1625915144-a0b004e5d7d0e6e9b8f80b0c67f3317f (843874), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Îíè ÿâëÿþòñÿíåïðåðûâíûìè, îäíàêî èõ òî÷êè ðîñòà îáðàçóþò ìíîæåñòâî íóëåâîé ëåáåãîâîé ìåðû(òî÷êà x íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ðîñòà, åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 F (x + ε) − F (x − ε) > 0).38dFX (t)Òàêèì îáðàçîì,= 0 ïî÷òè âñþäó, îäíàêî F (∞) − F (−∞) = 1. Ýòî òðóädtíî ïðåäñòàâèòü, íî òàêèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ åñòü. Ïðèìåðîì ìîæåò ñëóæèòüèçâåñòíàÿ êðèâàÿ Êàíòîðà, âñå èçìåíåíèå êîòîðîé ñîñðåäîòî÷åíî íà îòðåçêå [0, 1]:F (x) = 0 ïðè x ≤ 0 è F (x) = 1 ïðè x ≥ 1. Ñòðîèòñÿ îíà ñëåäóþùèì îáðàçîì. Îòðåçîê [0, 1] ðàçáèâàåòñÿ íà òðè ðàâíûå ÷àñòè [0, 1/3], [1/3, 2/3], [2/3, 1]. Íà âíóòðåííåìñåãìåíòå ïîëàãàåì F (x) = 1/2.
Îñòàâøèåñÿ äâà ñåãìåíòà ñíîâà ðàçáèâàþòñÿ íà òðèðàâíûå ÷àñòè êàæäûé, è íà âíóòðåííèõ ñåãìåíòàõ F (x) ïîëàãàåòñÿ ðàâíîé ñîîòâåòñòâåííî 1/4 è 3/4. Êàæäûé èç îñòàâøèõñÿ ñåãìåíòîâ ñíîâà äåëèòñÿ íà òðè ÷àñòè, èíà âíóòðåííèõ F (x) îïðåäåëÿåòñÿ êàê ïîñòîÿííàÿ, ðàâíàÿ ñðåäíåìó àðèôìåòè÷åñêîìó ìåæäó ñîñåäíèìè, óæå îïðåäåëåííûìè çíà÷åíèÿìè F (x), è ò. ä. Íåòðóäíî âèäåòü,÷òî ïîñòðîåííàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé è ñóììàðíàÿ äëèíà îòðåçêîâ ïîñòîÿíñòâà äëÿ F (x) ðàâíà∞ k41X 2111 2+ ++ ... === 1,3 9 27333 1 − 2/3k=0òàê ÷òî ôóíêöèÿ F (x) ðàñòåò íà ìíîæåñòâå ìåðû íóëü, íî áåç ñêà÷êîâ.Åñëè F1 , F2 è F3 ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî àáñîëþòíî íåïðåðûâíîãî, äèñêðåòíîãî è ñèíãóëÿðíîãî òèïîâ, òî ëþáàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âèäàα ≥ 0, β ≥ 0, γ ≥ 0, α + β + γ = 1,F (y) = αF1 (y) + βF2 (y) + γF3 (y),òàêæå áóäåò ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ. Îòíåñåì åå ê ñìåøàííîìó òèïó.
Èçâåñòíàÿòåîðåìà Ëåáåãà óòâåðæäàåò, ÷òî ëþáàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðåäñòàâëÿåòñÿ â òàêîì âèäå êàê ñìåñü àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé, äèñêðåòíîé èñèíãóëÿðíîé êîìïîíåíò.ßñíî, ÷òî ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè ñìåøàííûõ ðàñïðåäåëåíèé ÿâëÿþòñÿ, ê ïðèìåðó,àáñîëþòíî íåïðåðûâíûå (èì ñîîòâåòñòâóþò α = 1, β = 0, γ = 0 ) è äèñêðåòíûåðàñïðåäåëåíèÿ (ïðè α = 0, β = 1 è γ = 0).Ïðèìåð ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñìåøàííîãî òèïà. Íà ðèñóíêå èçîáðàæåí ãðàôèêíåêîòîðîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.
