1625915144-a0b004e5d7d0e6e9b8f80b0c67f3317f (843874), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Ìîìåíò k -ãî ïîðÿäêà èöåíòðàëüíûé ìîìåíò k -ãî ïîðÿäêà ñóùåñòâóþò èëè íå ñóùåñòâóþò îäíîâðåìåííî.3.3.ÄèñïåðñèÿÄèñïåðñèÿ ýòî òîæå ÷èñëîâàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Îíà ïîêàçûâàåò, íàñêîëüêî ñèëüíî çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îòêëîíÿþòñÿâëåâî è âïðàâî îò ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ. Äèñïåðñèÿ îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî äëÿ òåõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ó êîòîðûõ EX 2 < ∞.. Äèñïåðñèåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X íàçûâàåòñÿÎïðåäåëåíèåDX = E(X − EX)2 .Äðóãèìè ñëîâàìè, äèñïåðñèÿ ýòî âòîðîé öåíòðàëüíûé ìîìåíò ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Îíà äåéñòâèòåëüíî ïîêàçûâàåò, íàñêîëüêî âåëèê ðàçáðîñ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîéâåëè÷èíû.
Âû÷èòàÿ EX èç X , ìû ïîëó÷àåì âñåâîçìîæíûå îòêëîíåíèÿ îò ñðåäíåãî,çàòåì âîçâîäèì ýòè ðàçíîñòè â êâàäðàò, ÷òîáû íå áûëî ñðåäè íèõ îòðèöàòåëüíûõ,à ïîòîì óñðåäíÿåì, áåðÿ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå. Òàêèì îáðàçîì, äèñïåðñèÿ åñòüñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îò ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ.Ìîæíî ïðåäëîæèòü àëüòåðíàòèâíóþ ôîðìóëó äëÿ äèñïåðñèè:DX = E(X − EX)2 = E(X 2 − 2XEX + (EX)2 ) == EX 2 − 2EXEX + (EX)2 = EX 2 − (EX)2 .Äëÿ äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé äèñïåðñèÿ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëàìDX =∞X2(yk − EX) P(X = yk ) =k=1∞Xk=160yk2 P(X = yk ) − (EX)2 ,äëÿ ðàñïðåäåëåíèé àáñîëþòíî íåïðåðûâíîãî òèïà èìååìZ∞DX =(t − EX)2 fX (t)dt =−∞√Z∞t2 fX (t)dt − (EX)2 .−∞DX íàçûâàåòñÿ ñòàíäàðòíûì óêëîíåíèåì.Ñâîéñòâà äèñïåðñèèÇäåñü è âñþäó â äàëüíåéøåì áóêâîé C áóäóò îáîçíà÷àòüñÿ êîíñòàíòû.1. DX ≥ 0.
Ñâîéñòâî î÷åâèäíî.2. DC = 0. Ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ, ïîñêîëüêó C = EC .3. Åñëè DX = 0, òî P(X = C) = 1 äëÿ íåêîòîðîé ïîñòîÿííîé C . Äåéñòâèòåëüíî,èç ñâîéñòâà 6 ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé âûòåêàåò: ñîîòíîøåíèÿ (X − EX)2 ≥ 0 èE(X − EX)2 = 0 âëåêóò P(X − EX = 0) = 1.4. D(CX) = C 2 DX ; â ÷àñòíîñòè, D(−X) = DX . Ýòî âíîâü ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ: D(CX) = E(CX − ECX)2 = C 2 E(X − EX)2 = C 2 DX .5. D(X + C) = DX .
Ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ: E(X + C − E(X + C))2 = E(X + C −EX − C))2 = DX .6. Åñëè X è Y íåçàâèñèìû, òî D(X ± Y ) = DX + DY .Äîêàçàòåëüñòâî.D(X ± Y ) = E(X ± Y − E(X ± Y ))2 = E((X − EX) ± (Y − EY ))2= E(X − EX)2 + E(Y − EY )2 ± 2E((X − EX)(Y − EY ))= DX + DY ± 2Cov(X, Y ),ãäå îáîçíà÷åíîCov(X, Y ) = E((X − EX)(Y − EY )).Ýòà âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ êîâàðèàöèåé ìåæäó ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè X è Y . ÅñëèX è Y íåçàâèñèìû, òî X − EX è Y − EY òàêæå íåçàâèñèìû è ïîýòîìóCov(X, Y ) = E((X − EX)(Y − EY )) = E(X − EX)E(Y − EY ) = 0.Ïðèìåðû. 1. Ïóñòü X ⊂= Bp .
