Главная » Просмотр файлов » 1625915144-a0b004e5d7d0e6e9b8f80b0c67f3317f

1625915144-a0b004e5d7d0e6e9b8f80b0c67f3317f (843874), страница 19

Файл №843874 1625915144-a0b004e5d7d0e6e9b8f80b0c67f3317f (Лотов 2015 - Лекции по теории вероятностей для ММФ) 19 страница1625915144-a0b004e5d7d0e6e9b8f80b0c67f3317f (843874) страница 192021-07-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

å. ê õ. ô. ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Îáîçíà÷èì äëÿ óäîáñòâà Yk = Xk − a, k = 1, 2, . . .. Òîãäà EYk = 0, DYk = DXk = σ 2 ,Sn − na = Y1 + . . . + Yn , 2 nσ 2 t2ttn√ϕ Y1 +...+Y= 1− 2 +o,n (t) = ϕY√1σ n2σ nnσ n 2 2 tt2tt2tt2n√ln ϕY1= n ln 1 −+o=n −+o→− .2nn2nn2σ nÄîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî õ. ô. ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûÒåîðåìà äîêàçàíà.Çàìå÷àíèÿ√√√1. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ESn = na, DSn = nσ 2 = σ n, ò. å. ê ñëó÷àéíîéâåëè÷èíå Sn â òåîðåìå ïðèìåíåíà îïåðàöèÿ ñòàíäàðòèçàöèè;Sn − naSn − na√√E= 0, D= 1.σ nσ n2. Ñõîäèìîñòü â ÖÏÒ ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíîé ïî âñåì y , ò. å.

S−nan√sup P< y − Φ0,1 (y) → 0σ nyïðè n → ∞. Êàê ìû âèäåëè ðàíåå, ýòî ñëåäóåò èç íåïðåðûâíîñòè ïðåäåëüíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.3. Ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ÖÏÒ â ýêâèâàëåíòíîé ôîðìå: äëÿ ëþáûõ A ≤ BSn − na√P A≤≤Bσ n1→√2πZB2 /2e−tdt.AÈìåííî òàêàÿ ôîðìà ÷àùå âñåãî èñïîëüçóåòñÿ ïðè ðåøåíèè çàäà÷. Äåëàåòñÿ ýòîñëåäóþùèìîáðàçîì. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì íåîáõîäèìî íàéòè âåðîÿòíîñòüP(C ≤ Sn ≤ D) ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ n. Ïåðâîå, ÷òî ìû äîëæíû ñäåëàòü, ýòîïîäîãíàòü íàøå âûðàæåíèå ïîä ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû:Sn − naD − naC − na√√√P(C ≤ Sn ≤ D) = P≤≤,σ nσ nσ nïîñëå ÷åãî îáúÿâëÿåì ýòó âåðîÿòíîñòü ïî÷òè ðàâíîé1√2πZB2 /2e−tdt = Φ0,1 (B) − Φ0,1 (A),AãäåA=C − na√ ,σ nB=D − na√ .σ n×èñëåííûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè Φ0,1 (y) îáû÷íî íàõîäÿòñÿ èç òàáëèö.4.

Êîëü ñêîðî ìû çàìåíÿåì äîïðåäåëüíîå âûðàæåíèå â ÖÏÒ ïðåäåëüíûì, âîçíèêàåò âîïðîñ î âåëè÷èíå ïîãðåøíîñòè, êîòîðóþ ìû äîïóñêàåì ïðè ýòîì. Ýòî âîïðîñ î92ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè â ÖÏÒ. Èìååò ìåñòî ñëåäóþùèé ôàêò (ïðèâîäèòñÿ áåç äîêàçàòåëüñòâà).. Ïóñòü E|X1 |3 < ∞, òîãäà Sn − naµ√sup P< y − Φ0,1 (y) < 3 √ ,σ n2σ nyÍåðàâåíñòâî Áåððè Ýññååíàãäå µ = E|X1 − EX1 |3 .5. Óñëîâèå EX12 < ∞ çäåñü ñóùåñòâåííî. À âîò òðåáîâàíèå íåçàâèñèìîñòè ìîæíîîñëàáèòü, äîïóñêàÿ íåáîëüøóþ çàâèñèìîñòü. Óòâåðæäåíèå ÖÏÒ ñîõðàíèòñÿ â ñèëåïðè ýòîì. Òî÷íî òàê æå ìîæíî äîïóñòèòü, ÷òî ñëàãàåìûå ìîãóò áûòü íåîäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû, õîòÿ âñå ðàâíî îïðåäåëåííûå îãðàíè÷åíèÿ íà èõ ðàñïðåäåëåíèÿíóæíî íàêëàäûâàòü: íåëüçÿ äîïóñêàòü, ÷òîáû îäíî èëè íåñêîëüêî ñëàãàåìûõ ñèëüíîâûäåëÿëèñü íà ôîíå äðóãèõ.

