1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 85
Текст из файла (страница 85)
МАРТИНГАЛЫ Доказательство. По следствию 1 к теореме Ъ'П.2.1 МХлАл=О, откуда — М1(а(п) Хл=М!(а- и) Хл, На множестве (а«=п) — Х,~Ь>О. Поэтому гри п ~ 1 — М1 (а =- п) Х > ЬР (а ( п) ~ ЬР (а = 1) = ЬР (Х, с — Ь) > О. (8) С другой стороны, в силу неравенства Коши — Буняковского М1(а- п) Х„([Р(<т>п) МХ'„)2!2, (9) что вместе с (7) и (8) приводит к требуемому неравенству. Доказательство теоремы 1. Достаточно показать, что л 1ип 1пР(т>и) У (Лл(Ь))2~ —— 2 (10) 11!и 1пР(т>и)/ Р' (йй(Ь)12( — — '. 1 2=2 (1 1) С этой целью рассмотрим (неслучайную) последовательность (ял)л~! С а,=О, я„=Ад(п), п~2, и вероятностные меры (Р„),в, 2, определенные формулой (5).
Тогда в силу неравенства Гельдера Рл (т> п) = М1(т > и) гл (Р (т > п))ье (Мгл)2!Р, (12) где р > 1 и 7= —. Р Последний сомножитель легко вычисляется в явном виде: л !л Си"- г(-"т- А'Рая!Т). А 2 (13) 1эл(т>п) =Р„(52~у(й), 1(й(и) Р 152~Ц (1)! 1 ( Ь ( Оценим теперь вероятность )2„(т>п), входящую в левую часть (12), Имеем 527 $7. ОБ АСИМПТОТИКЕ ВЕРОЯТНОСТР[ ВЫХОДА Где 52= ~ Р[, $[=$[ — а[. Согласно лемме 1 величины $[.,... $, [=1 по мере Рл являются независимыми и нормально распределенными, $[ лФ" (О, 1). Тогда по лемме 2 (примененной к Ь= — д(1), Р=Р„, Л"„=5„) находим, что $~42) и) (14) где С вЂ” некоторая константа. Тогда нз (!2) — (!4) следует, что для любого р ) 1 л Р( ) )лл р ( — ~р л [ар[[)[' р >1 ~, [[р[ Р— 1 2=2 где С вЂ” некоторая константа.
Из условий теоремы и в силу произвольности р 1 нз (15) получаем оценку снизу (10). Лля получения оценки сверху (11) прежде всего заметим, что, поскольку 2,) 0 (Р- и 12„-п. н.), то в силу (5) Р (т ) л) = М„! (т ) п) г„', (1б) где Мл — усреднение по мере Рл. В рассматриваемом нами случае [22 = О, а„= Дар(л), а~ 2, поэтому для и- 2 л л л -.«р(- тлр[р[ [..р —,' у[рррр[[), 2-2 2=2 По формуле суммирования по частям (см. доказательство леммы 2 в З 3 гл. 1Ч) л л Х да(/г) 32=да(п) 5.— Х Бард(да(й)), откуда с учетом того, что по условиям теоремы Дх (л) ~ О, Д(Дй(12)) (О, НаХОдИМ, ЧтО На МНОжЕСтВЕ (Т~П) =(82-лй(й)р 1(А'(л) lр л 'У', Дйр(й) 52~А(п) д(и) —,У,'4(й-1) Д(Дй(й))-$2ДА[(2) = 2=2 2=2 л - Х !Да(й)1'+а(1) Да(2)- ЬДа(21 ГЛ, ЧП.
Ь[АРТИНГАЛЫ Итак, из (16) Р(т)л)~ и р ~- р Л [ЬР[Й)[' — 2[1)ЬР[2))Н,[[ ) ) ) ~ *Р (--'р ~ [РР[1)[*)ч.)[* где М„!(т)п)е 2' ы 'ч-Мг„е "ьв[2' Ме зр~в[~)ч" оо, Поэтому р Р) ~ )~С р~ — —,' т [рр[1)Р), 2=2 где С вЂ” некоторая положительная константа, что и доказывает оценку сверху (11). Теорема доказана. 3. Идеи абсолютно непрерывной замены меры позволяют исследовать аналогичную задачу и для случая двусторонних границ.