ÒîãäàEX 2 = 1 · p + 0 · (1 − p) = p,EX = p, DX = p − p2 = p(1 − p).2. Åñëè X ⊂= Bn,p , òî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî X åñòü ÷èñëî óñïåõîâ â n èñïûòàíèÿõÁåðíóëëè (ðàñïðåäåëåíèå òî æå ñàìîå). Êàê ìû âèäåëè âûøå, â ýòîì ñëó÷àå X ìîæíîïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû X = X1 + . . . + Xn , ãäå âñå Xi ðàñïðåäåëåíû ïî çàêîíóÁåðíóëëè. Òåïåðü äîáàâèì, ÷òî îíè íåçàâèñèìû, êîëü ñêîðî ñòðîÿòñÿ ïî íåçàâèñèìûìèñïûòàíèÿì. ÏîýòîìóDX = DX1 + . .
. + DXn = np(1 − p).3. Ïóñòü X ⊂= Φα,σ2 . Íàõîæäåíèå DX óïðîñòèòñÿ, åñëè ìû ñâåäåì âñå ê ñòàíäàðòíîìó íîðìàëüíîìó çàêîíó. Îáîçíà÷èì Y = (X − α)/σ , òîãäà Y ⊂= Φ0,1 è X = σY + α.2 ñèëó ñâîéñòâ äèñïåðñèè DX = σ DY , ïîýòîìó äîñòàòî÷íî íàéòè DY . Èíòåãðèðóÿ61ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷àåìEY21= √2πZ∞2 −t2 /2t e−∞1dt = √2πZ∞2 /2t d(−e−t)=−∞∞Z Z∞∞1−t2 /2−t2 /2= √| +edt =ϕ0,1 (t)dt = 1.−te2π −∞−∞−∞Ïîñêîëüêó EY = 0, òî DY = 1 è DX = σ .Òàêèì îáðàçîì, ïàðàìåòðû íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ îáëàäàþò âïîëíå êîíêðåòíûì ôèçè÷åñêèì ñîäåðæàíèåì: α ñîâïàäàåò ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì, à σ 2 ñ äèñïåðñèåé.23.4.Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèèÊîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ýòî ÷èñëîâàÿ õàðàêòåðèñòèêà, êîòîðàÿ ââîäèòñÿ äëÿïàðû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ öåëüþ ïîêàçàòü, íàñêîëüêî îíè çàâèñèìû..
Êîýôôèöèåíòîì êîððåëÿöèè íàçûâàåòñÿÎïðåäåëåíèåCov(X, Y )E((X − EX)(Y − EY ))E(XY ) − EXEY√√ρ(X, Y ) = √==.DX DYDX DYDX DYÊîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ââîäèòñÿ íå äëÿ âñÿêîé ïàðû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí: íåîáõîäèìî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàëè âòîðûå ìîìåíòû EX 2 è EY 2 , à òàêæå, ÷òîáû DX > 0,DY > 0. Ïîñëåäíåå îãðàíè÷åíèå îçíà÷àåò, ÷òî X è Y îòëè÷íû îò êîíñòàíò.Äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè íåîáõîäèìî çíàòü ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå ïàðû (X, Y ). Åñëè, ê ïðèìåðó, èçâåñòíà ïëîòíîñòü fX,Y (u, v), òî ñìåøàííûéìîìåíò âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëåZ∞ Z∞uv fX,Y (u, v) du dvE(XY ) =−∞ −∞(ìû ïðèìåíÿåì çäåñü ïðàâèëî âû÷èñëåíèÿ ìàòîæèäàíèÿ ôóíêöèè g(X, Y ) = X · Y ).Êàê ðàíåå óñòàíîâëåíî, îäíîìåðíûå ïëîòíîñòè ïîëó÷àþòñÿ èç äâóìåðíîé èíòåãðèðîâàíèåì:Z∞Z∞fX (u) =fX,Y (u, v) dv, fY (v) =fX,Y (u, v) du,−∞−∞äàëåå ìàòîæèäàíèÿ è äèñïåðñèè âû÷èñëÿþòñÿ ïî èçâåñòíûì ôîðìóëàì.Ñâîéñòâà êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè1.