Ðàçóìååòñÿ, òî÷íûõ ôîðìóëèðîâîê ìû çäåñü íå äàåì.6. ×àñòíûì ñëó÷àåì ÖÏÒ ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Ìóàâðà Ëàïëàñà, êîòîðàÿ èñòîðè÷åñêè ïîÿâèëàñü ðàíüøå ÖÏÒ.Ïóñòü Sn ÷èñëî óñïåõîâ â ñõåìå Áåðíóëëè, p âåðîÿòíîñòü óñïåõàâ îäíîì èñïûòàíèè. Òîãäà ïðè n → ∞Òåîðåìà.Sn − np≤BP A≤ pnp (1 − p)!1→√2πZB2 /2e−tdt.AÇäåñü Sn ðàâíî ñóììå íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ðàñïðåäåëåííûõ ïî çàêîíó Áåðíóëëè; a = p, σ 2 = p (1 − p).Ïðèìåð ïðèìåíåíèÿ ÖÏÒ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî n = 1000 ðàç áðîñàåòñÿ èãðàëüíàÿêîñòü.

Îáîçíà÷èì ÷åðåç Sn ñóììó âûïàâøèõ î÷êîâ. ßñíî, ÷òîP(1000 ≤ Sn ≤ 6000) = 1.Ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà Sn ëåæèò âíóòðè èíòåðâàëà äëèíîé 5000. Âîïðîñ: íàìíîãî ëè óìåíüøèòñÿ ðàçìåð èíòåðâàëà, åñëè ìû çàõîòèì óìåíüøèòü âåðîÿòíîñòü äî0.95? Îêàçûâàåòñÿ, áîëåå ÷åì â 20 ðàç. Ýòîò íåîæèäàííûé ðåçóëüòàò íåâîçìîæíîïðåäâèäåòü, à âîò ïðèìåíåíèå ÖÏÒ ñðàçó æå ïðèâîäèò íàñ ê íåìó.Äåéñòâèòåëüíî, Sn åñòü ñóììà íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ îò 1 äî 6 ñ ðàâíûìè âåðîÿòíîñòÿìè. Íåòðóäíî âû÷èñëèòü:a = EX1 = 3.5, pEX12 = 91/6, σ 2 = DX1 = 35/12.  ñèëó ÖÏÒ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà (Sn − 3500) / 1000 · 35/12 èìååò ïî÷òè ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå(÷èñëî n âåëèêî!), ïîýòîìó!Z1.961Sn − 35002P −1.96 < p< 1.96 ' √e−t /2 dt = 0.95.2π1000 · 35/12−1.96Ïîñëåäíåå ìû çàðàíåå íàõîäèì èç òàáëèö.

Òàêèì îáðàçîì,ppP(|Sn − 3500)| < 1.96 1000 · 35/12) ' 0.95, 1.96 1000 · 35/12 = 105.85 . . . . êà÷åñòâå åùå îäíîãî ïðèìåðà ïðèìåíåíèÿ ÖÏÒ ðàññìîòðèì çàäà÷ó ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî.93Ïóñòü ôóíêöèÿ g(y1 , . . . , yk ) îïðåäåëåíà íà k -ìåðíîì åäèíè÷íîì êóáå V . Òðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü èíòåãðàëZZa = . . .

g(y1 , . . . , yk )dy1 . . . dyk .VÏðåäïîëîæèì, ÷òî èçâåñòíà êîíñòàíòà C òàêàÿ, ÷òî |g(y1 , . . . , yk )| ≤ C ïðè(y1 , . . . , yk ) ∈ V . Îáîçíà÷èì Y = (Y1 , . . . , Yk ) ñëó÷àéíûé âåêòîð, èìåþùèé ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà V . ÒîãäàZZEg(Y1 , . . . , Yk ) = . . . g(y1 , .

