1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 78
Текст из файла (страница 78)
юь млятиигхлы Но (т»)л) ) Я, й-з-со, поэтому ~Х»м«(Р = ~Х,«(Р, А ел У„, что и доказывает требуемое равенство М 1Х„»» ~ У „1= Х„(Р-п. и.). Ь) ~ с). Пусть ЛХ,=Մ— Х„„Х,=О и У»=0, = М() ЛХ„)(,У'„»), и) 1. Положим В'„= У~~, У =О и У„= ~Ч" йт; ЛХь л ~ 1. Ясно, что и, следовательно, У = (У„, Р „) есть мартингал. Далее, Х, = = У» ° У»*=О и Л(У ° У)„= ЬХ„. Поэтому с):=ь а). Пусть Х =- У У, где У вЂ” предсказуемая последовательность, У вЂ” мартпнгал и У„= У,=О.
Положим т„=(п1 (п=-О: ( 1'„», ).з»а), считая т»=со, если множество (.)= 6. Поскольку У„», являются У„-измеримыми, то для каждого й=»1 величины т» являются марковскими моментами. Рассмотрим «остановленные» последовательности Х'»=((1' ° ° У)„ц,„)1«>»),,У„). На множестве (т»~О) действует неравенство: ! У, », ( ~:: й. Отсюда следует, что для любого л = 1 М ~ (У ° У)„д, 71«>») ( <-, оо, Далее, для а = 1 М[[(У 1)м+п뫄— (У 1) л Дт(»>»)[ г ~= =71«„>о) Ум+ил.» М [~ы+и뫄— 1'.л«») У.[= О. поскольку (см. пример 7) М [У,„«ил,» — У„л, ),У„[= О. Итак, для кагкдого й»1 стохастические последовательности Х'» являются мартингалами, т» ( оо (Р-п.
н.), и, следовательно, Х вЂ” локальный мартингал. Теорема доказана. 5. Пример 8. Пусть (т)„)„~~ — последовательность независимых одинаково распределенных бернуллиевских случайных величин с Р(»1„=1)=р, Р(»1„= — 1)=д, р-гав=О. Будем интерпретировать событие (»)„- 1) иак успех (выпгрьнп), а событие (т)„= — 1) как неуспех (проигрыш) некоего игрока в и-й партии. $ ! ОПРсдвляш!е млгтннгхлов и Родственных понятия 473 Предполом«им, что его ставка в п-й партии есть У .
Тогда суммарный выигрыш игрока за и партий равен « Х„=~ Рй),=Х„,+1„)„, Х,-О. с=! Вполне естественно, что величина ставки У„в и-й партии может зависеть от результатов предшествующих партий, т. е. от $'„... "°, 1' -! и Ч„... > !1„,. Иначе говоря, если положить,У' =(ф, 1)) и У'„о(ьп! «1„..., «!„), то У„будет У,,-измеримой случайной величиной, т. е. последовательность 1' = (1!„,,У „,), определяющая «стратегию» игрока, является предсказуемой, Полагая у„= = Ч«+" +Ч., находим, что Х.= У р;Л)', 1=! т .
е. последовательность Х=!Х„,,У„) с Х«=О есть преобразование У с помощью 1!. С точки зрения игрока, рассматриваемая игра является споа- еедлпаой (благоприятной илн неблагоприятной), если на каждом шаге величина ожидаемого выигрыша М(Х„+,— Х„/ У„)=0 (= О или ~0). Поэтому ясно, что игра справедлива, если р = д= 1)2, благоприятна, если р)д, неблагоприятна, если р с.!). Поскольку последовательность Х =(Х„,,У„) образует мартингал, если р=о=1(2, субмартингал, если р= !), супермартингал, если р(!7, то можно сказать, что предположение о справедливости (благо- приятности или неблагоприятности) игры соответствует предполо- жению о мартингальности (субмартннгальности или супермартин- гальности) последовательности Х. Рассмотрим сейчас специальнъ|й класс «стратегийю Г = (1!„, У„!)„~! с $',=1 и для п>1 с 11 2'-', если !1«= — 1, ..., «1„, = — 1, (9) О, в остальных случаях, смысл которых сводится к тому, что игрок, начиная со ставки «'«=1, каждый раз увеличивает ставиу вдвое при проигрыше и прекращает игру вовсе после первого выигрыша.
Если т!«= — 1, ..., Ч„= — 1, то суммарные потери игрока за и партий будут равны 474 гл, тп мхвтингьлы Поэтому, если к тому же «1„+, — 1, то Х„+, — — Х„+ Р„ы = — (2' — 1) + 2" = 1. Обозначим т=!п1(л)1: Х„=1). Если р =у= 1(2, т. е. рассматриваемая игра является справедливой, то Р (т=л)=(1(2)", Р(т(оо)=1, Р(Х„=1)=1 и МХ,=1. Таким образом, даже в справедливой игре, придерживаясь <стратегии» (9), игрок за конечное (с вероятностью единица) время может вполне успешно закончить игру, добавив к своему капиталу еще одну единицу (М Х< = 1.» Хь = 0), В игровой практике описанная система игры, заключающаяся в удвоении ставки при проигрыше и прекращении игры при первом вьигрыше, называется мартингалом. Именно отсюда ведет свое происхождение математическое понятие «мартингал».
Замечание. В случае р =у=112 последовательность Х = =(Х ° У«)«»ь с Х,=О является мартингалом и, значит, для любого л ) 1 МХ„= МХ, =О. Можно поэтому ожидать, что это соотношение сохранится, если вместо моментов и рассматривать случайные ыомсн1ы т. Как станет ясно из дальнейшего (теорема 1 в 4 2), в <типичных» ситуациях МХ«=-МХ». Нарушение же этого равеисзва (кгк в рассхютренной выше игре) происходит в тех, так сказать, физически нереализуемых ситуациях, когда или т, или !Х„! принимают слишком большие значения. (Заметим, что рассмотренная выше игра физически нереализуема, поскольку она предполагает неограниченность времени игры и неограниченность начального капитала игрока). 6. О п р еде л е н и е 6.