|ρ(X, Y )| ≤ 1.Ýòî ñâîéñòâî íàïðÿìóþ ïîëó÷àåòñÿ èç íåðàâåíñòâà Êîøè Áóíÿêîâñêîãî.2. |ρ(X, Y )| = 1 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ íåêîòîðûõ êîíñòàíò a 6= 0 è bâûïîëíÿåòñÿ Y = aX + b.Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè Y = aX + b, òîρ(X, Y ) ==E((X − EX)(aX + b − E(aX + b)))p=DX D(aX + b)E((X − EX)(aX + b − aEX − b))aE(X − EX)2ap=== ±1|a|DX|a|DX a2 DX)62â çàâèñèìîñòè îò çíàêà ÷èñëà a.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà îáðàòíîãî óòâåðæäåíèÿ ââåäåì ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûX − EXX1 = √,DXY − EYY1 = √.DYÇäåñü ê êàæäîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå ïðèìåíåíà îïåðàöèÿ ñòàíäàðòèçàöèè, êîòîðàÿñîñòîèò â âû÷èòàíèè ìàòîæèäàíèÿ è äåëåíèè íà êîðåíü êâàäðàòíûé èç äèñïåðñèè.Îíà ïðîèçâîäèòñÿ ñ åäèíñòâåííîé öåëüþ: äîáèòüñÿ, ÷òîáû ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèåñòàëî íóëåâûì, à äèñïåðñèÿ åäèíè÷íîé. Äåéñòâèòåëüíî,2DX11D(X − EX) =EX1 = √E(X − EX) = 0, DX1 = √= 1.DXDXDXÊðîìå òîãî,ρ(X, Y ) = EX1 Y1 = Cov(X1 , Y1 ).Òàêèì îáðàçîì,D(Y1 ± X1 ) = DX1 + DY1 ± 2Cov(X1 , Y1 ) = 2 ± 2ρ(X, Y ).Ïóñòü òåïåðü, ê ïðèìåðó, ρ(X, Y ) = 1.
Âîñïîëüçóåìñÿ ïîëó÷åííûì ñîîòíîøåíèåì:D(Y1 − X1 ) = 2 − 2ρ(X, Y ) = 0. ñèëó ñâîéñòâ äèñïåðñèè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî Y1 − X1 = C ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöàèëè, ÷òî òî æå ñàìîå,√√√DYDY EXY =√X + EY + C DY − √.DXDXÅñëè ρ(X, Y ) = −1, òî ïîëüçóåìñÿ ñîîòíîøåíèåìD(Y1 + X1 ) = 2 + 2ρ(X, Y ) = 0.3. Åñëè X è Y íåçàâèñèìû, òî ρ(X, Y ) = 0.Ñâîéñòâî î÷åâèäíî.Ê ñîæàëåíèþ, îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íå èìååò ìåñòà.4. Åñëè ρ(X, Y ) = 0, òî X è Y íå îáÿçàòåëüíî íåçàâèñèìû.Ïðèìåð ýòîìó óæå ïðèâîäèëñÿ: åñëè X ⊂= U−1,1 è Y = X 2 , òî Cov(X, Y ) =ρ(X, Y ) = 0, õîòÿ ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû çàâèñèìû.Ïî ýòîé ïðè÷èíå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y íàçûâàþòñÿ íåêîððåëèðîâàííûìè,åñëè ρ(X, Y ) = 0. Íåçàâèñèìîñòü âëå÷åò íåêîððåëèðîâàííîñòü, íî íå íàîáîðîò.3.5.Ìíîãîìåðíûé ñëó÷àé: ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèåè ìàòðèöà êîâàðèàöèé ýòîì ðàçäåëå ìû îáîáùèì ïîíÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè íàìíîãîìåðíûé ñëó÷àé.ÏóñòüX11 X12 .