. . , yk )dy1 . . . dyk = a,V2σ = Dg(Y1 , . . . , Yk ) =ZZ...(g(y1 , . . . , yk ) − a)2 dy1 . . . dyk ≤ 4C 2 .V(i)(i)Ïóñòü ó íàñ èìååòñÿ n íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ (Y1 , . . . , Yk ), i = 1, . . . , n,(i)(i)îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñ (Y1 , . . . , Yk ), è ïóñòü Xi = g(Y1 , . .

. , Yk ). Âñå ñëó÷àéíûåâåëè÷èíû X1 , . . . , Xn íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû. Òîãäà â ñèëó ÇÁ× ïðèáîëüøèõ nSnX 1 + . . . + Xn=≈ EX1 = a.nn(i)(i)Ýòî ñîîáðàæåíèå è ëåæèò â îñíîâàíèè ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî. Âåêòîðû (Y1 , . . . , Yk )îáû÷íî ìîäåëèðóþò ñ ïîìîùüþ ãåíåðàòîðà ñëó÷àéíûõ ÷èñåë. Âîïðîñ ñòîèò î âûáîðå÷èñëà n. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàñ âïîëíå óñòðîèò, ÷òîáû ñ âåðîÿòíîñòüþ, áëèçêîé êåäèíèöå, ïîãðåøíîñòü òàêîãî ïðèáëèæåíèÿ íå ïðåâûøàëà ìàëîé âåëè÷èíû ∆. Òîãäàâ ñèëó ÖÏÒ√ √ Sn − na ∆ n Sn − na ∆ n Sn≥P √ <≈P − a < ∆ = P √ <nσ2Cσ nσ n √ √ √ ∆ n∆ n∆ n≈ Φ0,1− Φ0,1 −= 1 − 2Φ0,1 −.2C2C2CÂûáèðàÿ ÷èñëî n äîñòàòî÷íî áîëüøèì, ìîæåì ñäåëàòü ïîëó÷åííóþ âåðîÿòíîñòüêàê óãîäíî áëèçêîé ê åäèíèöå.

Çàìåòèì, ÷òî ïðè âûâîäå ýòîé îöåíêè ìû âîñïîëüçîâàëèñü âåñüìà ãðóáîé îöåíêîé äëÿ äèñïåðñèè.4.7.Îöåíêà òî÷íîñòè â òåîðåìå Ïóàññîíà. ýòîì ðàçäåëå ìû äîêàæåì ñôîðìóëèðîâàííóþ ðàíåå îöåíêó ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè â òåîðåìå î ïðèáëèæåíèè Ïóàññîíà äëÿ áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.Ïóñòü Sn ÷èñëî óñïåõîâ â ñõåìå Áåðíóëëè, p âåðîÿòíîñòü óñïåõà â îäíîìèñïûòàíèè.. Äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà A ⊂ {0, 1, 2, . . .}X (np)k−npP(Sn ∈ A) −e < np2 .k!Òåîðåìàk∈A94Äîêàçàòåëüñòâî.

Âîñïîëüçóåìñÿ òàê íàçûâàåìûì ìåòîäîì îäíîãî âåðîÿòíîñòíîãîïðîñòðàíñòâà. Îí ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Êîëü ñêîðî â òåîðåìå ðå÷ü èäåò î ñáëèæåíèèðàñïðåäåëåíèé è íè÷åãî íå ãîâîðèòñÿ î òîì, ãäå çàäàíû ñîîòâåòñòâóþùèå ñëó÷àéíûåâåëè÷èíû, òî ìû ìîæåì ïîäîáðàòü óäîáíîå äëÿ íàñ âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî èçàäàòü íà íåì îäíîâðåìåííî Sn è ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ñ ïóàññîíîâñêèì ðàñïðåäåëåíèåì. Ïîñëå ÷åãî îöåíèì áëèçîñòü ðàñïðåäåëåíèé ýòèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.Ïóñòü Ω = [0, 1], S = B(Ω). Äëÿ âñÿêîãî èíòåðâàëà A ⊂ Ω ïîëîæèì P(A) = λ(A),ãäå λ(A) äëèíà èíòåðâàëà.

