1625915144-a0b004e5d7d0e6e9b8f80b0c67f3317f (843874), страница 14
Текст из файла (страница 14)
. . dtn .  òî æå âðåìÿZ−1fY (u)du,P(AY + α ∈ B) = P(Y ∈ A (B − α)) =A−1 (B−α))ãäå ïîä ìíîæåñòâîì A−1 (B − α) ïîíèìàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü âñåõ òî÷åê u : Au + α ∈ B .Äëÿ òîãî ÷òîáû ïðåîáðàçîâàòü ýòîò èíòåãðàë ê íóæíîìó íàì èíòåãðàëó ïî ìíîæåñòâóB (è òîãäà ñòîÿùàÿ ïîä èíòåãðàëîì ôóíêöèÿ è áóäåò èñêîìîé ïëîòíîñòüþ), ñäåëàåì−1çàìåíó ïåðåìåííûõ t = Au + α.
 ðåçóëüòàòå ýòîé çàìåíû ìíîæåñòâî A (B − α)1 T−1ïåðåéäåò â B , u â A (t − α), exp − 2 u u ïåðåéäåò â11T−1 T −1TT −1exp − (t − α) (A ) A (t − α) = exp − (t − α) (AA ) (t − α) .22√Ïðè ïåðåõîäå îò du ê dt ïîÿâèòñÿ ÿêîáèàí det Q.Òàêèì îáðàçîì, ïîä èíòåãðàëîì ïîÿâèòñÿ ôóíêöèÿ, ïðèñóòñòâóþùàÿ â óòâåðæäåíèè òåîðåìû îíà è áóäåò ïëîòíîñòüþ âåêòîðà X . Òåîðåìà äîêàçàíà.Äëÿ íàñ áîëüøóþ âàæíîñòü ïðåäñòàâëÿþò ñëåäóþùèå äâà ñëåäñòâèÿ èç ýòîé òåîðåìû.Ïóñòü ñëó÷àéíûé âåêòîð X = (X1 , X2 , .
. . , Xn )T èìååò ìíîãîìåðíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå è âñå åãî êîìïîíåíòû ïîïàðíî íåêîððåëèðîâàíû.Òîãäà îíè íåçàâèñèìû.Äîêàçàòåëüñòâî. Âñëåäñòâèå íåêîððåëèðîâàííîñòè êîìïîíåíò çàêëþ÷àåì, ÷òîìàòðèöà êîâàðèàöèé C(X) èìååò äèàãîíàëüíûé âèä: íà ãëàâíîé äèàãîíàëè ñòîÿòäèñïåðñèè DX1 , . . . , DXn , à âñå îñòàëüíûå ýëåìåíòû ðàâíû íóëþ. Îáîçíà÷èì äëÿêðàòêîñòè σi2 = DXi , i = 1, . . . , n. Òîãäà ìàòðèöà Q = (C(X))−1 òàêæå áóäåò äèàãîíàëüíîé, ó íåå íà ãëàâíîé äèàãîíàëè áóäóò ñòîÿòü ÷èñëà σ1−2 , .
. . , σn−2 . Ïî ýòîéïðè÷èíå ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âåêòîðà X ïðèîáðåòàåò âèä( n)nX (ti − αi )2Y1exp −=ϕαi σi2 (ti ),fX (t) =σ1 . . . σn (2π)n/22σi2i=1i=1Ñëåäñòâèå 1.÷òî ýêâèâàëåíòíî íåçàâèñèìîñòè êîìïîíåíò âåêòîðà X .Ïóñòü ñëó÷àéíûé âåêòîð X = (X1 , X2 , . . . , Xn )T èìååò ìíîãîìåðíîå ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå (íàïîìíèì: ýòî ñîîòâåòñòâóåòòîìó, ÷òî âñå êîìïîíåíòû âåêòîðà íåçàâèñèìû è èìåþò ðàñïðåäåëåíèå Φ0,1 ). Îáðàçóåì íîâûé âåêòîð Y = AX , ãäå A îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà.
