1625915144-a0b004e5d7d0e6e9b8f80b0c67f3317f (843874), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Òåïåðü ìû ïðèâîäèìíîâîå äîêàçàòåëüñòâî:Ñëåäñòâèå 1.Ñëåäñòâèå 2.ϕX1 +X2 (t) = exp{λ1 (eit − 1)} exp{λ2 (eit − 1)} = exp{(λ1 + λ2 )(eit − 1)},÷òî ñîîòâåòñòâóåò ðàñïðåäåëåíèþ Πλ1 +λ2 .= Φα2 , σ22 .Ïóñòü X1 è X2 íåçàâèñèìû, X1 ⊂= Φα1 , σ12 , X2 ⊂X1 + X2 ⊂= Φα1 +α2 , σ12 +σ22 .Äîêàçàòåëüñòâî.Ñëåäñòâèå 3.ϕX1 +X2 (t) = eiα1 t−2 t2σ12eiα2 t−2 t2σ22= ei(α1 +α2 )t−2 +σ 2 )t2(σ122Òîãäà,÷òî ñîîòâåòñòâóåò ðàñïðåäåëåíèþ Φα1 +α2 , σ12 +σ22 .Åñëè X öåëî÷èñëåííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, òî óäîáíåå ðàáîòàòü ñ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ èç õ.
ô. çàìåíîé z = eit :XψX (z) = Ez X =z k P(X = k), |z| = 1.kÎ÷åâèäíî, ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðÿä Ëîðàíà. Äëÿ íàõîæäåíèÿ åãî êîýôôèöèåíòîâ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ èçâåñòíîé ôîðìóëîéZ1P(X = k) =ψX (z)z −k−1 dz,2πi|z|=1êîòîðàÿ òàêæå ìîæåò âîñïðèíèìàòüñÿ êàê âàðèàíò ôîðìóëû îáðàùåíèÿ.. Ïóñòü {Fn } ïîñëåäîâàòåëüíîñòüôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ, à {ϕn } ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü õ. ô.Òåîðåìà î íåïðåðûâíîì ñîîòâåòñòâèè87Òîãäà äëÿ ñõîäèìîñòè Fn ⇒ F , ãäå F ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ϕn (t) → ϕ(t) ïðè êàæäîì t, ãäå ϕ õ.
ô., ñîîòâåòñòâóþùàÿðàñïðåäåëåíèþ F .Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü óñòàíàâëèâàåòñÿ ïðîñòî: ïðè êàæäîì t ôóíêöèècos ty è sin ty íåïðåðûâíû è îãðàíè÷åíû, ïîýòîìóZ∞Z∞cos ty dFn (y) →−∞cos ty dF (y),−∞Z∞Z∞sin ty dFn (y) →−∞sin ty dF (y),−∞è, ñëåäîâàòåëüíî,Z∞ϕn (t) =Z∞cos ty dFn (y) + i−∞Z∞sin ty dFn (y) →−∞Z∞cos ty dF (y) + i−∞sin ty dF (y) = ϕ(t).−∞Äîêàçàòåëüñòâî äîñòàòî÷íîñòè ïðîâåäåì â íåñêîëüêî ýòàïîâ. Îáîçíà÷èì C 0 ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ ôèíèòíûõ R(ò.