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà [0, 1] íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãàáðîñàþòñÿ n òî÷åê, îáîçíà÷èì èõ êîîðäèíàòû Y1 , . . . , Yn . Ýòî íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûåâåëè÷èíû, èìåþùèå ðàñïðåäåëåíèå U0,1 . Ïîñòðîèì íà ýòîì æå ïðîñòðàíñòâå íîâûåñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Äëÿ i = 1, . . . , n ïîëîæèì(0,åñëè Yi < 1 − p,Xi =1,åñëè Yi ≥ 1 − p,(0,Xi∗ =k ≥ 1,ãäåpk,1 + ... +πk = ek!−påñëè Yi < e−p = π0 ,åñëè Yi ∈ [πk−1 , πk ),P(Xi∗ = k) = πk − πk−1 = e−p∗6XiXi6110pk.k!1−p 1-Yi0π0 π1 1- YiÇàìåòèì, ÷òî π0 = e−p > 1 − p, ïîýòîìó Xi 6= Xi∗ òîëüêî åñëè Yi ∈ [1 − p, π0 ) èëèYi ∈ [π1 , 1]. Çíà÷èò, ïðè êàæäîì iP(Xi 6= Xi∗ ) = (e−p − 1 + p) + (1 − e−p − pe−p ) = p(1 − e−p ) < p2 .Î÷åâèäíî, ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Xi íåçàâèñèìû è èìåþò ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè Bp ,Sn = X1 + .

. . + Xn ⊂= Bn,p . Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Xi∗ òàêæå íåçàâèñèìû èSn∗ = X1∗ + . . . + Xn∗ ⊂= Πnp . ÈìååìP(Sn 6= Sn∗ ) ≤ P(∪{Xi 6= Xi∗ }) ≤ np2 .iÏîýòîìó äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà A ⊂ {0, 1, 2, . . .}P(Sn ∈ A) = P(Sn ∈ A, Sn = Sn∗ ) + P(Sn ∈ A, Sn 6= Sn∗ ) == P(Sn∗ ∈ A) − P(Sn∗ ∈ A, Sn 6= Sn∗ ) + P(Sn ∈ A, Sn 6= Sn∗ ),òî åñòü|P(Sn ∈ A) − P(Sn∗ ∈ A)| = |P(Sn ∈ A, Sn 6= Sn∗ ) − P(Sn∗ ∈ A, Sn 6= Sn∗ )| ≤≤ max(P(Sn∗ ∈ A, Sn 6= Sn∗ ), P(Sn ∈ A, Sn 6= Sn∗ )) ≤ P(Sn 6= Sn∗ ) ≤ np2 .Òåîðåìà äîêàçàíà.955.Öåïè Ìàðêîâà5.1.Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ ïðåäûäóùèõ ðàçäåëàõ ìû èçó÷àëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé(íàïðèìåð, â ñõåìå Áåðíóëëè) è ñâÿçàííûå ñ íèìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåçàâèñèìûõñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.

Òåïåðü ðàññìîòðèì ïðîñòåéøèé âàðèàíò çàâèñèìûõ èñïûòàíèé.Ïóñòü íåêîòîðûé îáúåêò â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ìîæåò íàõîäèòüñÿ â îäíîìèç ñîñòîÿíèé Ek , ãäå k = 0, ±1, ±2, . . .; ñ òå÷åíèåì âðåìåíè îí ìîæåò ïåðåõîäèòü èçîäíîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå. Âðåìÿ áóäåì ðàññìàòðèâàòü äèñêðåòíîå: n = 0, 1, 2, . . ..Ïåðåõîäû èç ñîñòîÿíèÿ â ñîñòîÿíèå ïðîèñõîäÿò íåêèì ñëó÷àéíûì îáðàçîì, îäíàêîíîìåð êàæäîãî ïîñëåäóþùåãî ñîñòîÿíèÿ çàâèñèò, êðîìå âñåãî ïðî÷åãî, è îò íîìåðàïðåäûäóùåãî ñîñòîÿíèÿ.Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ïðèìåðû.1.

