГЛ. Ч1!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