. . X1n X21 X22 . . . X2n X= ...... ... ... Xm1 Xm2 . . . Xmn63 ìàòðèöà, ñîñòàâëåííàÿ èç ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïîëîæèì, ïî îïðåäåëåíèþ,EX11 EX12 . . . EX1n EX21 EX22 . . . EX2n .EX = ............ EXm1 EXm2 . . . EXmnËåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè ñîõðàíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé.1. Åñëè A è B ìàòðèöû, ñîñòàâëåííûå èç êîíñòàíò, òî E(AX) = AEX ,E(XB) = (EX)B .2. E(X + Y ) = EX + EY .3. Åñëè ëþáîé ýëåìåíò ìàòðèöû X íå çàâèñèò îò ëþáîãî ýëåìåíòà ìàòðèöû Y , òîE(XY ) = EXEY .Ðàçóìååòñÿ, ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ðàçìåðíîñòè ó÷àñòâóþùèõ çäåñü ìàòðèö ïîçâîëÿþò ïðèìåíÿòü îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ.Àíàëîã äèñïåðñèè ââîäèòñÿ òîëüêî äëÿ ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ. Íà ïðîòÿæåíèè ýòîãîè ñëåäóþùåãî ïàðàãðàôîâ ìû áóäåì èçîáðàæàòü âåêòîðû â âèäå ñòîëáöîâX1 X2 X= ...
.XnÎïðåäåëåíèå. Ìàòðèöåé êîâàðèàöèé ñëó÷àéíîãî âåêòîðà X íàçûâàåòñÿ ìàòðè-öà C(X), ó êîòîðîé íà ìåñòå ñ íîìåðîì (i, j) ñòîèò ci,j = Cov(Xi , Xj ), i, j = 1, . . . , n.Ìàòðèöà êîâàðèàöèé åñòü àíàëîã äèñïåðñèè. Ïðè n = 1 îíà ñîâïàäàåò ñ äèñïåðñèåé.  îáùåì ñëó÷àå íà ãëàâíîé äèàãîíàëè ó íåå ñòîÿò äèñïåðñèè DX1 , . . . , DXn ,ìàòðèöà ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî ãëàâíîé äèàãîíàëè: ci,j = cj,i .Ìû çíàåì, ÷òî D(AX+B) = A2 DX â îäíîìåðíîì ñëó÷àå, åñëè A è B êîíñòàíòû.Àíàëîãîì ýòîãî ñâîéñòâà äëÿ ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.. Ïóñòü A ìàòðèöà èç êîíñòàíò, èìåþùàÿ m ñòðîê è n ñòîëáöîâ,à B âåêòîð èç êîíñòàíò ðàçìåðíîñòè m.
ÒîãäàÒåîðåìàC(AX + B) = AC(X)AT ,ãäå âåðõíèé èíäåêñ T ñîîòâåòñòâóåò òðàíñïîíèðîâàííîé ìàòðèöå.Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì äëÿ êðàòêîñòè mi = EXi , i = 1, . . . , n, è âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö: åñëè óìíîæèòü âåêòîð-ñòîëáåö íàâåêòîð-ñòðîêó, òî â èòîãå ïîëó÷èì ìàòðèöó:X1 − m 1 X2 − m 2 · (X1 − m1 , X2 − m2 , . . . , Xn − mn ) =...Xn − m n(X1 − m1 )2(X1 − m1 )(X2 − m2 ) . .