Î÷åâèäíî, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíîé (èìååòñÿ ó÷àñòîê íåïðåðûâíîãî ðîñòà) è íå ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé âñèëó íàëè÷èÿ ñêà÷êà. Ýòî ðàñïðåäåëåíèå ñìåøàííîãî òèïà.F (y)6112012-yÄëÿ ðàçëîæåíèÿ ýòîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ íà êîìïîíåíòû ïðîùå âñåãî âûäåëèòü ñíà÷àëà äèñêðåòíóþ ÷àñòü: îíà äîëæíà èìåòü åäèíñòâåííûé ñêà÷îê â òî÷êåy = 1. Áåðåì F2 (y) = I1 (y) (âûðîæäåííîå ðàñïðåäåëåíèå â åäèíèöå), β = 1/2. Òîãäàÿñíî, ÷òî F1 (y) = U1,2 (y), α = 1/2, γ = 0.Òàêèì îáðàçîì, ïîñòàâèâ ïåðâîíà÷àëüíóþ çàäà÷ó èçó÷åíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí,ìû íà ñàìîì äåëå ñòàëè ïîäðîáíî èçó÷àòü èõ ðàñïðåäåëåíèÿ.
Òåì ñàìûì ïðîèçîøëàíåêîòîðàÿ ïîäìåíà.Ìîæíî ëè óòâåðæäàòü, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå îäíîçíà÷íî õàðàêòåðèçóåò ñëó÷àéíóþâåëè÷èíó? Îêàçûâàåòñÿ, íåò. Ïî ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå ìû èçâåñòíûì îáðàçîì ñòðîèì39ðàñïðåäåëåíèå, à âîò ïî ðàñïðåäåëåíèþ âîññòàíîâèòü ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó íåâîçìîæíî.Ñëåäóþùèé ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî íà îäíîì è òîì æå âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå ìîæíî ïîñòðîèòü áåñêîíå÷íî ìíîãî ðàçëè÷íûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èìåþùèõîäíî è òî æå ðàñïðåäåëåíèå.Ïðèìåð. Ïóñòü Ω = [0, 1], ñîáûòèÿìè áóäåì ñ÷èòàòü âñå áîðåëåâñêèå ïîäìíîæåñòâà [0,1].
Äëÿ âñÿêîãî èíòåðâàëà A ⊂ Ω ïîëîæèì P(A) = λ(A), ãäå λ(A) äëèíàèíòåðâàëà. Âîçüìåì äàëåå ïðîèçâîëüíûé èíòåðâàë B ⊂ Ω, èìåþùèé äëèíó 1/2, èçàäàäèì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó(1, ω ∈ B,X(ω) =0, ω 6∈ B.Îíà ïðåäñòàâëåíà íà ðèñóíêå.1 6X(ω)0B-ω1ßñíî, ÷òî X ⊂= B1/2 :1P(X = 1) = λ(B) = ,21P(X = 0) = .2Ïåðåìåùàÿ ìíîæåñòâî B âíóòðè Ω, ìû áóäåì ïîëó÷àòü âñå íîâûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, îäíàêî âñå îíè áóäóò èìåòü îäíî è òî æå ðàñïðåäåëåíèå B1/2 .2.3.Íåçàâèñèìîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è êëàññîâ ñîáûòèéÎïðåäåëåíèå. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X , X , .
. . , Xíàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè,åñëè äëÿ ëþáûõ áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ B1 ∈ B(R), . . . , Bn ∈ B(R) âûïîëíÿåòñÿñîîòíîøåíèå12nP(X1 ∈ B1 , X2 ∈ B2 , . . . , Xn ∈ Bn ) = P(X1 ∈ B1 )P(X2 ∈ B2 ) . . . P(Xn ∈ Bn )(1)(ïåðå÷èñëåíèå ñîáûòèé ÷åðåç çàïÿòóþ îçíà÷àåò îäíîâðåìåííîå èõ îñóùåñòâëåíèå, òîåñòü ïåðåñå÷åíèå).Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ âûòåêàåò, ê ïðèìåðó, ïîïàðíàÿ íåçàâèñèìîñòü ñëó÷àéíûõâåëè÷èí: åñëè ïîëîæèòü B3 = B4 = . .
. = Bn = R, òî áóäåì èìåòüP(X1 ∈ B1 , X2 ∈ B2 ) = P(X1 ∈ B1 )P(X2 ∈ B2 ).Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû {Xn }∞n=1 , çàäàííûå íà îäíîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå,áóäóò íàçûâàòüñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè ïðè ëþáîì n ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , . . . , Xníåçàâèñèìû â ñìûñëå ïðåäûäóùåãî îïðåäåëåíèÿ.Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ðàññìîòðèì ñîâîêóïíîñòü σ(X) ñîáûòèé âèäà X −1 (B), B ∈ B(R).
Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî σ(X) ÿâëÿåòñÿ σ -àëãåáðîé. Ïîîïðåäåëåíèþ, îíà íàçûâàåòñÿ σ -àëãåáðîé, ïîðîæäåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé X .40Ïðèìåðû Ïóñòü Ω = [0, 1], S ñîâîêóïíîñòü áîðåëåâñêèõ ïîäìíîæåñòâ [0, 1].Òîãäà åñëè X(ω) = ω , òî σ(X) = S . Åñëè æå X = 0 ïðè ω ≤ 1/2 è X = 1 ïðèω > 1/2, òî â ýòîì ñëó÷àå σ(X) = {∅, Ω, [0, 1/2], (1/2, 1]}.Ïóñòü A1 , . . . , An íåêîòîðûå êëàññû ñîáûòèé.