Приведем (без доказательства) один из результатов в этом направлении. Т е о р е м а 2. Пусть 32, З„... —. независил[ые одинаково распределеннь[е, $1 чг" (О, 1), случайные величины. Предположил[, что 1 ) (я) — лоложительная функ[)ия такая, что 1(и)- со, л- со, )р и Х [Р[[1))'- [ Х [- [1)), 2-2 ),А =1 Тогда, если а 1п1(н)1; (5„(~)(н)), "1) )= "Р(-р ~ ["[1)[).Р [1))~, — [)1) А-! 4. Задачи. 1. Показать, что последовательность, определенная в (4), являетея мартингалом. 2.
Установить справедливость формулы (13), 3. Доказать формулу (17). Г Л А В А У! 11 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, ОБРАЗУЮЩИЕ МАРКОВСКУЮ ЦЕПЬ $1. Определения и основные свойства 1. В главе 1 5 12) для случая конечных вероятностных пространств были изложены основные принципы, положенные в основу понятия марковской зависимосши между случайными величинами. Там же были приведены разнообразные примеры и рассмотрены простейшие закономерности, которыми обладают случайные величины, связанные в цепь Маркова.
В настоящей главе дается общее определение стохастической последовательности случайных величин, связанных марковской зависимостью, и основное внимание уделяется изучению асимптотпческпх свойств марковских цепей со счетным множеством состояний, 2. Пусть (»1, У, Р) — вероятностное пространство с выделенным на нем неубывающим семейством о-алгебр (У'„), У'» а,У'» а <=... <=,у. Оп р еде л е н не. Стохастическая последовательность Х = (Х„, ,У,) называется марковской цепью или цепью Маркова (по отношению к мере Р), если для любых п)о<~0 и любого В ~ »вф) Р(Х»аВ! У„,)=Р(Х»енВ~Х„,) (Р-п.
н). (1) Свойство (1), называемое марковским свойством, допускает различные эквивалентные формулировки. Так, (1) равносильно тому, что для любой ограниченной борелеаской функции а=а(х) М(й(Х„)~ У ]=М~д(Х )!Х ] (Р-п. н.). (2) Свойство (!) эквивалентно также тому, что при фиксированном «настоящем» Х <будущее» Б и «прошлое» П независимы, т.
е. Р(БП! Хм) =Р(Б! Хм) Р(П! Х„), (3) где событие Бе о(ап Хп (~т], а событие Пан.г„, гали. 530 гл. шп. млвковскив цвпи В том частном случае, когда У' = У' » = О (аи Х, " °, Х ) и стохастическая последовательность Х = (Х„, У, ) образует хх марковскую цепь, принято говорить, что сама последовательность (Х„) является марковской цепью.
В этой связи полезно отметить, что если Х = (Х„, У „) — цепь Маркова, то (Х„) также есть марковская цепь. 3 ам еч а н не. В данном выше определении предполагалось, что величины Х„принимают действительные значения. Аналогичным образом дается определение марковской цепи и в том случае, когда величины Х„принимают значения в некотором измеримом пространстве (Е, 8). При этом, если все одноточечные множества измеримы, то это пространство называют (сазовым и говорят, что Х = (Х„, г „) — марковская цепь со значениями в фазовом пространстве (Е, Ж). В том случае, когда Š— конечное нли счетное множество (и Ь вЂ” о-алгебра всех его подмножеств), марковские цепи называют дискретными, В свою очередь дискретные цепи с конечным фазовым пространством называют конечными цепями.
Изложение теории конечных марковских цепей, данное в й 12 гл. 1, показывает, что в их исследовании особо важную роль играют переходные вероятности Р (Х„.„, ~ В ~ Х„) за один шаг. В силу теоремы 3 из З 7 гл. 11 существуют функции Р„„(х; В)— регулярные условные вероятности, являющиеся при фиксированном х мерами на ()г, З(Р)) и при фиксированном В измеримыми функциями по х, такие, что Р(Х„+, еи В ~ Х,) =Р„,,(Х„; В) (Р-п. н.). (4) Функции.Р„=Р„(х; В), п)0, называют переходными функциями и в том случае, когда онн совпадают (Р, =Р,=...), соответствующую марковскую цепь Х принято называть однородной.
(по времени). Все дальнейшие рассмотрения будут вестись лишь для однородных марковских цепей, а переходная функция Р, = Р, (х; В) будет обозначаться просто Р = Р (х; В), Наряду с переходной функцией важной вероятностной характеристикой марковской цепи является начальное распределение п = и (В), т. е.