Стохастпческая последовательность $ =($„, У,)„»ь называется л~артингал-разяосглью, если М !«„((оз для всех я~«0 и (10) М ($„„,' У „) = 0 (Р-п, н.), Из определений 1 и 6 ясна связь между мартингалами и мартингал-разностями. А именно, если Х=(Х„У'„) — мартингал, то К=(В„У„) с «<=Х» и 5„=ЬХ„, а~1, является мартингал-разностью. В свою очередь, если $ =($„, У'„) есть мартингал-разность, то Х=(Х„,,У„) с Х„=зь+...+$„является мартингалом.
В соответствии с этой терминологией всякая последовательность $=(«„)„»ь независимых интегрируемых случайных величин образует мартингал-разность (с:У„=о(еп $«, 5„..., $„)). 7. Следующая теорема проясняет структуру субмартингалов (супермартингалов). Т е о р ем а 2 (Дуб). Пусть Х = (Х„,,У'„) — субмартингал. Тогда найдуп«ся мартингал т = (т„, У „) и предсказуемая возрастающая последоватгльяость А =(А„,,У„,) такие, что для каждого и ~0 4 1, ОПГВДаЛвНик»1»втннг»лов И ГОДСтввНных ПОНятип 47-' имеет место разложение Дуба1 Х„=т„+А, (Р-п.
н.). Разложение подобного глина является единственным. Лок а вате льство. Положим т, =Х„А»=О и (11) л — 1 тл = 1п, + ~ [Х~~1 — кй (Х~.ц 1',У т)), 1=-О л — 1 А, = ~ [М(Х „,' У ) — Хт). (12) (13) Очевидно, что так определенные т и А обладают требуемыми свойствами. Далее, пусть также Хл =и„'+ А„', где т' =(гл„',,Ул)— мартингал, а А'=(А,',,Ул) — предсказуемая возрастающая после- довательность. Тогда (М) =~",М[(ЛМ)»(,У1 (15) 1=-1 и для всех (~й йй [(М» — М1) ! пУ 13 = М [М» — М1 ) пУ 11 1= йй [(М)» — (М)с 1 У Л (1б) Ап -1-1 — Ал = (Ал, — Ал)+(тп-.1 — гпп) — (тп+1 — лгл)п и, беря от обеих частей условные математические ожидания, полУчаем, что (Р-п. н.) А„' 1 — А„'=Ал»,— Ал. Но А,=А;=О, и, значит, А„=А„' и тл=в„'(Р-п.
н.) для всех и= О. Теорема доказана. Из разложения (1!) вытекает, что последовательность А = =(Ал, ,У л,) компенсирует Х = (Х„, ,У,) до мартингала. Это замечание оправдывает такое Определение 7. Предсказуемая возрастающая последовательность А = (Ал, У л,), входящая в разложение Дуба (1!), называется колигенсатором (субмартингала Х).
Разложение Дуба играет ключевую роль при исследовании квадратично интегрируемых мартингалов М=(Мл,,Ул)п>м т. е. мартингалов, для которых ММ„'-'(оо, п)О, что основано на том замечании, что стохастическая последовательность М'=(Ф!„',,У л) является субмартиигалом, Согласно теореме 2 найдутся такои мартингал т = (тл, .У л) и предсказуемая возрастающая последовательность (М)=((М)„, Ул,), что М'„= тл + (М) .
(14) Последовательность (М) называется квадратической характеристикой марти~гала М и во многом определяет его структуру и свойства. Из (12) следует, что п 476 ГЛ. Чи. МАРТИНГАЛЫ В частности, если Мл О (Р-п. н.), то ММ$ = М <М>». (17) Полезно заметить, что если М,=О и М„=к!+...+$, где ($„) — последовательность независимых случайных величин с М$! = О и МЦ(со, то квадратическая характеристика <7И>„= ММ', = ОЫ-... + О,"„, (18) является неслучайной и совпадает с дисперсией. Если Х =-(Х„,,К,) и У = (У„,,У „) — квадратнчно интегрируемые мартингалы, то положим <Х, 1 >.
=.,' [<Х+ У>„<Х У>„1, (19) Нетрудно проверить, что (Մӄ— (Х, У>„,Кл) есть мартингал и, значит, для 1 ~ й М [(Х» — Х!) (У» — У!) )ле!11= М [(Х, 1 >» — (Х, У)! ! У !!1 (20) . В случае, когда Х„=$1+...+$„У„=Ч!+...+т)л, где ($л) и (!1„) — последовательности независимых случайных величин с М$1= = МО! л О и МИл" со, М»Д(со, величина (Х, 1')„равна л (Х, У)„= ~ сот(с1, и!). 1=! Последовательность (Х, У)=((Х, У>„ .У „,) часто называют взаимной характеристикой (квадратйчно интегрируемых) мартин- галов Х и У.
8. Задачи. 1, Показать эквивалентность условий (2) и !3). 2. Пусть а и т — марковские моменты. Показать, что т+а, т !»! о, т Ч' а также являются марковскими моментами, и если Р (о -..- т) = 1, то У'л с- Г,. 3. Показать, что т и Х, являются,У,-измеримыми. 4. Пусть 1' =(У„,,р „) — мартингал (субмартингал), 1' = (У„, ,У'„!) — предсказуемая последовательность и (У. 1')„— интегрируемые случайные величины, п~О. Показать, что тогда У ° У есть мартингал (субмартипгал). 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