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî îíè íåçàâèñèìû, åñëè äëÿ ëþáûõ B1 ∈ A1 , . . . , Bn ∈ An âûïîëíÿåòñÿP(B1 . . . Bn ) = P(B1 ) . . . P(Bn ).Ñîîòíîøåíèå (1) ìîæíî ïåðåïèñàòü â ýêâèâàëåíòíîì âèäå:P(X1−1 (B1 ), X2−1 (B2 ), . . . , Xn−1 (Bn )) = P(X1−1 (B1 ))P(X2−1 (B2 )) . . . P(Xn−1 (Bn )).Çàìåòèì ïðè ýòîì, ÷òî ñîáûòèÿ âèäà Xi−1 (Bi ) ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè σ -àëãåáð σ(Xi ).Òàêèì îáðàçîì, íåçàâèñèìîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X1 , X2 , . . .
, Xn ìîæåò ïîíèìàòüñÿ êàê íåçàâèñèìîñòü σ -àëãåáð σ(X1 ), . . . , σ(Xn ).Âåðíåìñÿ ê ñîîòíîøåíèþ (1). Îêàçûâàåòñÿ, åñëè îíî âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ ìíîæåñòâ âèäà Bi = (−∞, yi ), i = 1, . . . , n, òî îíî áóäåò èìåòü ìåñòî è äëÿ ëþáûõáîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ Bi ∈ B(R), i = 1, . . . , n. Äðóãèìè ñëîâàìè, âåðíî ñëåäóþùååóòâåðæäåíèå..
Ïóñòü äëÿ ëþáûõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë y1 , y2 , . . . , yn âûïîëíÿåòñÿÒåîðåìàP(X1 < y1 , X2 < y2 , . . . , Xn < yn ) = P(X1 < y1 )P(X2 < y2 ) . . . P(Xn < yn ).Òîãäà ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , X2 , . . . , Xn íåçàâèñèìû.Ïðèâåäåì äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà.Åñëè (1) ñïðàâåäëèâî äëÿ ìíîæåñòâ âèäà Bi = (−∞, yi ), òî îíî ñïðàâåäëèâî è äëÿìíîæåñòâ âèäà Bi = [xi , yi ) ýòî ëåãêî ïîêàçûâàåòñÿ. Çíà÷èò, (1) áóäåò âûïîëíÿòüñÿòàêæå äëÿ ëþáûõ ìíîæåñòâ èç àëãåáðû A, ýëåìåíòû êîòîðîé ïðåäñòàâèìû â âèäåêîíå÷íîãî îáúåäèíåíèÿ ïîëóèíòåðâàëîâ òàêîãî âèäà.
Ïî-äðóãîìó ìîæíî ñêàçàòü, ÷òîíåçàâèñèìûìè áóäóò àëãåáðû Ai , ñîñòîÿùèå èç ñîáûòèé âèäà Xi−1 (B), B ∈ A. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî σ -àëãåáðû, ïîðîæäåííûå àëãåáðàìè Ai , ñîâïàäàþò ñ σ -àëãåáðàìèσ(Xi ). Çàâåðøàåò íàøè ðàññóæäåíèÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.. Ïóñòü A1 è A2 äâå ïðîèçâîëüíûå íåçàâèñèìûå àëãåáðû ñîáûòèé.Òîãäà íåçàâèñèìûìè áóäóò ïîðîæäåííûå èìè σ -àëãåáðû σ(A1 ) è σ(A2 ).Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû íàì ïîòðåáóåòñÿ àïïðîêñèìèðîâàòü ñîáûòèÿ èç σ àëãåáðû ñîáûòèÿìè èç ïîðîæäàþùåé åå àëãåáðû.
×òîáû îñóùåñòâèòü ýòî, äëÿ âñÿêîéïàðû ñîáûòèé A è B ââåäåì ôóíêöèîíàëÒåîðåìàd (A, B) = P(AB ∪ AB) = P(AB) + P(AB) = P(A \ B) + P(B \ A).Ýòî ïî÷òè ðàññòîÿíèå (ðàâåíñòâî d (A, B) = 0 íå îçíà÷àåò, ÷òî A = B ). Ââåäåííûéôóíêöèîíàë îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ïîëåçíûìè ñâîéñòâàìè.1) d (A, B) = d (B, A) = d (A, B);2) d (A, C) ≤ d (A, B) + d (B, C);3) d (AB, CD) ≤ d (A, C) + d (B, D);4) |P(A) − P(B)| ≤ d (A, B).Ïåðâîå èç íèõ î÷åâèäíî.