å. îáðàùàþùèõñÿ â 0 âíå íåêîòîðîãî îòðåçêà)ôóíêöèé è áóäåì ïèñàòü ïðîñòî , åñëè èíòåãðèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ ïî âñåé âåùåñòâåííîé îñè.RR. Ïóñòü g dFn → g dF äëÿ ëþáîé ôóíêöèè g ∈ C 0 . Òîãäà Fn ⇒ F .Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ε > 0 âûáåðåì gε ∈ C 0 òàê, ÷òîáûZ0 ≤ gε (y) ≤ 1,(1 − gε (y))dF (y) ≤ ε.Ëåììà 1Ýòî âñåãäà ìîæíî ñäåëàòü, ïîëîæèâ gε (y) = 1 ïðè y ∈ [−N, N ] è 0 ≤ gε (y) ≤ 1 ïðè|y| > N (ñ ñîõðàíåíèåì ôèíèòíîñòè), ãäå ÷èñëî N íàñòîëüêî âåëèêî, ÷òî F (−N ) +1 − F (N ) < ε.Âîçüìåì òåïåðü ïðîèçâîëüíóþ íåïðåðûâíóþ îãðàíè÷åííóþ ôóíêöèþ g ,|g(y)| ≤ K < ∞. Òîãäà ggε ∈ C 0 èZZZ (1 − gε )g dFn ≤ K 1 − gε dFn → K 1 − gε dF ≤ Kε.ÏîýòîìóZZlim g dFn − g dF ≤ Z Z ZZ ≤ lim (1 − gε )g dFn + ggε dFn − ggε dF + (1 − gε )g dF ≤ 2Kε.Ëåììà äîêàçàíà.Îáîçíà÷èì Ck0 ìíîæåñòâî âñåõ ôèíèòíûõ k ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõôóíêöèé, k ≥ 1.RR.
Ïóñòü g dFn → g dF äëÿ ëþáîé ôóíêöèè g ∈ Ck0 ïðè íåêîòîðîìk ≥ 1. Òîãäà Fn ⇒ F .Äîêàçàòåëüñòâî. Ëþáóþ ôóíêöèþ g ∈ C 0 ìîæíî ðàâíîìåðíî ïðèáëèçèòü ôóíêöèåé g̃ ∈ Ck0 . Ê ïðèìåðó, ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùèì ïðîöåññîì. ÏîñêîëüêóËåììà 288äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ δ = δ(ε) > 0 òàêîå, ÷òî |g(u) − g(y)| < ε ïðè |u − y| < δ(ñâîéñòâî ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè g ), òî ïîëîæèâZy+δg(u) du,1g̃(y) =2δy−δáóäåì èìåòü1|g̃(y) − g(y)| ≤2δZy+δ|g(u) − g(y)| du ≤ ε.y−δÔóíêöèÿ g̃ óæå áóäåò íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé è ïî-ïðåæíåìó ôèíèòíîé.
Ïîâòîðèâ ýòó îïåðàöèþ äâàæäû, ïîëó÷èì äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìóþ ôèεíèòíóþ ôóíêöèþ è ò. ä. Èòàê, ïóñòü g ∈ C 0 , g̃ ∈ Ck0 òàêèå, ÷òî |g̃(y) − g(y)| ≤ ,3òîãäà äëÿ âñåõ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ nZ Z Z ZZZ g dFn − g dF ≤ (g − g̃) dFn + g̃ dFn − g̃ dF + (g − g̃) dF ≤ ε. Ëåììà äîêàçàíà.(ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ). Ïóñòü g ∈ Ck0 ïðè íåêîòîðîì k ≥ 2, X ⊂= F,òîãäàZZ1Eg(X) = g(y)dF (y) =ϕ(−t)ĝ(t)dt,2πRãäå ϕ(t) = EeitX , ĝ(t) = eity g(y)dy .Åñëè F èìååò ïëîòíîñòü f = F 0 , òî ìû ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ â áîëååïðèâû÷íîì âèäåZZ1g(y)f (y)dy =ϕ(−t)ĝ(t)dt.2πËåììà 3Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ôóíêöèè g ∈ Ck0 èìååìZ∞ĝ(t) =Z∞itye g(y)dy =−∞−∞1=−itZ∞∞ ity Z∞1g(y)eity eity 0−=g(y)de g (y)dy =itit −∞ it−∞(−1)ke g (y)dy = .