Îáúåêò íàñåëåíèå ãîðîäà, ñîñòîÿíèå ÷èñëî áîëüíûõ ãðèïïîì, îòìå÷àåìîååæåäíåâíî. ×èñëî áîëüíûõ çàâòðà áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ÷èñëîì áîëüíûõ ñåãîäíÿ, àòàêæå ñëó÷àéíûìè ôàêòîðàìè (êòî-òî çàáîëåë çà ñóòêè, êòî-òî âûçäîðîâåë).2. Êàïèòàë èãðîêà ïîñëå î÷åðåäíîé èãðû. Îí ñêëàäûâàåòñÿ èç èìåþùåãîñÿ êàïèòàëà äî èãðû ïëþñ âûèãðûø (ïðîèãðûø ìîæíî ñ÷èòàòü âûèãðûøåì ñî çíàêîììèíóñ, òàê ÷òî êàïèòàë ìîæåò ïðèíèìàòü îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ).3. ×èñëî îñîáåé â áèîëîãè÷åñêîé ïîïóëÿöèè.4.

×èñëî êëèåíòîâ â áàíêå.5. Êîëè÷åñòâî ñàìîëåòîâ â àýðîïîðòó íà êàæäûé ÷àñ. Îíî ñêëàäûâàåòñÿ èç ÷èñëàñàìîëåòîâ, íàõîäèâøèõñÿ â àýðîïîðòó ÷àñ íàçàä, ïëþñ ÷èñëî ïðèëåòåâøèõ è ìèíóñ÷èñëî óëåòåâøèõ â òå÷åíèå ÷àñà.×òîáû ïåðåéòè ê òî÷íîìó îïðåäåëåíèþ, ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí {Xn , n = 0, 1, . .

.}, êîòîðûå ïðèíèìàþò öåëûå çíà÷åíèÿ. Áóäåì ïîëàãàòüXn = k , åñëè îáúåêò â ìîìåíò âðåìåíè n íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè Ek , k = 0, ±1, ±2, . . ..Òàêèì îáðàçîì, çíà÷åíèå Xn ðàâíî íîìåðó ñîñòîÿíèÿ â ìîìåíò âðåìåíè n.. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Xn , n = 0, 1, . . .} íàçûâàåòñÿ öåïüþ Ìàðêîâà, åñëè äëÿ ëþáûõ ìîìåíòîâ âðåìåíè 0 ≤ n1 < n2 < . . . < nk < m < n è äëÿ ëþáûõöåëûõ ÷èñåë i1 , i2 , . . . , ik , i, j âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâîÎïðåäåëåíèåP(Xn = j/Xn1 = i1 , . . .

, Xnk = ik , Xm = i) = P(Xn = j/Xm = i).×òîáû ïîíÿòü ñóòü ýòîãî îïðåäåëåíèÿ, ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî ìîìåíò m ýòîíàñòîÿùåå, ìîìåíòû n1 , n2 , . . . , nk íàõîäÿòñÿ â ïðîøëîì, à n ìîìåíò âðåìåíè, îòíîñÿùèéñÿ ê áóäóùåìó. Ïðèâåäåííîå îïðåäåëåíèå îçíà÷àåò, ÷òî åñëè èçâåñòíà ïðåäûñòîðèÿ ýâîëþöèè îáúåêòà â ìîìåíòû âðåìåíè n1 , n2 , . . . , nk è èçâåñòíîñîñòîÿíèå îáúåêòà â íàñòîÿùåå âðåìÿ, òî äëÿ áóäóùåãî ïðåäûñòîðèÿ îêàçûâàåòñÿíåñóùåñòâåííîé. Âëèÿíèå îêàçûâàåò òîëüêî ñîñòîÿíèå îáúåêòà â íàñòîÿùèé ìîìåíòâðåìåíè.Òàêîãî ñîðòà çàâèñèìîñòü õàðàêòåðíà äëÿ ïðèâåäåííûõ âûøå ïðèìåðîâ.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
829,18 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее