1625915144-a0b004e5d7d0e6e9b8f80b0c67f3317f (843874), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Äëÿïðèëîæåíèé î÷åíü âàæíî áûâàåò âûÿñíèòü óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ îáúåêò ñ òå÷åíèåìâðåìåíè âïàäàåò â ñòàöèîíàðíûé ðåæèì, òî åñòü îí ïî-ïðåæíåìó ìîæåò íàõîäèòüñÿâ ðàçíûõ ñîñòîÿíèÿõ, íî âåðîÿòíîñòè P(Xn = j) ïåðåñòàþò çàâèñåòü îò n. Òåîðåìû,óñòàíàâëèâàþùèå óñëîâèÿ ñõîäèìîñòè ê ñòàöèîíàðíîìó ðåæèìó, îáû÷íî íàçûâàþòýðãîäè÷åñêèìè. Ìû ðàññìîòðèì îäíó èç íèõ.Òåîðåìà (ýðãîäè÷åñêàÿ). Ïóñòü öåïü Ìàðêîâà èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî r ñîñòîÿ-íèé, è ïðè íåêîòîðîì n0 ≥ 1 âñå ýëåìåíòû pij (n0 ) ìàòðèöû Pn0 ïîëîæèòåëüíû.Òîãäà ñóùåñòâóþò ïðåäåëûlim pij (n) = pj ,i, j = 1, . .
. , r.n→∞Ïðåäåëüíûå âåðîÿòíîñòè pj íå çàâèñÿò îò íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ i è ÿâëÿþòñÿåäèíñòâåííûì ðåøåíèåì ñèñòåìûrXpk pkj = pj ,j = 1, . . . , r,rXpj = 1.(10)j=1k=1Çàìå÷àíèå. Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû, òî ïîâåäåíèå öåïè ñ òå÷åíèåìâðåìåíè äåéñòâèòåëüíî ñòàáèëèçèðóåòñÿ: äëÿ êàæäîãî j = 1, . . . , rπjn= P(Xn = j) =rXπi0pij (n) →i=1rXπi0 pj = pj .i=1Ïî ýòîé ïðè÷èíå ñîâîêóïíîñòü âåðîÿòíîñòåé {p1 , . . . , pr } íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíûì ðàñïðåäåëåíèåì öåïè. Åñëè åãî âçÿòü â êà÷åñòâå íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, òîåñòü ïîëîæèòü πk0 = pk , k = 1, . .
. , r, òî èç (10) áóäåò ñëåäîâàòü, ÷òî âåêòîð âåðîÿòíîñòåé π 1 ñîâïàäàåò ñ π 0 , à çíà÷èò è ñ π n ïðè âñåõ n ≥ 1. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò òîìó, ÷òîñ ñàìîãî íà÷àëà öåïü áóäåò íàõîäèòüñÿ â ñòàöèîíàðíîì ðåæèìå.Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èìMk (n) = max pik (n),mk (n) = min pik (n).ii101Ïîñêîëüêó mk (n) ≤ pik (n) ≤ Mk (n) äëÿ âñåõ i, òî èç ñîîòíîøåíèépik (n + 1) =rXpil plk (n),mk (n)rXl=1pil ≤l=1rXpil plk (n) ≤ Mk (n)l=1rXpill=1ñëåäóåò, ÷òî mk (n) ≤ pik (n + 1) ≤ Mk (n) ïðè âñåõ i. Îòñþäà çàêëþ÷àåì, ÷òîmk (n) ≤ mk (n + 1) ≤ Mk (n + 1) ≤ Mk (n).Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâóþò ïðåäåëû ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé mk (n) è Mk (n)ïðè n → ∞. Äîêàæåì, ÷òî ýòè ïðåäåëû ñîâïàäàþò.Ïóñòü èíäåêñû i è j òàêîâû, ÷òîpik (n0 + n) = Mk (n0 + n),pjk (n0 + n) = mk (n0 + n).Èç ðàâåíñòâà Pn0 +n = Pn0 Pn ñëåäóåòMk (n0 + n) = pik (n0 + n) =mk (n0 + n) = pjk (n0 + n) =rXl=1rXpil (n0 )plk (n),pjl (n0 )plk (n).l=1Âû÷èòàÿ îäíî ðàâåíñòâî èç äðóãîãî, ïîëó÷èìMk (n0 + n) − mk (n0 + n) =rX(pil (n0 ) − pjl (n0 ))plk (n).l=1Ïóñòü A = {l : pil (n0 ) − pjl (n0 ) ≥ 0}, B = {l : pil (n0 ) − pjl (n0 ) < 0}.
Î÷åâèäíî,ìíîæåñòâî A íå ïóñòî. ÒîãäàXX(pil (n0 ) − pjl (n0 ))plk (n) ≤(pil (n0 ) − pjl (n0 ))plk (n) +Mk (n0 + n) − mk (n0 + n) =l∈Bl∈A≤ Mk (n)X(pil (n0 ) − pjl (n0 )) + mk (n)l∈AX(pil (n0 ) − pjl (n0 )) =l∈B= (Mk (n) − mk (n))X(pil (n0 ) − pjl (n0 )).l∈AÇäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òîXX(pil (n0 ) − pjl (n0 )) = −(pil (n0 ) − pjl (n0 )),l∈Bl∈AïîñêîëüêórX(pil (n0 ) − pjl (n0 )) = 0 =l=1XX(pil (n0 ) − pjl (n0 )) +(pil (n0 ) − pjl (n0 )).l∈AÎáîçíà÷èìdij =Xl∈B(pil (n0 ) − pjl (n0 )).l∈A102Èç óñëîâèÿ òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî dij < 1 ïðè âñåõ i, j , ïîýòîìó d = max dij < 1.Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó: äëÿ âñÿêîãî n ≥ 1i,jMk (n0 + n) − mk (n0 + n) ≤ d(Mk (n) − mk (n)).Óñòðåìëÿÿ n ê áåñêîíå÷íîñòè â ýòîì ñîîòíîøåíèè, ïîëó÷èìlim (Mk (n0 + n) − mk (n0 + n)) = lim (Mk (n) − mk (n)) ≤ d lim (Mk (n) − mk (n)),n→∞n→∞n→∞÷òî âîçìîæíî òîëüêî ïðè limn→∞ (Mk (n) − mk (n)) = 0.Íàïîìíèì, ÷òî mk (n) ≤ pik (n) ≤ Mk (n), çíà÷èò, ïðè âñåõ i âåðîÿòíîñòè pik (n)ñõîäÿòñÿ ê îäíîìó è òîìó æå ïðåäåëó pk ïðè n → ∞.Äàëåå, ïåðåõîäÿ â ðàâåíñòâåpij (n + 1) =rXpik (n)pkjk=1ê ïðåäåëó ïðè n → ∞, ïîëó÷èìpj =rXpk pkj .k=1PÊðîìå òîãî, j=1 pij (n) = 1.
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè n → ∞ ïîëó÷àåì rj=1 pj = 1.Íàì îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî ÷èñëà {p1 , . . . , pr } ÿâëÿþòñÿ åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì óêàçàííîé ñèñòåìû óðàâíåíèé.Ïðåäïîëîæèì,÷òî íàøåëñÿ äðóãîé âåêòîð x =PP(x1 , . . . , xr ), äëÿ êîòîðîãîxj = 1 è xj = rk=1 xk pkj , j = 1, . . .
, r. Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî x = xP = xP2 = . . . = xPn äëÿ ëþáîãî n ≥ 1.  ïîêîîðäèíàòíîé çàïèñè ýòîâûãëÿäèò òàê:rXxk pkj (n).xj =Prk=1Ïåðåõîäÿ â ýòîì ðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè n → ∞, ïîëó÷èìxj =rXxk p j = p j .k=1Òåîðåìà äîêàçàíà.Åñëè çàäàíà ìàòðèöà P âåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäà, òî äëÿ ïðîâåðêè óñëîâèÿ òåîðåìû íóæíî èñêàòü ïîêàçàòåëü ñòåïåíè n0 , ïðè êîòîðîì âñå ýëåìåíòû ìàòðèöû Pn0îòëè÷íû îò íóëÿ.