Òîãäà âåêòîð Yòàêæå áóäåò èìåòü ìíîãîìåðíîå ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.Äîêàçàòåëüñòâî. Îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, ïî îïðåäåëåíèþ, îáëàäàåò ñâîéñòâîìAT = A−1 . Ïî ýòîé ïðè÷èíå C(Y ) = AC(X)AT = AAT = E è, ñëåäîâàòåëüíî, Yn11 TfY (t) =exp − t t =ϕ0,1 (ti ) = fX (t),(2π)n/22i=1Ñëåäñòâèå 2.÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.663.7.Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñóììû ñëó÷àéíîãî ÷èñëàñëàãàåìûõÐàíåå áûëî ââåäåíî ïîíÿòèå σ -àëãåáðû σ(X) = {X −1 (B), B ∈ B(R)}, ïîðîæäåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé X . Îíà ñîñòîèò èç ñîáûòèé, î ðåàëèçàöèè êîòîðûõìîæíî ñóäèòü ïî çíà÷åíèÿì X .
Ïóñòü èìååòñÿ òåïåðü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí {Xn }. Äëÿ ëþáûõT k ≤ m ≤ ∞ ââåäåì σ -àëãåáðó σ(Xk , . . . , Xm ), êîòîðàÿïîðîæäåíà ñîáûòèÿìè âèäà mi=k Ai , ãäå Ai ∈ σ(Xi ). Ýòî áîëåå áîãàòàÿ σ -àëãåáðà,÷åì, ê ïðèìåðó, σ(Xk ) èëè σ(Xk , . . . , Xm−1 ), òàê êàê íåêîòîðûå èç ìíîæåñòâ Ai ìîãóòñîâïàäàòü ñ Ω.Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , X2 , . . . íåçàâèñèìû, òî äëÿ ëþáûõ k ≥ 1,n ≥ 1 σ -àëãåáðû σ(X1 , . . .
, Xn ) è σ(Xn+k , Xn+k+1 , . . .) íåçàâèñèìû.Ñõåìà äîêàçàòåëüñòâà ñîñòîèòT â ñëåäóþùåì. Ñíà÷àëàTïðîâåðÿåòñÿ íåçàâèñèìîñòüïðîèçâîëüíîãî ñîáûòèÿ âèäà ni=1 Ai è ñîáûòèÿ âèäà mi=n+k Ai , ãäå Ai ∈ σ(Xi ),n + k ≤ m < ∞. Çàòåì óñòàíàâëèâàåòñÿ íåçàâèñèìîñòü àëãåáð, ïîðîæäåííûõ ñîáûòèÿìè òàêîãî âèäà. Êàê óæå äîêàçàíî ðàíåå, íåçàâèñèìîñòü àëãåáð îáåñïå÷èâàåòíåçàâèñèìîñòü ïîðîæäåííûõ èìè σ -àëãåáð. Ïåðåõîä ê ïðåäåëó ïðè m → ∞ îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ñâîéñòâà íåïðåðûâíîñòè âåðîÿòíîñòè.Ïóñòü íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå < Ω, S, P > çàäàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü{Xn } íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è íåêîòîðàÿ öåëî÷èñëåííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ν ≥ 1. Çíà÷åíèÿ n ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê äèñêðåòíûå ìîìåíòû âðåìåíè.Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ν íàçûâàåòñÿ íå çàâèñÿùåé îò áóäóùåãî,åñëè äëÿ ëþáîãî n ñîáûòèå {ν ≤ n} íå çàâèñèò îò σ -àëãåáðû σ(Xn+1 , Xn+2 , .
