1625915144-a0b004e5d7d0e6e9b8f80b0c67f3317f (843874), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Åñëè XP→ X , òî ñóùåñòâóåò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü nk òàêàÿ,÷òî Xnk → X ï.í. ïðè k → ∞.Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ êàæäîãî k ≥ 1 âûáåðåì nk òàê, ÷òîáû11P |Xnk − X| ≥≤ 2,kknè âîñïîëüçóåìñÿ ïðåäûäóùèì óòâåðæäåíèåì. Ïóñòü ÷èñëî ε > 0 ïðîèçâîëüíî. Íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà k0 ïðè k ≥ k0 áóäåò èìåòü ìåñòî 1/k ≤ ε, ïîýòîìó∞XP |Xnk − X| ≥ ε ≤∞Xk=k0k=k0 X∞11P |Xnk − X| ≥< ∞.≤kk2k=k0Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà óñòàíàâëèâàåò ñâÿçü ìåæäó ñõîäèìîñòüþ â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì è ïî âåðîÿòíîñòè.PÅñëè Xn → X â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì, òî Xn → X .Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà äëÿ ëþáîãî ε > 0Òåîðåìà 3.P(|Xn − X| ≥ ε) = P((Xn − X)2 ≥ ε2 ) ≤E(Xn − X)2→ 0.ε2Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî.
×òîáû ïîäòâåðäèòü ýòî, âåðíåìñÿ ê óæå ðàññìîòðåííîìó âûøå ïðèìåðó è ìîäèôèöèðóåì åãî. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Xn ïðèíèìàåò òåïåðü çíà÷åíèå n íà ìíîæåñòâå [0, n1 ] è ðàâíà 0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. ßñíî, ÷òîPêàê è ðàíåå, Xn → 0 è äàæå Xn → 0 ïî÷òè íàâåðíîå, îäíàêî EXn2 = n 9 0.Îäíîâðåìåííî çàìåòèì, ÷òî èç ñõîäèìîñòè â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì ñõîäèìîñòüïî÷òè íàâåðíîå íå ñëåäóåò. Ïîäòâåðæäåíèåì ñëóæèò ïðèìåð, ïðèâåäåííûé ïåðåäôîðìóëèðîâêîé òåîðåìû 2, â êîòîðîì EXn2 = 12 · n1 + 02 (1 − n1 ) → 0, îäíàêî Xn íåñõîäèòñÿ ê íóëþ ïî÷òè íàâåðíîå.PÏóñòü Xn → X ï.í. (èëè Xn → X ), g ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ íàPìíîæåñòâå çíà÷åíèé X , òîãäà g(Xn ) → g(X) ï.í.
(g(Xn ) → g(X)).Òåîðåìà 4.76Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ñõîäèìîñòè ïî÷òè íàâåðíîå óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî. ÏðåäPïîëîæèì, ÷òî Xn → X è g(Xn ) íå ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê g(X). Òîãäà íàéäóòñÿ÷èñëà δ > 0, ε > 0 è ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíäåêñîâ n0 òàêèå, ÷òîP(|g(Xn0 ) − g(X)| ≥ ε) > δ.PÍî Xn0 → X , çíà÷èò, íàéäåòñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü n00 ïîñëåäîâàòåëüíîñòè n0 , äëÿPêîòîðîé Xn00 → X ï.í. Òîãäà g(Xn00 ) → g(X) ï.í. è íåèçáåæíî g(Xn00 ) → g(X), ÷òîïðîòèâîðå÷èò ñäåëàííîìó äîïóùåíèþ. Òåîðåìà äîêàçàíà.Äëÿ óñòàíîâëåíèÿ ôàêòà ñõîäèìîñòè ïî âåðîÿòíîñòè ÷àñòî ïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèì óòâåðæäåíèåì.. Ïóñòü EX 2 < ∞, òîãäà äëÿ ëþáîãî ε > 0Âòîðîå íåðàâåíñòâî ×åáûøåâàP(|X − EX| ≥ ε) ≤DX.ε2Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî ïðèìåíèòü ïåðâîå íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà ê ñëó÷àéíîéâåëè÷èíå (X − EX)2 :P(|X − EX| ≥ ε) = P((X − EX)2 ≥ ε2 ) ≤E(X − EX)2.ε2Íåðàâåíñòâî äîêàçàíî.4.2.Î ñõîäèìîñòè ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèéPÏóñòü òåïåðü Xn → X è ñóùåñòâóþò ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ EXn è EX .
Ìîæíî ëè óòâåðæäàòü â ýòîì ñëó÷àå, ÷òî EXn → EX ? Îòâåò îòðèöàòåëüíûé, ïîäòâåðæäåíèåì ýòîìó ñëóæèò ïðèìåð, ïðèâåäåííûé ïîñëå äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 3 ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà. Òåì ñàìûì ìû ïðèõîäèì ê íåîáõîäèìîñòè ïîìèìî ñõîäèìîñòèïî âåðîÿòíîñòè íàêëàäûâàòü íåêîòîðûå äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ, ÷òîáû îáåñïå÷èòüñõîäèìîñòü ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé.Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Xn } ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíî èíòåãðèðóåìîé (ÐÈ), åñëèÎïðåäåëåíèå.sup E(|Xn |; |Xn | ≥ N ) → 0nïðè N → ∞.Çàìåòèì, ÷òî èç óñëîâèÿ ÐÈ ñëåäóåò, ÷òî sup E|Xn | < ∞.
Äåéñòâèòåëüíî, âûáèðàÿn÷èñëî N > 0 òàêèì, ÷òî sup E(|Xn |; |Xn | ≥ N ) < 1, áóäåì èìåòünsup E|Xn | = sup[E(|Xn |; |Xn | ≥ N ) + E(|Xn |; |Xn | < N )] ≤nn≤ sup E(|Xn |; |Xn | ≥ N ) + sup E(|Xn |; |Xn | < N ) < 1 + N.nnÎ÷åâèäíî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ êîíå÷íûì ñðåäíèì ðàâíîìåðíî èíòåãðèðóåìà.Åñëè Xn ðàâíîìåðíî èíòåãðèðóåìû, òî CXn , Xn + C , ãäå C êîíñòàíòà, òàêæåðàâíîìåðíî èíòåãðèðóåìû.
Ýòî ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ. Åñëè â ýòèõ óñëîâèÿõ |Yn | ≤ |Xn |,òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Yn òàêæå ðàâíîìåðíî èíòåãðèðóåìà, ïîñêîëüêóE(|Yn |; |Yn | ≥ N ) ≤ E(|Xn |; |Yn | ≥ N ) ≤ E(|Xn |; |Xn | ≥ N ).77(6)Áîëåå òîãî, åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {X n } è {Yn } ðàâíîìåðíî èíòåãðèðóåìû, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Zn = max |Xn |, |Yn | , Zn = Xn + Yn , òàêæå ðàâíîìåðíî èíòåãðèðóåìû.Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ Zn = max |Xn |, |Yn | èìååìE(Zn ; Zn ≥ N ) = E Zn ; Zn ≥ N, |Xn | > |Yn | + E Zn ; Zn ≥ N, |Xn | ≤ |Yn | ≤≤ E |Xn |; |Xn | ≥ N + E |Yn |; |Yn | ≥ N → 0ïðè N → ∞ ðàâíîìåðíî ïî n.Ðàâíîìåðíàÿ èíòåãðèðóåìîñòü ñóììû Xn + Yn ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà|Xn + Yn | ≤ |Xn | + |Yn | ≤ 2 max |Xn |, |Yn | .Òåîðåìà.
Ïóñòü XP→ X è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Xn } óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþÐÈ. Òîãäà ñóùåñòâóåò E|X| è E|Xn − X| → 0 ïðè n → ∞.Ðàçóìååòñÿ, îòñþäà ñëåäóåò EXn → EX , ïîñêîëüêó |EXn − EX| ≤ E|Xn − X|.Äîêàçàòåëüñòâî. Ñíà÷àëà ïîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò E|X|. Äëÿ ëþáûõ N > 0,ε>0E min(|X|, N ) = lim E(min(|X|, N ); |Xn − X| < ε) ≤nn→∞≤ lim E min(|Xn | + ε, N ) ≤ lim E(|Xn | + ε) ≤ C + ε.n→∞n→∞Ïðè êàæäîì N ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó min(|X|, N ) ìîæíî ïðèáëèçèòü ñíèçó ïðîñòûìèñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè, ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ êîòîðûõ òàêæå íå áóäóò ïðåâîñõîäèòü C + ε.
