1625915144-a0b004e5d7d0e6e9b8f80b0c67f3317f (843874), страница 19
Текст из файла (страница 19)
å. ê õ. ô. ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Îáîçíà÷èì äëÿ óäîáñòâà Yk = Xk − a, k = 1, 2, . . .. Òîãäà EYk = 0, DYk = DXk = σ 2 ,Sn − na = Y1 + . . . + Yn , 2 nσ 2 t2ttn√ϕ Y1 +...+Y= 1− 2 +o,n (t) = ϕY√1σ n2σ nnσ n 2 2 tt2tt2tt2n√ln ϕY1= n ln 1 −+o=n −+o→− .2nn2nn2σ nÄîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî õ. ô. ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûÒåîðåìà äîêàçàíà.Çàìå÷àíèÿ√√√1. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ESn = na, DSn = nσ 2 = σ n, ò. å. ê ñëó÷àéíîéâåëè÷èíå Sn â òåîðåìå ïðèìåíåíà îïåðàöèÿ ñòàíäàðòèçàöèè;Sn − naSn − na√√E= 0, D= 1.σ nσ n2. Ñõîäèìîñòü â ÖÏÒ ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíîé ïî âñåì y , ò. å.
S−nan√sup P< y − Φ0,1 (y) → 0σ nyïðè n → ∞. Êàê ìû âèäåëè ðàíåå, ýòî ñëåäóåò èç íåïðåðûâíîñòè ïðåäåëüíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.3. Ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ÖÏÒ â ýêâèâàëåíòíîé ôîðìå: äëÿ ëþáûõ A ≤ BSn − na√P A≤≤Bσ n1→√2πZB2 /2e−tdt.AÈìåííî òàêàÿ ôîðìà ÷àùå âñåãî èñïîëüçóåòñÿ ïðè ðåøåíèè çàäà÷. Äåëàåòñÿ ýòîñëåäóþùèìîáðàçîì. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì íåîáõîäèìî íàéòè âåðîÿòíîñòüP(C ≤ Sn ≤ D) ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ n. Ïåðâîå, ÷òî ìû äîëæíû ñäåëàòü, ýòîïîäîãíàòü íàøå âûðàæåíèå ïîä ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû:Sn − naD − naC − na√√√P(C ≤ Sn ≤ D) = P≤≤,σ nσ nσ nïîñëå ÷åãî îáúÿâëÿåì ýòó âåðîÿòíîñòü ïî÷òè ðàâíîé1√2πZB2 /2e−tdt = Φ0,1 (B) − Φ0,1 (A),AãäåA=C − na√ ,σ nB=D − na√ .σ n×èñëåííûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè Φ0,1 (y) îáû÷íî íàõîäÿòñÿ èç òàáëèö.4.
Êîëü ñêîðî ìû çàìåíÿåì äîïðåäåëüíîå âûðàæåíèå â ÖÏÒ ïðåäåëüíûì, âîçíèêàåò âîïðîñ î âåëè÷èíå ïîãðåøíîñòè, êîòîðóþ ìû äîïóñêàåì ïðè ýòîì. Ýòî âîïðîñ î92ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè â ÖÏÒ. Èìååò ìåñòî ñëåäóþùèé ôàêò (ïðèâîäèòñÿ áåç äîêàçàòåëüñòâà).. Ïóñòü E|X1 |3 < ∞, òîãäà Sn − naµ√sup P< y − Φ0,1 (y) < 3 √ ,σ n2σ nyÍåðàâåíñòâî Áåððè Ýññååíàãäå µ = E|X1 − EX1 |3 .5. Óñëîâèå EX12 < ∞ çäåñü ñóùåñòâåííî. À âîò òðåáîâàíèå íåçàâèñèìîñòè ìîæíîîñëàáèòü, äîïóñêàÿ íåáîëüøóþ çàâèñèìîñòü. Óòâåðæäåíèå ÖÏÒ ñîõðàíèòñÿ â ñèëåïðè ýòîì. Òî÷íî òàê æå ìîæíî äîïóñòèòü, ÷òî ñëàãàåìûå ìîãóò áûòü íåîäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû, õîòÿ âñå ðàâíî îïðåäåëåííûå îãðàíè÷åíèÿ íà èõ ðàñïðåäåëåíèÿíóæíî íàêëàäûâàòü: íåëüçÿ äîïóñêàòü, ÷òîáû îäíî èëè íåñêîëüêî ñëàãàåìûõ ñèëüíîâûäåëÿëèñü íà ôîíå äðóãèõ.