Âòîðîå âûòåêàåò èç ñîîòíîøåíèéd (A, C) = P(AC) + P(AC) = P(ACB) + P(AC B) + P(ACB) + P(ACB) ≤≤ P(CB) + P(AB) + P(AB) + P(CB) = d (A, B) + d (B, C).41Äîêàæåì òðåòüå. Ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû äâîéñòâåííîñòè ïîëó÷àåìP(ABCD ∪ ABCD) = P(AB(C ∪ D)) + P((A ∪ B)CD) ≤≤ P(ABC) + P(ABD) + P(ACD) + P(BCD) ≤≤ P(AC) + P(BD) + P(AC) + P(BD).×åòâåðòîå ñâîéñòâî ñëåäóåò èç ïðåäñòàâëåíèéP(A) = P(A \ B) + P(AB),P(B) = P(B \ A) + P(AB).Ëåììà îá àïïðîêñèìàöèè. Ïóñòü A íåêîòîðàÿ àëãåáðà ñîáûòèé.
Òîãäà äëÿëþáîãî ñîáûòèÿ A ∈ σ(A) ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîáûòèé {An }, An ∈ A,òàêàÿ, ÷òîlim d (An , A) = 0n→∞(à ýòî çíà÷èò, ÷òî P(A) = lim P(An )).n→∞Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì A∗ ìíîæåñòâî ñîáûòèé, àïïðîêñèìèðóåìûõ â ýòîìñìûñëå. ßñíî, ÷òî A ⊂ A∗ , ò. ê. âñåãäà d (A, A) = 0. Äàëåå ïîêàæåì, ÷òî A∗ σ àëãåáðà. Îòñþäà áóäåò ñëåäîâàòü σ(A) ⊂ A∗ , ïîñêîëüêó σ(A) íàèìåíüøàÿ èç âñåõσ -àëãåáð, ñîäåðæàùèõ A.Òî, ÷òî A∗ ÿâëÿåòñÿ àëãåáðîé, ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ïîñêîëüêó ñîîòíîøåíèÿ A ∈ A∗ ,B ∈ A∗ âëåêóò çà ñîáîé ïðèíàäëåæíîñòü A∗ ìíîæåñòâ A, A ∪ B , AB . Íàïðèìåð, åñëèd (A, An ) → 0, d (B, Bn ) → 0, òî â ñèëó òðåòüåãî ñâîéñòâà d (AB, An Bn ) ≤ d (A, An ) +d (B, Bn ) → 0, ò. å. AB ∈ A∗ .
Êðîìå òîãî d (A, An ) → 0, ò. å. A ∈ A∗ , A ∪ B = ĀB̄ .Ïóñòü òåïåðü∞[Ck , Ck ∈ A∗ .C=k=1Òàê êàê A∗ àëãåáðà, òî Dn =nSCk ∈ A∗ , ïðè ýòîìk=1d (Dn , C) = P(C \ Dn ) = P(C) − P(Dn ) → 0â ñèëó ñâîéñòâà íåïðåðûâíîñòè âåðîÿòíîñòè. Ïîýòîìó ìîæíî âûáðàòü An ∈ A òàê,÷òîáû d (Dn , An ) ≤ 1/n, îòêóäà ñðàçó ïîëó÷àåìd (C, An ) ≤ d (C, Dn ) + d (Dn , An ) → 0.Òåì ñàìûì ìû óñòàíîâèëè, ÷òî C ∈ A∗ , ò.
å. A∗ îáðàçóåò σ -àëãåáðó. Ëåììà äîêàçàíà.Âåðíåìñÿ ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû. Äëÿ êàæäûõ äâóõ ñîáûòèé A1 ∈ σ(A1 ) èA2 ∈ σ(A2 ) âûáåðåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñîáûòèé {A1n } èç A1 è {A2n } èç A2 òàê, ÷òîd (Ai , Ain ) → 0. Òîãäàd (A1 A2 , A1n A2n ) ≤ d (A1 , A1n ) + d (A2 , A2n ) → 0,P(A1 A2 ) = lim P(A1n A2n ) = lim P(A1n )P(A2n ) = P(A1 )P(A2 ).n→∞n→∞Òåîðåìà äîêàçàíà.Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , X2 , . . . , Xn äèñêðåòíû, òî îïðåäåëåíèå èõ íåçàâèñèìîñòè óäîáíî äàâàòü â ñëåäóþùåé ýêâèâàëåíòíîé ôîðìå..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