Áóäåì òåïåðü íåîãðàíè÷åííî óâåëè÷èâàòü çíà÷åíèÿ N . Òîãäà ó àïïðîêñèìèðóþùèõ ïðîñòûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí áóäóò ïîÿâëÿòüñÿ âñå íîâûå ñòóïåíüêè, èýòè ïðîñòûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû áóäóò â èòîãå ïðèáëèæàòü ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó|X|. Ïîñêîëüêó ìàòîæèäàíèÿ âñåõ ðàññìàòðèâàåìûõ ïðîñòûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí íåïðåâîñõîäÿò C + ε, òî æå ñàìîå áóäåò âåðíî è äëÿ E|X|.PÏîëîæèì äàëåå Yn = |Xn − X|. Òîãäà Yn → 0 è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Yn } òàêæåóäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ÐÈ. Ïîýòîìó äëÿ ëþáûõ N > ε > 0 èìååìEYn = E(Yn ; Yn < ε) + E(Yn ; ε ≤ Yn < N ) + E(Yn ; Yn ≥ N ) ≤≤ ε + N P(Yn ≥ ε) + E(Yn ; Yn ≥ N ). ñèëó óñëîâèÿ ÐÈ ÷èñëî N ìîæíî âûáðàòü òàêèì, ÷òîáû E(Yn ; Yn ≥ N ) ≤ ε.
Êðîìåòîãî, P(Yn ≥ ε) → 0. Ïîýòîìólim EYn ≤ 2ε,n→∞îòêóäà çàêëþ÷àåì, ÷òî lim EYn = 0, òàê êàê ε ïðîèçâîëüíî. Òåîðåìà äîêàçàíà.n→∞Ñëåäñòâèå 1 (òåîðåìà î ìàæîðèðóåìîé ñõîäèìîñòè). Ïóñòü XPn→ X è |Xn | ≤ Y ,ãäå EY < ∞. Òîãäà E|Xn − X| → 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Óñòàíîâèì, êàê è â (6), âûïîëíåíèå óñëîâèÿ ÐÈ. Ïðè N → ∞E(|Xn |; |Xn | ≥ N ) ≤ E(Y ; |Xn | ≥ N ) ≤ E(Y ; Y ≥ N ) → 0.Ñëåäñòâèå 2. Ïóñòü XPn→ X è E|Xn |1+α ≤ C < ∞ ïðè íåêîòîðîì α > 0. ÒîãäàE|Xn − X| → 0.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðîâåðèì òàêæå âûïîëíåíèå óñëîâèÿ ÐÈ. Ïðè N → ∞E(|Xn |; |Xn | ≥ N ) ≤ E(|Xn |1+α /N α ; |Xn | ≥ N ) ≤781E|Xn |1+α → 0.Nα4.3.Çàêîíû áîëüøèõ ÷èñåëÏðåäïîëîæèì, ÷òî ðàç çà ðàçîì ïîâòîðÿåòñÿ îäèí è òîò æå ñëó÷àéíûé ýêñïåðèìåíò, è êàæäûé ðàç â ðåçóëüòàòå íåãî ìû èçìåðÿåì êàêóþ-òî õàðàêòåðèñòèêó.Ïîëó÷àåì òåì ñàìûì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X1 , X2 . .