Âîçâåäåíèå ìàòðèöû â ñòåïåíü ÿâëÿåòñÿ âåñüìà òðóäîåìêîé îïåðàöèåé. Åå ìîæíî èçáåæàòü, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðîñòîé ãðàôè÷åñêîé èëëþñòðàöèåé.Ïî ìàòðèöå P ìîæíî ïîñòðîèòü äèàãðàììó, â êîòîðîé ñîñòîÿíèÿ èçîáðàæàþòñÿ îòäåëüíûìè òî÷êàìè, à íàëè÷èå ïîëîæèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà èç ñîñòîÿíèÿ âñîñòîÿíèå ïîêàçûâàåòñÿ ñòðåëî÷êîé. Ïóñòü, ê ïðèìåðó, r = 4,1/2 1/2 00 0010 P= 1/3 0 1/3 1/3 .0010Ïîñòðîèì äèàãðàììó.1031 djd 2Hdys Nd 43Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî èç êàæäîãî ñîñòîÿíèÿ çà 3 øàãà ìîæíî ñ ïîëîæèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ ïåðåéòè â ëþáîå èç ÷åòûðåõ ñîñòîÿíèé, òî åñòü óñëîâèå òåîðåìû âûïîëíÿåòñÿ äëÿ n0 = 3.6.Âåòâÿùèåñÿ ïðîöåññûÐàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ âåòâÿùèõñÿ ïðîöåññîâ.1. Öåïíàÿ ðåàêöèÿ. Ïóñòü èìååòñÿ ÷àñòèöà, êîòîðàÿ â îïðåäåëåííûé ìîìåíò âðåìåíè ðàñïàäàåòñÿ íà íåêîòîðîå ñëó÷àéíîå ÷èñëî íîâûõ ÷àñòèö, êàæäàÿ èç êîòîðûõ,â ñâîþ î÷åðåäü, âåäåò ñåáÿ òàê æå.2.
Ðàñïðîñòðàíåíèå ýïèäåìèè. Áîëüíîé çàðàæàåò íåêîòîðîå ñëó÷àéíîå ÷èñëî äðóãèõ ëþäåé, êàæäûé èç êîòîðûõ òàêæå ÿâëÿåòñÿ èñòî÷íèêîì èíôåêöèè.3. Ðàçâèòèå áèîëîãè÷åñêîé ïîïóëÿöèè, ñîñòîÿùåé, ê ïðèìåðó, èç îäíîêëåòî÷íûõ,êîòîðûå ðàçìíîæàþòñÿ ïî îïðåäåëåííîìó çàêîíó. ýòîì ðàçäåëå ìû ðàññìîòðèì îäíó èç ïðîñòåéøèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåéâåòâÿùèõñÿ ïðîöåññîâ.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ìîìåíò âðåìåíè n = 0 èìååòñÿ âñåãî îäíà ÷àñòèöà (îòíåñåì åå ê íóëåâîìó ïîêîëåíèþ), êîòîðàÿ â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè â ðåçóëüòàòåàêòàP∞ äåëåíèÿ ïåðåõîäèò â k ÷àñòèö òîãî æå òèïà ñ âåðîÿòíîñòüþ pk , k = 0, 1, . . .,k=0 pk = 1.
Ïîëó÷åííûå ÷àñòèöû îáðàçóþò ïåðâîå ïîêîëåíèå. Êàæäàÿ èç ÷àñòèöýòîãî ïîêîëåíèÿ âåäåò ñåáÿ òî÷íî òàê æå, íåçàâèñèìî îò ïðåäûñòîðèè è ñóäüáû äðóãèõ ÷àñòèö.  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷àåì âòîðîå ïîêîëåíèå, è ò.ä.b@Ab b Ab@b C @AQC QCCA@Qb b bb Cb CbAb@bQ b@BA@ A B B @A@ A Bn=0n=1n=2Áóäåì ñ÷èòàòü äëÿ ïðîñòîòû, ÷òî êàæäàÿ ÷àñòèöà æèâåò åäèíèöó âðåìåíè. Îáîçíà÷èì Yn ÷èñëî ÷àñòèö â n-ì ïîêîëåíèè, n = 0, 1, . . ., Y0 = 1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Ynìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåY0 = 1,(1)Y1 = X1 ,(2)(2)Y 2 = X 1 + . . . + X Y1 ,..................(n)(n)Yn = X1 + . .
. + XYn−1 .104(j)(j)Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , X2 , . . . ðàâíû ÷èñëó ïîòîìêîâ ÷àñòèö èç (j − 1)-ãî ïîêîëåíèÿ, ýòè ïîòîìêè ôîðìèðóþò j -å ïîêîëåíèå. Ìû ïîëàãàåì çäåñü, ÷òî ðàñïîëàãàåìíåçàâèñèìûìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí{Xn(1) }, {Xn(2) }, . .