. (X1 − m1 )(Xn − mn ) (X2 − m2 )(X1 − m1 )(X2 − m2 )2. . . (X2 − m2 )(Xn − mn ) .= ............2(Xn − mn )(X1 − m1 ) (Xn − mn )(X2 − m2 ) . . .(Xn − mn )Âçÿâ òåïåðü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå îò îáåèõ ÷àñòåé, ïîëó÷èìE(X − EX)(X − EX)T = C(X),64è àíàëîãè÷íîC(AX + B) ====E(AX + B − E(AX + B))(AX + B − E(AX + B))T =E(AX + B − EAX − B)(AX + B − EAX − B)T =E(A(X − EX)(X − EX)T AT ) =A(E(X − EX)(X − EX)T )AT = AC(X)AT .Òåîðåìà äîêàçàíà.3.6.Ìíîãîìåðíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèåÌû óæå ðàññìàòðèâàëè ðàíåå â êà÷åñòâå ïðèìåðà ÷àñòíûé ñëó÷àé ïëîòíîñòèìíîãîìåðíîãî íîðìàëüíîãî çàêîíà, îíà ñîîòâåòñòâîâàëà ñòàíäàðòíîìó ìíîãîìåðíîìó íîðìàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ. Ñåé÷àñ ââåäåì ýòîò çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ â îáùåéôîðìå.Áóäåì äåéñòâîâàòü ïî àíàëîãèè ñ îäíîìåðíûì ñëó÷àåì.Ïóñòü Y îäíîìåðíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, èìåþùàÿ ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîåðàñïðåäåëåíèå, Y ⊂= Φ0,1 .
Âçÿâ ïðîèçâîëüíûå ÷èñëà α è σ > 0, îáðàçóåì ñëó÷àéíóþâåëè÷èíó X = σY + α, êîòîðàÿ óæå áóäåò ðàñïðåäåëåíà ïî çàêîíó Φα,σ2 ñ ïëîòíîñòüþ122ϕα,σ2 (t) = √ e−(t−α) /2σ ,σ 2π−∞ < t < ∞.Òåì ñàìûì ìû ïîëó÷èëè îáùèé âèä ïëîòíîñòè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïîìîùüþ ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé íàä ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé Y , èìåþùåé ñòàíäàðòíîåíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.Òàê æå ïîñòóïèì è â ìíîãîìåðíîì ñëó÷àå. Ïóñòü Y ñëó÷àéíûé âåêòîð ñ êîîðäèíàòàìè Y1 , . . . , Yn , èìåþùèé ìíîãîìåðíîå ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèåñ ïëîòíîñòüþ() Ynn1X 21 T11exp−texp−tt=ϕ0,1 (ti ).=fY (t) =(2π)n/22 i=1 i(2π)n/22i=1Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî êîîðäèíàòû âåêòîðà Y1 , . . .
, Yn íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû â ñîîòâåòñòâèè ñî ñòàíäàðòíûì íîðìàëüíûì çàêîíîì. Çäåñü C(Y ) = E åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, t = (t1 , . . . , tn )T âåêòîð-ñòîëáåö.Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ íåâûðîæäåííóþ ìàòðèöó A ðàçìåðíîñòè n×n, ñîñòîÿùóþèç êîíñòàíò, è ïîñòîÿííûé âåêòîð α = (α1 , . . . , αn )T è îáðàçóåì íîâûé ñëó÷àéíûéâåêòîðX = AY + α.Ðàñïðåäåëåíèå ïîëó÷èâøåãîñÿ âåêòîðà X è áóäåì íàçûâàòü ìíîãîìåðíûì íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì.. Ïëîòíîñòü ìíîãîìåðíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ çàäàåòñÿ ôîðìóëîé√det QTfX (t) =exp−(t−α)Q(t−α)/2,(2π)n/2Òåîðåìàãäå t = (t1 , . . . , tn )T , Q = (C(X))−1 = (AC(Y )AT )−1 = (AAT )−1 .65√Çàìåòèì, ÷òî ïðè n = 1 è A = σ ïîëó÷àåì Q = 1/σ 2 , det Q = 1/σ .Äîêàçàòåëüñòâî. Êàêîé áû ïðÿìîóãîëüíèê B ⊂ Rn íè âçÿòü, ïî îñíîâíîìó ñâîéñòâó ïëîòíîñòåé äîëæíî áûòüZfX (t)dt,P(X ∈ B) =Bçäåñü äëÿ êðàòêîñòè îáîçíà÷åíî dt = dt1 dt2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