. . Èõ ìîæíî ñ÷èòàòü âçàèìíî íåçàâèñèìûìè, åñëè ïîñëåäîâàòåëüíûå ýêñïåðèìåíòû íå âëèÿëèäðóã íà äðóãà, à òàêæå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûìè (ò.å. èìåþùèìè îäíî è òî æåðàñïðåäåëåíèå), åñëè ýêñïåðèìåíòû ïî ñóòè ïîâòîðÿþò äðóã äðóãà. Ïðèìåð òîìó ïîâòîðÿþùèåñÿ èñïûòàíèÿ Áåðíóëëè. Ïðîèçâîäÿ áåç îãðàíè÷åíèé îäèí ýêñïåðèìåíòçà äðóãèì, ìû ìîæåì îáíàðóæèòü ðÿä çàêîíîìåðíîñòåé â ïîëó÷àþùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Îäíà èç òàêèõ çàêîíîìåðíîñòåé, âîçíèêàþùàÿ ïðèìíîãîêðàòíîì ïîäáðàñûâàíèè ìîíåòû, óæå îáñóæäàëàñü â íà÷àëå êóðñà.
Îíà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ñëåäóþùåãî áîëåå îáùåãî óòâåðæäåíèÿ, êîòîðîå íîñèò íàçâàíèåçàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë.(çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë). Ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , X2 , . . .íåçàâèñèìûè îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû, ïðè÷åì EX12 < ∞. Îáîçíà÷èì a = EX1 ,PnSn = i=1 Xi . Òîãäà ïðè n → ∞Sn P→ a.nÒåîðåìà 1Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òîE(Sn /n) =naEX1 + . . . + EXn== a.nnÎáîçíà÷èì σ 2 = DX1 è ïðèìåíèì âòîðîå íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå Sn /n: SnD(Sn /n)nσ 2σ2P − a ≥ ε ≤==→0nε2n2 ε2nε2ïðè n → ∞. Òåîðåìà äîêàçàíà.(òåîðåìà Áåðíóëëè).
Ïóñòü Sn ÷èñëî óñïåõîâ â n èñïûòàíèÿõñõåìû Áåðíóëëè, p âåðîÿòíîñòü óñïåõà â îäíîì èñïûòàíèè. ÒîãäàÑëåäñòâèåSn P→pnïðè n → ∞.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Xi ÷èñëî óñïåõîâ â i-ì èñïûòàíèè. Òîãäà Xi ⊂= Bp èâñå ýòè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû íåçàâèñèìû. Çäåñü Sn = X1 + . . . + Xn , EXi = p è òåìñàìûì âûïîëíåíû âñå óñëîâèÿ òåîðåìû.Çàìå÷àíèÿ1. Óñëîâèå EX12 < ∞ â òåîðåìå çàâûøåíî. Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë ñïðàâåäëèâ, äàæååñëè ñóùåñòâóåò òîëüêî ïåðâûé ìîìåíò E|X1 | < ∞. Îäíàêî äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìûïðè òàêîì óñëîâèè ïîòðåáîâàëî áû áîëüøèõ óñèëèé.
Ìû ñäåëàåì ýòî ïîçæå, èçó÷èâäðóãîé ïîäõîä ê äîêàçàòåëüñòâó.2. ×èñëî a åñòü ñðåäíåå çíà÷åíèå êàæäîé èç ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Xi , çäåñü óñðåäíåíèå ïðîèçâåäåíî ïî ïðîñòðàíñòâó çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ïàðàìåòði = 1, . . . , n åñòü íîìåð ýêñïåðèìåíòà, åãî çíà÷åíèÿ ìîæíî âîñïðèíèìàòü êàê öåëî÷èñëåííûå ìîìåíòû âðåìåíè. Òåì ñàìûìSnX1 + . . . + Xn=nn79åñòü óñðåäíåíèå ðåçóëüòàòîâ ýêñïåðèìåíòîâ ïî âðåìåíè.Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë óòâåðæäàåò, ÷òî ñðåäíåå ïî âðåìåíè ñáëèæàåòñÿ ñî ñðåäíèì,âû÷èñëåííûì ïî ïðîñòðàíñòâó çíà÷åíèé.Îêàçûâàåòñÿ, ïðè òåõ æå óñëîâèÿõ ìîæíî äîêàçàòü è áîëåå ñèëüíûé ðåçóëüòàò íî öåíîé ãîðàçäî áîëüøèõ óñèëèé.(óñèëåííûé çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë).
 óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé òåîðåìûÒåîðåìà 2Sn→ a ï. í.nÄîêàçàòåëüñòâî. Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî a = 0, èíà÷åìîæíî ïåðåéòè ê ñëó÷àéíûì âåëè÷èíàì Yn = Xn − a.Äëÿ ëþáîãî n ≥ 1 íàéäåòñÿ öåëîå ÷èñëî m òàêîå, ÷òî m2 ≤ n < (m + 1)2 . ßñíî,÷òî n → ∞ è m → ∞ îäíîâðåìåííî. Ïîýòîìó Sn Sm2 Ym ≤ n m2 + m2 ,ãäå Ym =maxm2 +1≤n<(m+1)2|Xm2 +1 + . . . + Xn |. Ïîêàæåì, ÷òî ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà Sm2 m2 → 0,Ym→0m2ïðè m → ∞.
Îáîçíà÷èì, êàê è ðàíåå, σ 2 = DX1 . Ïðèìåíèâ âòîðîå íåðàâåíñòâî×åáûøåâà, äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ε > 0 ïîëó÷àåì Sm2 DSm2m2 σ 2σ2 1P 2 ≥ ε ≤ 4 2 = 4 2 = 2 2,mmεmεε mïîýòîìó∞∞X Sm2 σ2 X 1P 2 ≥ ε ≤ 2< ∞,2mεmm=1m=1ò. å.Sm2→ 0 ï.í. ïðè m → ∞. Äàëåå,m22 (m+1)[ −1 Xm2 +1 + . . . + Xn Ym P 2 ≥ ε = P≤≥εmm22n=m +1(m+1)2 −1≤Xn=m2 +1 Xm2 +1 + . . . + Xn ≥εP≤m2(m+1)2 −1(n − m2 )σ 22mσ 2≤2m,m 4 ε2m 4 ε22n=m +1 ∞∞X Ym 4σ 2 X 1P 2 ≥ ε ≤ 2< ∞.2mεmm=1m=1≤Ñëåäîâàòåëüíî,XYm→ 0 ï. í.
Òåîðåìà äîêàçàíà.m2Çàìå÷àíèå. Óñèëåííûé çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë òàêæå ñïðàâåäëèâ òîëüêî ëèøüïðè íàëè÷èè ïåðâîãî ìîìåíòà ó X1 , îäíàêî äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà âûõîäèò çàðàìêè íàøåãî êóðñà.804.4.Ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü ðàñïðåäåëåíèéÏóñòü èìååòñÿ íåêîòîðàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ {Fn (y)} èåùå îäíà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F (y).Fn ñëàáî ñõîäèòñÿ ê F ïðè n → ∞ (îáîçíà÷àåòñÿ Fn ⇒ F ), åñëèäëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé è îãðàíè÷åííîé ôóíêöèè gÎïðåäåëåíèå.Z∞Z∞g(y)dFn (y) →−∞g(y)dF (y).−∞Íàïîìíèì, ÷òî ýòî òî æå ñàìîå, ÷òî èZ∞Z∞g(y)Pn (dy) →−∞g(y)P (dy).−∞Ìîæíî ãîâîðèòü ïðîñòî î ñëàáîé ñõîäèìîñòè ðàñïðåäåëåíèé.
Äàííîå îïðåäåëåíèåìîæíî òàêæå çàïèñàòü â âèäåEg(Xn ) → Eg(X),ãäå Xn ⊂= Fn , X ⊂= F.(êðèòåðèé ñëàáîé ñõîäèìîñòè). Fn ⇒ F òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàFn (y) → F (y) äëÿ êàæäîé òî÷êè y , â êîòîðîé F íåïðåðûâíà.Çàìåòèì, ÷òî ëþáàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F ìîæåò èìåòü íå áîëåå ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà ðàçðûâîâ. Äåéñòâèòåëüíî, ìîæíî ïåðåíóìåðîâàòü âñå ñêà÷êè ôóíêöèèðàñïðåäåëåíèÿ, âûäåëèâ ñíà÷àëà ñêà÷êè, ðàçìåð êîòîðûõ ïðåâûøàåò 1/2, çàòåì ñêà÷êè, ïðåâûøàþùèå 1/3, è ò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