. . =(it)kity 0Z∞eity g (k) (y)dy.−∞−∞Îòñþäà|ĝ(t)| ≤C,|t|kk ≥ 2,ïîýòîìó ĝ(t) àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìàÿ íà áåñêîíå÷íîñòè ôóíêöèÿ. Âîñïîëüçóåìñÿôîðìóëîé îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå:Z1g(y) =e−ity ĝ(t)dt,2πîòêóäà1Eg(X) = E2πZ−itXe1ĝ(t)dt =2πZEe89−itX1ĝ(t)dt =2πZϕ(−t)ĝ(t)dt.Ëåììà äîêàçàíà.Ïåðåéäåì òåïåðü íåïîñðåäñòâåííî ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû î íåïðåðûâíîì ñîîòâåòñòâèè. Ïóñòü ϕn (t) → ϕ(t) ïðè âñåõ t. Òîãäà äëÿ âñÿêîé g ∈ Ck0 ïðè k ≥ 2 èìååòìåñòîZZ1g(y) dFn (y) =ϕn (−t)ĝ(t)dt,2πè ôóíêöèÿ |ϕn (−t)ĝ(t)| ≤ |ĝ(t)| èíòåãðèðóåìà. Ïî òåîðåìå î ìàæîðèðóåìîé ñõîäèìîñòè ïðàâàÿ ÷àñòü ñõîäèòñÿ êZZ1ϕ(−t)ĝ(t)dt = g(y) dF (y).2πÒåîðåìà äîêàçàíà.Âåðíåìñÿ ê çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë.
Ìû åãî äîêàçàëè ðàíåå ïðè óñëîâèè, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Xn îáëàäàþò êîíå÷íûì âòîðûì ìîìåíòîì. Ïîëüçóÿñü àïïàðàòîìõàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé, ìû ìîæåì ïîëó÷èòü áîëåå ñèëüíîå óòâåðæäåíèå.(çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë). Ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , X2 , . . .íåçàâèñèìûè îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû, ïðè÷åì E|X1 | < ∞. Îáîçíà÷èì a = EX1 ,PSn = ni=1 Xi . Òîãäà ïðè n → ∞Sn P→ a.nÒåîðåìà Õèí÷èíàÄîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó ðå÷ü èäåò î ñõîäèìîñòè ê êîíñòàíòå, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî FSn /n ⇒ Ia , à äëÿ ýòîãî, â ñâîþ î÷åðåäü, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáûϕSn /n (t) → eita .Èìååì äëÿ êàæäîãî ôèêñèðîâàííîãî t nitat,ϕSn /n (t) = ϕSn t/n = 1 ++onn itattitaln ϕSn /n (t) = n ln 1 ++o+o=n→ ita.nnnnÒåîðåìà äîêàçàíà.4.6.Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìàÊàê è ðàíåå, áóäåì èìåòü äåëî ñ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ X1 , X2 , .
. . íåçàâèñèìûõîäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, Sn = X1 + . . . + Xn .Âî ìíîãèõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷àõ âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü âû÷èñëÿòü âåðîÿòíîñòèâèäà P(A ≤ Sn ≤ B) ïðè áîëüøèõ n. Ýòî ïðîèñõîäèò, íàïðèìåð, ïðè ïëàíèðîâàíèèïðîèçâîäñòâà, ïîñêîëüêó îáùàÿ âûðàáîòêà ïðîäóêöèè ïðåäïðèÿòèåì çà ñìåíó ñêëàäûâàåòñÿ èç ñëó÷àéíûõ îáúåìîâ ïðîäóêöèè, ïðîèçâåäåííûõ îòäåëüíûìè ðàáî÷èìè.Âû÷èñëåíèå ðàçëè÷íûõ ñðåäíèõ ïîêàçàòåëåé â ýêîíîìèêå, ñîöèîëîãèè, äåìîãðàôèè,ñòàòèñòèêå òàêæå ñâîäèòñÿ ê ñóììèðîâàíèþ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.Ìû âèäåëè, ÷òî äëÿ íàõîæäåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñóììû äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñëåäóåò ïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé ñâåðòêè.