. ,ãäå ïðè âñåõ j è nP(Xn(j) = k) = pk ,n ≥ 1,k = 0, 1, . . . .Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîñòðîèëè ìîäåëü ïðîñòåéøåãî âåòâÿùåãîñÿ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà (â ëèòåðàòóðå òàêèå ìîäåëè ïîëó÷èëè íàçâàíèå ïðîöåññîâ Ãàëüòîíà Âàòñîíà).Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Yn ÿâëÿåòñÿ öåïüþ Ìàðêîâà, îäíàêî ìàòðèöà ïåðåõîäíûõ âåðîÿòíîñòåé äëÿ íåå òðóäíà äëÿ âû÷èñëåíèé, ïîýòîìó äëÿ èññëåäîâàíèÿ âåòâÿùèõñÿïðîöåññîâ ðàçðàáîòàíû ñâîè ñîáñòâåííûå ìåòîäû. Îáû÷íî èíòåðåñóþòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì ÷èñëà ÷àñòèö â n-ì ïîêîëåíèè, åãî ïðåäåëüíûì ïîâåäåíèåì ïðè n → ∞,âåðîÿòíîñòüþ âûðîæäåíèÿ ïðîöåññà â êàêîé-òî ìîìåíò âðåìåíè.Âåñüìà óäîáíûì èíñòðóìåíòîì èññëåäîâàíèÿ âåòâÿùèõñÿ ïðîöåññîâ ÿâëÿþòñÿïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè.Ïóñòü∞X(1)X1=z k pk , |z| ≤ 1,g(z) = E zk=0 ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ïîòîìñòâà îäíîé ÷àñòèöû (íå âàæíî, êàêîé èìåííî; ñëó(j)÷àéíûå âåëè÷èíû Xn îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû) è ïóñòü gn (z) îçíà÷àåò n-þ èòåðàöèþôóíêöèè g(z), òî åñòüg1 (z) = g(z), g2 (z) = g(g(z)), .
. . ,gn (z) = g(gn−1 (z)) = gn−1 (g(z)).Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà óñòàíàâëèâàåò âèä ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ÷èñëà ÷àñòèö ân-ì ïîêîëåíèè.. Äëÿ ëþáîãî n ≥ 1ÒåîðåìàEzYn=∞Xz k P(Yn = k) = gn (z).k=0Äîêàçàòåëüñòâî. Âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Ïðè n = 1èìååì E z Y1 = g(z) = g1 (z). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî E z Yn−1 = gn−1 (z).
Òîãäà∞Xkz P(Yn = k) =∞Xk=0===k=0∞Xzk∞Xk=0∞Xm=0∞Xk=0m=0zk∞Xm=0zk∞XP(Yn = k, Yn−1 = m) =m=0(n)(n)P(X1 + . . . + Xm= k, Yn−1 = m) =(n)(n)P(X1 + . . . + Xm= k)P(Yn−1 = m) =P(Yn−1 = m)∞X(n)(n)z k P(X1 + . . . + Xm= k) =k=0105=∞X∞ (n) (n) (n)X(n)(n)E z X1 z X2 · · · z Xm P(Yn−1 = m) =E z X1 +...+Xm P(Yn−1 = m) =m=0m=0==∞X(n)(n)(n)Ez X1 Ez X2 · · · Ez Xm P(Yn−1 = m) =m=0∞Xg m (z)P(Yn−1 = m) = gn−1 (g(z)) = gn (z).m=0Òåîðåìà äîêàçàíà.Çíàíèå ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè gn (z) ïîçâîëÿåò íàéòè âñå êîýôôèöèåíòû ïðè z k(íàïðèìåð, P(Yn = 0) = gn (0), P(Yn = 1) = gn0 (0), P(Yn = 2) = gn00 (0)/2 è ò.ä.),à òàêæå èçó÷àòü ñâîéñòâà ýòèõ âåðîÿòíîñòåé.Ìû ðàññìîòðèì äàëåå âîïðîñ î âåðîÿòíîñòè âûðîæäåíèÿ ïðîöåññà.Ïðîöåññ âûðîæäàåòñÿ, åñëè Yn = 0 ïðè íåêîòîðîì n. Îáîçíà÷èì An ñîáûòèå,ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî Yn = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