Ðàçóìååòñÿ, òî÷íûõ ôîðìóëèðîâîê ìû çäåñü íå äàåì.6. ×àñòíûì ñëó÷àåì ÖÏÒ ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Ìóàâðà Ëàïëàñà, êîòîðàÿ èñòîðè÷åñêè ïîÿâèëàñü ðàíüøå ÖÏÒ.Ïóñòü Sn ÷èñëî óñïåõîâ â ñõåìå Áåðíóëëè, p âåðîÿòíîñòü óñïåõàâ îäíîì èñïûòàíèè. Òîãäà ïðè n → ∞Òåîðåìà.Sn − np≤BP A≤ pnp (1 − p)!1→√2πZB2 /2e−tdt.AÇäåñü Sn ðàâíî ñóììå íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ðàñïðåäåëåííûõ ïî çàêîíó Áåðíóëëè; a = p, σ 2 = p (1 − p).Ïðèìåð ïðèìåíåíèÿ ÖÏÒ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî n = 1000 ðàç áðîñàåòñÿ èãðàëüíàÿêîñòü.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç Sn ñóììó âûïàâøèõ î÷êîâ. ßñíî, ÷òîP(1000 ≤ Sn ≤ 6000) = 1.Ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà Sn ëåæèò âíóòðè èíòåðâàëà äëèíîé 5000. Âîïðîñ: íàìíîãî ëè óìåíüøèòñÿ ðàçìåð èíòåðâàëà, åñëè ìû çàõîòèì óìåíüøèòü âåðîÿòíîñòü äî0.95? Îêàçûâàåòñÿ, áîëåå ÷åì â 20 ðàç. Ýòîò íåîæèäàííûé ðåçóëüòàò íåâîçìîæíîïðåäâèäåòü, à âîò ïðèìåíåíèå ÖÏÒ ñðàçó æå ïðèâîäèò íàñ ê íåìó.Äåéñòâèòåëüíî, Sn åñòü ñóììà íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ îò 1 äî 6 ñ ðàâíûìè âåðîÿòíîñòÿìè. Íåòðóäíî âû÷èñëèòü:a = EX1 = 3.5, pEX12 = 91/6, σ 2 = DX1 = 35/12.  ñèëó ÖÏÒ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà (Sn − 3500) / 1000 · 35/12 èìååò ïî÷òè ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå(÷èñëî n âåëèêî!), ïîýòîìó!Z1.961Sn − 35002P −1.96 < p< 1.96 ' √e−t /2 dt = 0.95.2π1000 · 35/12−1.96Ïîñëåäíåå ìû çàðàíåå íàõîäèì èç òàáëèö.
Òàêèì îáðàçîì,ppP(|Sn − 3500)| < 1.96 1000 · 35/12) ' 0.95, 1.96 1000 · 35/12 = 105.85 . . . . êà÷åñòâå åùå îäíîãî ïðèìåðà ïðèìåíåíèÿ ÖÏÒ ðàññìîòðèì çàäà÷ó ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî.93Ïóñòü ôóíêöèÿ g(y1 , . . . , yk ) îïðåäåëåíà íà k -ìåðíîì åäèíè÷íîì êóáå V . Òðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü èíòåãðàëZZa = . . .
g(y1 , . . . , yk )dy1 . . . dyk .VÏðåäïîëîæèì, ÷òî èçâåñòíà êîíñòàíòà C òàêàÿ, ÷òî |g(y1 , . . . , yk )| ≤ C ïðè(y1 , . . . , yk ) ∈ V . Îáîçíà÷èì Y = (Y1 , . . . , Yk ) ñëó÷àéíûé âåêòîð, èìåþùèé ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà V . ÒîãäàZZEg(Y1 , . . . , Yk ) = . . . g(y1 , .
. . , yk )dy1 . . . dyk = a,V2σ = Dg(Y1 , . . . , Yk ) =ZZ...(g(y1 , . . . , yk ) − a)2 dy1 . . . dyk ≤ 4C 2 .V(i)(i)Ïóñòü ó íàñ èìååòñÿ n íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ (Y1 , . . . , Yk ), i = 1, . . . , n,(i)(i)îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñ (Y1 , . . . , Yk ), è ïóñòü Xi = g(Y1 , . .
. , Yk ). Âñå ñëó÷àéíûåâåëè÷èíû X1 , . . . , Xn íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû. Òîãäà â ñèëó ÇÁ× ïðèáîëüøèõ nSnX 1 + . . . + Xn=≈ EX1 = a.nn(i)(i)Ýòî ñîîáðàæåíèå è ëåæèò â îñíîâàíèè ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî. Âåêòîðû (Y1 , . . . , Yk )îáû÷íî ìîäåëèðóþò ñ ïîìîùüþ ãåíåðàòîðà ñëó÷àéíûõ ÷èñåë. Âîïðîñ ñòîèò î âûáîðå÷èñëà n. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàñ âïîëíå óñòðîèò, ÷òîáû ñ âåðîÿòíîñòüþ, áëèçêîé êåäèíèöå, ïîãðåøíîñòü òàêîãî ïðèáëèæåíèÿ íå ïðåâûøàëà ìàëîé âåëè÷èíû ∆. Òîãäàâ ñèëó ÖÏÒ√ √ Sn − na ∆ n Sn − na ∆ n Sn≥P √ <≈P − a < ∆ = P √ <nσ2Cσ nσ n √ √ √ ∆ n∆ n∆ n≈ Φ0,1− Φ0,1 −= 1 − 2Φ0,1 −.2C2C2CÂûáèðàÿ ÷èñëî n äîñòàòî÷íî áîëüøèì, ìîæåì ñäåëàòü ïîëó÷åííóþ âåðîÿòíîñòüêàê óãîäíî áëèçêîé ê åäèíèöå.
Çàìåòèì, ÷òî ïðè âûâîäå ýòîé îöåíêè ìû âîñïîëüçîâàëèñü âåñüìà ãðóáîé îöåíêîé äëÿ äèñïåðñèè.4.7.Îöåíêà òî÷íîñòè â òåîðåìå Ïóàññîíà. ýòîì ðàçäåëå ìû äîêàæåì ñôîðìóëèðîâàííóþ ðàíåå îöåíêó ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè â òåîðåìå î ïðèáëèæåíèè Ïóàññîíà äëÿ áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.Ïóñòü Sn ÷èñëî óñïåõîâ â ñõåìå Áåðíóëëè, p âåðîÿòíîñòü óñïåõà â îäíîìèñïûòàíèè.. Äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà A ⊂ {0, 1, 2, . . .}X (np)k−npP(Sn ∈ A) −e < np2 .k!Òåîðåìàk∈A94Äîêàçàòåëüñòâî.
Âîñïîëüçóåìñÿ òàê íàçûâàåìûì ìåòîäîì îäíîãî âåðîÿòíîñòíîãîïðîñòðàíñòâà. Îí ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Êîëü ñêîðî â òåîðåìå ðå÷ü èäåò î ñáëèæåíèèðàñïðåäåëåíèé è íè÷åãî íå ãîâîðèòñÿ î òîì, ãäå çàäàíû ñîîòâåòñòâóþùèå ñëó÷àéíûåâåëè÷èíû, òî ìû ìîæåì ïîäîáðàòü óäîáíîå äëÿ íàñ âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî èçàäàòü íà íåì îäíîâðåìåííî Sn è ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ñ ïóàññîíîâñêèì ðàñïðåäåëåíèåì. Ïîñëå ÷åãî îöåíèì áëèçîñòü ðàñïðåäåëåíèé ýòèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.Ïóñòü Ω = [0, 1], S = B(Ω). Äëÿ âñÿêîãî èíòåðâàëà A ⊂ Ω ïîëîæèì P(A) = λ(A),ãäå λ(A) äëèíà èíòåðâàëà.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà [0, 1] íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãàáðîñàþòñÿ n òî÷åê, îáîçíà÷èì èõ êîîðäèíàòû Y1 , . . . , Yn . Ýòî íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûåâåëè÷èíû, èìåþùèå ðàñïðåäåëåíèå U0,1 . Ïîñòðîèì íà ýòîì æå ïðîñòðàíñòâå íîâûåñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Äëÿ i = 1, . . . , n ïîëîæèì(0,åñëè Yi < 1 − p,Xi =1,åñëè Yi ≥ 1 − p,(0,Xi∗ =k ≥ 1,ãäåpk,1 + ... +πk = ek!−påñëè Yi < e−p = π0 ,åñëè Yi ∈ [πk−1 , πk ),P(Xi∗ = k) = πk − πk−1 = e−p∗6XiXi6110pk.k!1−p 1-Yi0π0 π1 1- YiÇàìåòèì, ÷òî π0 = e−p > 1 − p, ïîýòîìó Xi 6= Xi∗ òîëüêî åñëè Yi ∈ [1 − p, π0 ) èëèYi ∈ [π1 , 1]. Çíà÷èò, ïðè êàæäîì iP(Xi 6= Xi∗ ) = (e−p − 1 + p) + (1 − e−p − pe−p ) = p(1 − e−p ) < p2 .Î÷åâèäíî, ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Xi íåçàâèñèìû è èìåþò ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè Bp ,Sn = X1 + .
. . + Xn ⊂= Bn,p . Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Xi∗ òàêæå íåçàâèñèìû èSn∗ = X1∗ + . . . + Xn∗ ⊂= Πnp . ÈìååìP(Sn 6= Sn∗ ) ≤ P(∪{Xi 6= Xi∗ }) ≤ np2 .iÏîýòîìó äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà A ⊂ {0, 1, 2, . . .}P(Sn ∈ A) = P(Sn ∈ A, Sn = Sn∗ ) + P(Sn ∈ A, Sn 6= Sn∗ ) == P(Sn∗ ∈ A) − P(Sn∗ ∈ A, Sn 6= Sn∗ ) + P(Sn ∈ A, Sn 6= Sn∗ ),òî åñòü|P(Sn ∈ A) − P(Sn∗ ∈ A)| = |P(Sn ∈ A, Sn 6= Sn∗ ) − P(Sn∗ ∈ A, Sn 6= Sn∗ )| ≤≤ max(P(Sn∗ ∈ A, Sn 6= Sn∗ ), P(Sn ∈ A, Sn 6= Sn∗ )) ≤ P(Sn 6= Sn∗ ) ≤ np2 .Òåîðåìà äîêàçàíà.955.Öåïè Ìàðêîâà5.1.Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ ïðåäûäóùèõ ðàçäåëàõ ìû èçó÷àëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé(íàïðèìåð, â ñõåìå Áåðíóëëè) è ñâÿçàííûå ñ íèìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåçàâèñèìûõñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.
Òåïåðü ðàññìîòðèì ïðîñòåéøèé âàðèàíò çàâèñèìûõ èñïûòàíèé.Ïóñòü íåêîòîðûé îáúåêò â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ìîæåò íàõîäèòüñÿ â îäíîìèç ñîñòîÿíèé Ek , ãäå k = 0, ±1, ±2, . . .; ñ òå÷åíèåì âðåìåíè îí ìîæåò ïåðåõîäèòü èçîäíîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå. Âðåìÿ áóäåì ðàññìàòðèâàòü äèñêðåòíîå: n = 0, 1, 2, . . ..Ïåðåõîäû èç ñîñòîÿíèÿ â ñîñòîÿíèå ïðîèñõîäÿò íåêèì ñëó÷àéíûì îáðàçîì, îäíàêîíîìåð êàæäîãî ïîñëåäóþùåãî ñîñòîÿíèÿ çàâèñèò, êðîìå âñåãî ïðî÷åãî, è îò íîìåðàïðåäûäóùåãî ñîñòîÿíèÿ.Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ïðèìåðû.1.