распределение вероятностей, определяемое равенством п(В) =Р(Х, ев В). Набор объектов (и, Р), где и†начальное распределение, а Р-переходная функция, полностью определяет вероятностные свойства последовательности Х, поскольку все конечномерные $1 ОНРейеления и ОснОВные сво1тстВА 531 Отсюда не следует, конечно, что тогда для всех х~ Я Р««1 (х. В) г)Р1А1 (х; йу) Р1н (у; В). (9) Оказывается, однако, что регулярные варианты переходных вероятностей можно выбрать так (см. по этому поводу соответствующее место в историко-библиографической справке), что свойство (9) будет выполнено для всех хан Я. Уравнение (9) носит название уравнения Колмогорова — Чэпмена (ср. с (!.12.13)) и служит отправным моментом при исследовании вероятностных свойств марковских цепей.
4. Как следует из вышеизложенного, каждой марковской цепи Х =(Х„,,х„), заданной на (11, Р, Р), сопоставляется набор (я, Р). Естественно поставить вопрос о том, каким условиям должен удовлетворять набор (и, Р), где н = и (В) есть распределение вероятностей на (1Ч, %(Р)), а Р =Р(х; В) — функция, являющаяся измеримой по х при фиксированном В и вероятностной мерой по В при каждом х, чтобы и было начальным распределением, а Р— переходной функцией некоторой марковской цепи. Как сейчас будет показано, для этого никаких дополнительных условий налагать не требуется.
В самом деле, возьмем в качестве ((г, Г) измеримое пространство ()т, %()т )) и определим на множествах А ен я%()с"-~1) распределения выражаются (задача 2) через и и Р: для любого и- 0 и А с,%(Я" ') Р ((Хв ., Х,) ~ А) = =~я(1(хв) ~Р(хо' ах1) ...~1А (хм ... х )Р(х -б йх ). (5) Отсюда стандартным предельным переходом выводится, что для любой,%ЯВн)-измеримой функции (одиого знака или ограниченной) д(х„..., х„) Мд(Х„..., Х„)= =~н(г(хо) ~Р(хо, с(хг) ...~д(хо, ..., х„)Р(х„д, йх„).
(6) и л Я 3. Обозначим через Р1" 1 = Роо (х; В) — регулярный вариант переходной вероятности за и 1иоеов1 Р(Х„ее В~Х,)=Р" (Х,; В) (Р-и. н.). (7) Из марковского свойства непосредственно выводится, что для любых й, 1= 1 (Р-и. н.) Р1" 1(Х,; В) =~Р11(Х,, йу) Р1н(у, .В) (8) ГЛ. УН1. МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ вероятностную меру с помощью выражения, стоящего в правой части формулы (5). Как следует из $ 9 гл. П, на (Я, л-о(Л )) существует вероятностная мера Р такая, что (.хо "., хл) ж А» ~ !1(йхо) ~" (хо йх1) ° ° ° ~ лА (А«1 ° ° ° л хл) Р (хл-11 йхл) (10) я я я ПОКажЕМ, ЧтО ЕСЛИ дЛя О»=(ХО, Х„...) ПОЛОжИтЬ Х„(О»)=Х«, тО последовательность Х = (Х,)„~о будет образовывать (по отношению к построенной мере Р) марковскую цепь.
Действительно, если В ~Ю()с), С енЛ(Ялл1), то Р (Хл«, еп В, (Х„..., Хл) ен С» =~ я(йх,) ~ Р(х„йх») ... ...~)а(хл«!))с(хо, ..., хл)Р(хл, йхл+!) = =-~п(йхо) ~Р(х,; йх,) ...~Р(х„; В) lс(х„..., хл) Р(хл,; йхл) = Р(Х,; В) йР, (оо(х,, .... х„1ас) откуда (Р-и.
н.) Р (Хлл! е= В !Хо, ..., Хл» = Р (Хл', В). Аналогичным образом проверяется, что (Р-и. н.) Р(Х»лт ев В(Х«» =Р(Х„; В). (12) Из (11) и (12) вытекает требуемое равенство (1). Точно так же доказывается, что (Р-и. и.) для любого й~ 1 и а ~0 Р(Х„+»~В~Х„..., Х„»=Р(Х„,»~В»Х„».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