Îäíàêî åå ïðèìåíåíèå ñîïðÿæåíî ñ íåïðîñòûìè âû÷èñëåíèÿìè, â îñîáåííîñòè åñëè ìû èíòåðåñóåìñÿ ðàñïðåäåëåíèåì ñóììû áîëüøîãî ÷èñëà ñëàãàåìûõ. Áîëåå ïðîäóêòèâíûìè îêàçàëèñü ìåòîäûïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ óêàçàííûõ âåðîÿòíîñòåé äëÿ ñóìì.90Ìû çíàåì, ÷òî äëÿ íàõîæäåíèÿ âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ ñóììû â èíòåðâàë (èëèîòðåçîê) äîñòàòî÷íî çíàòü åå ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ.
Çíà÷èò, íåîáõîäèìî èñêàòüïðèáëèæåíèÿ äëÿ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ñóìì. Îêàçàëîñü, ÷òî â øèðîêèõ óñëîâèÿõ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ íåìíîãî ïîäïðàâëåííûõ (à òî÷íåå ñòàíäàðòèçîâàííûõ)ñóìì ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñáëèæàþòñÿ ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî çàêîíà, åñëè ÷èñëî ñëàãàåìûõ âîçðàñòàåò.Ýòîò ýôôåêò ìîæíî íàáëþäàòü íà ïðèìåðàõ. Ïóñòü âñå Xi íåçàâèñèìû è èìåþòðàâíîìåðíîå íà [0,1] ðàñïðåäåëåíèå. Âû÷èñëèì ñ ïîìîùüþ ñâåðòîê ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X1 + X2 , X1 + X2 + X3 (ýòî íåòðóäíî) è óâèäèì,÷òî èõ ãðàôèêè î÷åíü áûñòðî íà÷èíàþò íàïîìèíàòü ïëîòíîñòü íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ:fX1 (t)6fX1 +X2 (t)6@@@0@@t -10@12t-fX1 +X2 +X3 (t)6t012-3Ïîñëåäíèé ãðàôèê ïîëó÷àåòñÿ ñêëåèâàíèåì òðåõ êâàäðàòè÷åñêèõ ïàðàáîë.
ÄëÿfX1 +X2 +X3 +X4 (t) ãðàôèê áóäåò ñêëåèâàòüñÿ èç êóáè÷åñêèõ ïàðàáîë; óæå äëÿ ñóììûïÿòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí íà ãëàç òðóäíî ðàçëè÷èòü ãðàôèê ïîëó÷åííîé ïëîòíîñòèîò ãàóññîâñêîé êðèâîé.Òàêóþ æå çàêîíîìåðíîñòü ìû ìîæåì íàáëþäàòü, åñëè ðèñîâàòü ãðàôèêè ïëîòíîñòè ñóìì â òîì ñëó÷àå, êîãäà âñå Xi ⊂= Eα . Òîãäà, êàê ìû âèäåëè, Sn ⊂= Γα,n ,è ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ n êðèâàÿ ïëîòíîñòè ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ, ðàñòÿãèâàÿñüâïðàâî, âñå áîëüøå áóäåò íàïîìèíàòü ïëîòíîñòü íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, òîëüêî ñèëüíî âûòÿíóòóþ è ñìåùåííóþ âïðàâî.
×òîáû â ïðåäåëå ïîëó÷àëàñü ïëîòíîñòüñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî çàêîíà, ñóììû íàäî ïîäïðàâëÿòü ñ ïîìîùüþ îïåðàöèèñòàíäàðòèçàöèè.Ýòè íàáëþäåíèÿ èëëþñòðèðóþò âàæíóþ çàêîíîìåðíîñòü, î êîòîðîé ïîéäåò ðå÷üíèæå.. Ïóñòü X1 , X2 . . . íåçàâèñèìûåîäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî EX12 < ∞. Îáîçíà÷èì Sn = X1 + . . . + Xn , a = EX1 , σ 2 = DX1 , è ïóñòü σ 2 > 0. Òîãäà äëÿ ëþáîãî yÖåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà (ÖÏÒ)PSn − na√<yσ n1= F Sn√−na (y) → Φ0,1 (y) = √σ n2πïðè n → ∞.91Zy−∞2 /2e−tdtSn − na√σ nñõîäèòñÿ ê exp{−t2 /2}, ò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
