1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 83
Текст из файла (страница 83)
с теоремой 2 в 3 3 гл. 1Ч и со следствием 2 вп. 353). Т е о р е м а 4. Пасть М = (М„,,У"„) — квадратично интегрируемый мартингал и А=(Аа,,У„,) — предсказуемая возрастаюи1ая последовательность с Ар~а1, А =со (Р-п. и.). Если (Р-и. н.) Гл. чи мАРтингллы то, согласно лемме Кронекера (0 3 гл. 117), — "- О (Р-и, и.), М„ А» если с вероятностью единица существует конечный предел 1ипт„. В силу (13) ((гп) ( оо) ~ (~п»-~), (20) Х»+1 = 0Х» +»»ы (21) где Х, не зависит от $„$„..., а 9 — неизвестный параметр, — «-9- Будем интерпретировать Х„как результат наблюдения в момент времени и и поставим задачу оценки неизвестного параметра 0.
Возьмем в качестве оценки 0 по результатам Хм Хм ..., Х» вели- чину » вЂ ! »=о » (22) » — ! в=о полагая ее равной нулю, если знаменатель обращается в нуль. (Ве.пнчнна з„есть оценка, полученная по л~егподу нпиненватих квадратов.) Из (21) н (22) ясно, что 0„=0+ ~~" А» где » — 1 А„=(М)„= т' — '~ — ".
гэ»м В=О ~~ хд„„ Овм э=о Поэтому, если истинное значение неизвестного параметра есть 9, то Р(0„- 0)=1, (23) когда (Р-п. и.) — -«О, п-~со. М„ А» (24) поэтому нз (18) следует, что условие (16) достаточно для выполнения (17). Теорема доказана. Пример. Рассмотрим последовательность независимых случайных величин сь $„...
с М~~ = О, 0$; = 0~ ) О, и пусть последоаательносэь Х =(Х„)„~в определяется из рекуррентных урав- пений 009 4 к о множвствлх сходимостн Покажем, что условия ОЭ эр О ~ ~ (~Л!)= л=! (25) достаточны для (24) и, следовательно, достаточны для (23). Имеем ~л 4ы н л н — ! н=-! Тем самым По теореме о трех рядах (теорема 3 в 9 2 гл. !Ъ') расходпмость ряда ~> М ( †" Д 1) обеспечивает расходимость (Р-п.
н.) ряда ! тзп н=! ! ~' ~ —," Д1). Поэтому Р((М) =со) =1. 1(елее, если н=! н 4= ! то кз п<м)! (М)! ~ м!Ьх +их,! !д !( ~ (х ! и?! =! и, поскольку Р ((М) = со) = 1, то Р ((т) ( оо) =-1. Поэтому требуемое соотношение (24) следует напосредственно иэ теоремы 4. Теорема 5, Пусть Х=(Х„У„) — субмартингал, Х,=т„+А„ — его разложение Дуба. Если,'ЬХ„) (С, то (Р-п. и.) ((т) -1-А С со) =1Մ— н), или, чп!о то же, В1О гл.
ч!!. млгтингхлы Доказательство. Поскольку А„= 'У'. М(ЛХ, ~.У,,), л=! т„= ) ', [ЛՄ— М (Лхл,!.У!, !)», (28) (29) то в силу предположения ~ Лхл ~ = С мартингал т = (т„,,У „) является квадратично интегрируемым с : 'Ли„(~ 2С. Тогда из (13) ((и) +А со» ы (Х,-!-» (30) и согласно (8) (Х - »Ы(А <со». Поэтому из (14) и (20) (Хл-э» =(Кл-л»П(А ( со» =(Մ— !-» Й(А~< со»() (т„-л» = =.- (Х„-+»() (А (со» П((т) (со» =. =(Х.-э.»П(А +(и) =ос»=(А +(л!)„Ссо». Наконец, эквивалентность утверждений (26) и (27) следует из того, что в силу (29) < )„=у;(м[(лх,) ~,у,,» — [м(лх„(,т,,)»», и из сходимости ряда ~~ М(ЛХл!.Ул !), состоящего из неотри.
л=! цательных членов, следует сходимость ряда ~; [М(ЛХ, ~,Уу, !)»'. л=! ((п( знр М(Х!'(.7 ) <со» =' (Х„!. ». л! л~м 4. Показать, что следствие к теореме 1 остается верным и для обобщенных мартингалов. 5. Показать, что всякий обобщенный субмартингал класса Сл является локальным субмартингалом.
Теорема доказана, 4. Задачи. 1. Показать, что если субмартингал Х =(Х„,,У „) удовлетворяет условию знр М ~Х„((оо, то он принадлежит классу С+. л 2, Доказать, что теоремы 1 и 2 остаются справедливыми для обобщенных субмартингалов. 3, Показать, что для обобщенных субмартингалов (Р-п, н.) имеет место включение з а Авсолютнля непРеРНВнОсть н сингглягность 5!1 й 6. Абсолютная непрерывность и сингулярность вероятностных распределений 1. Пусть ((г,,У) — иекоторсе измеримое пространство с выделенным на нем семейством о-алгебр (,У„)„>! таких, что,У,~ ысУсы ...