Îáúåêò íàñåëåíèå ãîðîäà, ñîñòîÿíèå ÷èñëî áîëüíûõ ãðèïïîì, îòìå÷àåìîååæåäíåâíî. ×èñëî áîëüíûõ çàâòðà áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ÷èñëîì áîëüíûõ ñåãîäíÿ, àòàêæå ñëó÷àéíûìè ôàêòîðàìè (êòî-òî çàáîëåë çà ñóòêè, êòî-òî âûçäîðîâåë).2. Êàïèòàë èãðîêà ïîñëå î÷åðåäíîé èãðû. Îí ñêëàäûâàåòñÿ èç èìåþùåãîñÿ êàïèòàëà äî èãðû ïëþñ âûèãðûø (ïðîèãðûø ìîæíî ñ÷èòàòü âûèãðûøåì ñî çíàêîììèíóñ, òàê ÷òî êàïèòàë ìîæåò ïðèíèìàòü îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ).3. ×èñëî îñîáåé â áèîëîãè÷åñêîé ïîïóëÿöèè.4.
×èñëî êëèåíòîâ â áàíêå.5. Êîëè÷åñòâî ñàìîëåòîâ â àýðîïîðòó íà êàæäûé ÷àñ. Îíî ñêëàäûâàåòñÿ èç ÷èñëàñàìîëåòîâ, íàõîäèâøèõñÿ â àýðîïîðòó ÷àñ íàçàä, ïëþñ ÷èñëî ïðèëåòåâøèõ è ìèíóñ÷èñëî óëåòåâøèõ â òå÷åíèå ÷àñà.×òîáû ïåðåéòè ê òî÷íîìó îïðåäåëåíèþ, ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí {Xn , n = 0, 1, . .
.}, êîòîðûå ïðèíèìàþò öåëûå çíà÷åíèÿ. Áóäåì ïîëàãàòüXn = k , åñëè îáúåêò â ìîìåíò âðåìåíè n íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè Ek , k = 0, ±1, ±2, . . ..Òàêèì îáðàçîì, çíà÷åíèå Xn ðàâíî íîìåðó ñîñòîÿíèÿ â ìîìåíò âðåìåíè n.. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Xn , n = 0, 1, . . .} íàçûâàåòñÿ öåïüþ Ìàðêîâà, åñëè äëÿ ëþáûõ ìîìåíòîâ âðåìåíè 0 ≤ n1 < n2 < . . . < nk < m < n è äëÿ ëþáûõöåëûõ ÷èñåë i1 , i2 , . . . , ik , i, j âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâîÎïðåäåëåíèåP(Xn = j/Xn1 = i1 , . . .
, Xnk = ik , Xm = i) = P(Xn = j/Xm = i).×òîáû ïîíÿòü ñóòü ýòîãî îïðåäåëåíèÿ, ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî ìîìåíò m ýòîíàñòîÿùåå, ìîìåíòû n1 , n2 , . . . , nk íàõîäÿòñÿ â ïðîøëîì, à n ìîìåíò âðåìåíè, îòíîñÿùèéñÿ ê áóäóùåìó. Ïðèâåäåííîå îïðåäåëåíèå îçíà÷àåò, ÷òî åñëè èçâåñòíà ïðåäûñòîðèÿ ýâîëþöèè îáúåêòà â ìîìåíòû âðåìåíè n1 , n2 , . . . , nk è èçâåñòíîñîñòîÿíèå îáúåêòà â íàñòîÿùåå âðåìÿ, òî äëÿ áóäóùåãî ïðåäûñòîðèÿ îêàçûâàåòñÿíåñóùåñòâåííîé. Âëèÿíèå îêàçûâàåò òîëüêî ñîñòîÿíèå îáúåêòà â íàñòîÿùèé ìîìåíòâðåìåíè.Òàêîãî ñîðòà çàâèñèìîñòü õàðàêòåðíà äëÿ ïðèâåäåííûõ âûøå ïðèìåðîâ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