с — сУ и Будем предполагать, что на ((г,,У) заданы две вероятностные меры Р и Р. Обозначим Р„=Р; У'„, Р„= Р , 'У'„ — сужения этих мер на,У „, т. е. пусть Р„и Р, — меры на (11, У „), причем для В ен,У'„ Р„(В) = Р (В), Р„(В) = Р (В). Определение 1.
Вероятностная мера Р называется абсолюп!но неарерывной относительно Р (обозначение: Р ~Р), если Р(А) =О всякий раз, когда Р(Л) =О, А ~:У'. В случае Р ~~Р и Рч. Р меры Р и Р называются эквивалентнымо (обозначение: Р Р). Меры Р и Р называются сингулярными или Ортогональньсми, если существует такое множество Л ~ У, что Р (А) =1 и Р(А) =-1 (обозначение: Р 1 Р). О и р е д е л е н и е 2. Будем говорить, что мера Р локально !ос абсолютно ненрерыена относительно меры Р (обозначение! Р (~ Р), если для любого а-- 1 Р„п 'Р„. (2) Основные вопросы, рассматриваемые в настоящем параграфе, состоят в выяснении условий, при которых из локальной абсо- !сс лютпой непрерывности Р ~ Р следует выполнение свойств Р Р, Р Р, Р ! Р. Как станет ясно из дальнейшего, теория мартингалов является тем математическим аппаратом, который позволяет исчерпывающим образом ответить на эти вопросы.
!сс Итак, будем предполагать, что Р ~ Р. Обозначим врп ~п !! ~п ь!в Гл, ч1ь млгтипгллы производную Раднона — Никодима меры Р„относительно Рса Ясно, что г„являются .У„-измеримыми, и если А ~Ха, то (" ОР.„ , г ~»дР =,! вр,дР = Й„„(А) = Р„(А) = ~,„~" с(Р = ~ г„дР. л а л Отсюда следует, что относительно мены Р стохасо1ическая последовательность Е =- (г„,,У'«)„~1 является мартингалом. Обозначим г =!!щг,. Поскольку Мг„=!, то из теоремы 1 ~ 4 следует, что Р-п. н. существует 1ппг„и, значит, Р(г =!ппг„) =1.
(В ходе доказательства теоремы 1 будет установлено, что предел !Впг, существует и по мере Р, так что Р(г =1!гп г„) =1.) Ключевым моментом во всей проблематике «абсолютная непрерывное«ь и сингулярность» является !ас Теорема 1 (разложение Лебега). Пусть Р «Р. Тогда для всякого А ~ У Р(А)= ~г дР+Р(А()(г =ос)), (3) О = —, (Р + Р), О.
= — (Р„+ Р„), и ~ 1, и обозначим «Р «Р» оР» 1=- — 1»= — 1»= —" ° оа' во„' оа„' ВР 1 = - —. ЗО' Поскольку Р(1=0)=Р(1=0)=0, то О(1=0, 1=0)=0 и зна. чит, на множестве Р." (1=0, 1=0» корректно определена вели- причем меры р(А)=Р(АП (г =оо)) и Р(А), А~ У', сингулярны. Лака зательство. Прежде всего отметим, что классическое разложение Лебега устанавливает, что если Р и Р— две меры, то найдутся и притом единственные меры Л и р такие, что Р=Л+Р, где Л(<Р и м 1Р. Локазываемое утверждение (3) можно рассматривать как конкретизацию этого разложения, связанную с предположением о том, что $~„~Р„, а~ 1.
Введем в рассмотрение вероятностные меры % Б, АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ Н ОИНГУЛЯРНОСТЬ В»З (Оп н), (4) т. е. » „ = г„»„ (О-и. и.), (5) откуда г„=»„»„' (О-п. Н.), где, как и раныне, на множестве (»„=О, »„=0), имеющем О- меру нуль, полагаем» „.;„' = О. Каждая из последовательностей (»,„,У'„) и (»„,,г'„) образует (относительно меры О) равномерно интегрируемый мартингал и, следовательно, существуют пределы Ягп »„и 1пп»„. При этом (а-, !Нп$а=», !ппй,=!.
(6) Отсюда и нз соотношений г„= » „»; (О-и. н.) и 0 (» = О,; = 0) = =-0 Вытекает, что 0-и. н. существует 1ппг,=г, равный» Ясно, что Рс О, Р((О. Тем самым 1ппг„существует как по мере Р, так и по мере Р. Пусть теперь ) (А) = )г г(Р р(А)=Р(АП(г = о)). Для доказательства (3) надо показать, что Р(А)=Х(А)+р(А), ).((Р, р ) Р, Имеем -Э -Г Э» Р(А) = ~ » (а= (»»» (О+ ф- »»1 (ОА А А $»ЙР+)11 — !»3дР= $г ЙР+Р(АП(! О)), (7) где последнее равенство следует из того, что 19 Р ( ! = 1-'! - 1, Р !г - ! 1-') = 1 -чина ! ° »-'.
На множестве (» О, 1=01 будем полагать ее равной нулю. Так как Р„~ Р„<,*О„, то (см. (П.7.36)) 514 ГЛ. ЧН. МАРТИНГАЛЫ Далее, Р (А П (1 = О)» = Р [А П (1 = 0) П [1 ) 0)» = -)з [А П [1 1-' = о)» = Р [А П (г 1) = оо», что вместе с (7) доказывает разложение (3). Из конструкции меры Х ясно, что Х 4 Р, причем Р (г < <со)=1. И в то же время )А(г <со)=Р((г <со)П(г = со)»=0. Тем самым теорема доказана. Из разложения Лебега (3) вытекают следующие полезные критерии абсолютной непрерывности и сингулярности для локально абсолютно непрерывных вероятностных мер. 1ос Теорема 2. Пусть Р<,'Р, т.
е. Р„<Р„, п~1. Тогда Р<" Рс»Мг =!сьев(г <оо)=1, Р ) РсьМг =Ось)з(г =со).=1, (8) (9) где М вЂ” усреднение по мере Р. Доказательство. Полагая в (3) А=Я, находим, что Мг =1 с>Р(г =со) =О, Мг =Ось Р(г =со)=1. (! 0) (11) знр М [г„!п+г„) < со (12) Если Р(г =со)=0, то снова из (3) следует, что г1»' Р. Обратно, пусть Р((Р. Тогда поскольку Р(г =со)=0, то Р(г =со)=0, Далее, если Р 1 Р„то существует множество В е= .У с Р(В)=1 и Р(В)=0.
Тогда из (3) Р(ВП(г =со))=1 и, значит, Р(г =со)=1. Если же Р(г =ос)=1, то свойство Р ! Р очевидно, поскольку Р (г = со) = О. Теорема доказана. 2. Из теоремы 2 ясно, что критерии абсолютной непрерывности и сингулярности можно выражать или в терминах меры Р (и проверять равенства Мг =1 или Мг =0) или же в терминах меры Р (и тогда проверять, что Р (г < со) = 1 или Р (г = оо)= 1). В силу теоремы 5 9 6 гл. П условие Мг =1 равносильно условию равномерной интегрируемости (по мере Р) семейства (г„»„~1. Это обстоятельство позволяет давать простые достагпочные условия для абсолютной непрерьаности Р<Р. Например, если 5 б. ЛБСОЛЮТНЛЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ И СИНГУЛЯРНОСТЬ или если зцр Мел+'(ОО, е) О, (13) л Пусть также Рл = Р ! Лл Р„=Р! Я„, — сужения мер Р и Р на Л„и Р>„(А) =Р($„ен А), Р- (А) = Р Я„ен А), А я Л(Р!).
Тео рема 3 (альтернатива Какутани). Пусть 5 =(з„с„...) и $ = ($, $„...) — последовательности из независимых случайных величин, для которьбх ( Р- <,'Р~„, п)1. (14) Тогда или Р ~',Р, или Р ) Р. Локазательство. Условие условию, что Р„<,'Р„, п(1, т. е. ЬР„ ел =,!Р =ч'>(х>) (14), очевидно, равносильно - !ас Р ~ Р. Ясно, что ')л (хл)~ то, согласно лемме 3 5 6 гл. П, семейство случайных величин (г„),~! будет равномерно интегрируемым н, значит, Р(Р. Во многих же случаях при проверке свойств абсолютной непрерывности или сингулярности предпочтительнее использовать критерии, выраженные в терминах меры Р, поскольку тогда дело сводится к исследованию Р-вероятности «хвостового» события (г (ОО), а для этого можно использовать утверждения типа закона «нуля или единицы>.
В качестве иллюстрации покажем, как из теоремы 2 выводится альтернатива Какутани. Пусть (1«, У, Р) — некоторое вероятностное пространство, (Р,,% ) — измеримое пространство числовых последовательностей х = (х, х„...) с ~%, = >б (Р ), и пуст~ вдл = о (х! (х„..., х„) ). Предположим, что $=($„$„...) и $ = ф„$>, ...) — две последовательности, состоящие из независимых случайных величин.
Обозначим через Р и Р распределения вероятностей на (Р, % ) для $ и $ соответственно, т. е, Р (В) = Р (й ен В), Р (В) = Р Д ~ В!Ь В ~ д„. 6!6 Гл. чп мАРтингалы где ар!)! (х!) = — '(х,). ! ! ар (15) Следовательно, с! (*:г,! ь(*;!« ~ * *ю . и !=! в силу закона «нуля или единицы» Колмогорова (теорема 1 з 1 гл. 1У) вероятность Р(х: г <со) принимает только два значе- ния (О или 1) и, значит, по теореме 2 или Р 1 Р, или Р «~~Р. Теорема доказана. 3. Следующая теорема дает критерий абсолютной непрерыв- ности и сингулярности, выраженный в «предсказуемых» терминах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