. .).Åñëè {ν ≤ n} ∈ σ(X1 , . . . , Xn ) ïðè âñåõ n ≥ 1 , òî òàêàÿ ñëó÷àéíàÿâåëè÷èíà ν íàçûâàåòñÿ ìàðêîâñêîé èëè ìàðêîâñêèì ìîìåíòîì.ßñíî, ÷òî ìàðêîâñêèé ìîìåíò íå çàâèñèò îò áóäóùåãî, òàê êàê σ(X1 , . . . , Xn ) èσ(Xn+1 , Xn+2 , . . .) íåçàâèñèìû.Ïðèìåðàìè ìàðêîâñêèõ ìîìåíòîâ ìîãóò ñëóæèòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûÒåîðåìà.Îïðåäåëåíèå.Îïðåäåëåíèå.ν1 = inf{k ≥ 1 : Xk ≥ N },ïîñêîëüêó{ν1 ≤ n} =n[{Xk ≥ N } ∈ σ(X1 , . . . , Xn ),k=1à òàêæåν2 = inf{k ≥ 1 : Sk ≥ N },ãäå, ê ïðèìåðó, âñå Xk èìåþò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, Sk = X1 + . . .
+ Xk , N > 0 ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî.6SkN0A1A 2 3AAHH@@67-ν2kÒåîðåìà (Êîëìîãîðîâ Ïðîõîðîâ). Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ν íå çàâèñèòîò áóäóùåãî. Òîãäà åñëè∞XP(ν ≥ k)E|Xk | < ∞,k=1òîESν =∞XP(ν ≥ k)EXk .k=1Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òî âñå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Xk íåîòðèöàòåëüíû. Òîãäà âíå çàâèñèìîñòè îò òîãî, êîíå÷åí èíòåãðàë ESν èëè íåò, ìû ìîæåìíàïèñàòü∞∞XXESν =E(Sν ; ν = n) =E(Sn ; ν = n) =n=1=∞ XnXn=1E(Xk ; ν = n) =n=1 k=1∞ X∞XE(Xk ; ν = n) =k=1 n=k∞XE(Xk ; ν ≥ k).k=1Ñîáûòèå {ν ≥ k} = {ν > k − 1} = Ω \ {ν ≤ k − 1} íå çàâèñèò îò σ -àëãåáðûσ(Xk , Xk+1 , .
. .), ïîýòîìó îíî íå çàâèñèò îò σ(Xk ). Çíà÷èò,E(Xk ; ν ≥ k) = EXk I{ν≥k} = EXk EI{ν≥k} = EXk P(ν ≥ k)Pè ESν = ∞k=1 P(ν ≥ k)EXk < ∞.Åñëè Xk ìîãóò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ ðàçíûõ çíàêîâ, òî, î÷åâèäíî,E|Sν | ≤ EνX|Xk | =k=1∞XP(ν ≥ k)E|Xk | < ∞,k=1è ìû âíîâü ìîæåì ïîâòîðèòü íàøè ðàññóæäåíèÿ, îáîñíîâàâ ïåðåìåíó ïîðÿäêà ñóììèðîâàíèÿ àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòüþ ðÿäà∞∞ XX∞∞ XX|E(Xk ; ν = n)| ≤k=1 n=k=∞XE(|Xk |; ν = n) =k=1 n=kE(|Xk |; ν ≥ k) =k=1∞XE|Xk |P(ν ≥ k) < ∞.k=1Ñëåäñòâèå (òîæäåñòâî Âàëüäà). Åñëè X , X , . . . íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðå12äåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, E|X1 | < ∞, ν íå çàâèñèò îò áóäóùåãî è Eν < ∞,òî ESν = EX1 Eν .Äîêàçàòåëüñòâî.
Äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî∞Xk=1P(ν ≥ k) =∞ X∞XP(ν = i) =∞XiP(ν = i) = Eν.i=1k=1 i=k êà÷åñòâå ïðèìåðà èñïîëüçîâàíèÿ òîæäåñòâà Âàëüäà ðàññìîòðèì çàäà÷ó î ðàçîðåíèè.Äâà èãðîêà, A è B, ïîäáðàñûâàþò ìîíåòó, è â ñëó÷àå âûïàäåíèÿ ãåðáà A âûèãðûâàåò åäèíèöó, åñëè ðåøêà, òî åäèíèöó âûèãðûâàåò B. Ýòî òàê íàçûâàåìàÿ áåçîáèäíàÿèãðà, èãðîêè êàæäûé ðàç âûèãðûâàþò åäèíèöó ñ ðàâíîé âåðîÿòíîñòüþ. Ïóñòü a è b68 íà÷àëüíûå êàïèòàëû èãðîêîâ. Èãðà çàêàí÷èâàåòñÿ, êîãäà îäèí èç èãðîêîâ ïðîèãðàåò âåñü ñâîé êàïèòàë. Îáîçíà÷èì PA è PB âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ äëÿ A è Bñîîòâåòñòâåííî. Íàøà çàäà÷à íàéòè ýòè âåðîÿòíîñòè.Åñëè îáîçíà÷èòü Xn âûèãðûø A â n-ì òóðå (îí ìîæåò ðàâíÿòüñÿ 1 èëè -1 ñ ðàâíûìè âåðîÿòíîñòÿìè), òî Sn = X1 + .
. . + Xn åñòü ñóììàðíûé âûèãðûø A ïîñëå náðîñàíèé ìîíåòû. Óäîáíî èçîáðàæàòü ðàçâèòèå èãðû íà ãðàôèêå.Snb06@@1 2@@3@@−aν-n@@@@Ïîêàæåì, ÷òî PA + PB = 1, ò. å. ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà òðàåêòîðèÿ îáÿçàòåëüíîâûéäåò èç ïîëîñû. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî N1 − PA − PB = P(S1 ∈ (−a, b), S2 ∈ (−a, b), . . .) ≤≤ P(|X1 + . . . + XN | < a + b, |XN +1 + . . . + X2N | < a + b, . . .) == P(|X1 + . . . + XN | < a + b)P(|XN +1 + . .
. + X2N | < a + b) . . . = 0,åñëè N òàêîâî, ÷òî P(|X1 + . . . + XN | < a + b) < 1. Íî äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî âçÿòüN = a + b, òàê êàê ïðè ýòîìP(|X1 + . . . + XN | = a + b) =22a+bèP(|X1 + . . . + XN | < a + b) = 1 −>02< 1.2a+bÎáîçíà÷èì ÷åðåç ν ìîìåíò ïðåêðàùåíèÿ èãðû, ò. å. ðàçîðåíèÿ îäíîãî èç èãðîêîâ. ßñíî, ÷òî ν ìàðêîâñêèé ìîìåíò; Sν = −a ñ âåðîÿòíîñòüþ PA è Sν = b ñ âåðîÿòíîñòüþPB .
Ïîýòîìó â ñèëó òîæäåñòâà ÂàëüäàESν = −aPA + b(1 − PA ) = EνEX1 = 0,b. Îòìåòèì, ÷òî PA = 1, åñëè a < ∞,a+bb = ∞, òî åñòü âíåøíå áåçîáèäíàÿ èãðà ñ áåñêîíå÷íî áîãàòûì ñîïåðíèêîì âñåãäàçàêàí÷èâàåòñÿ ðàçîðåíèåì.Ïîêàæåì, ÷òî Eν < ∞. Âû÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòåé P(ν = k) ÿâëÿåòñÿ âåñüìàñëîæíîé çàäà÷åé, ïîýòîìó ìûP∞ïîäõîäÿùèì îáðàçîì îöåíèì ñâåðõó P(ν ≥ k) è âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé Eν = k=1 P(ν ≥ k). Èìååì äëÿ óæå âûáðàííîãî ÷èñëà Nåñëè Eν < ∞. Îòñþäà ñðàçó ñëåäóåò PA =P(ν > mN ) ≤ P(|X1 + .
. . + XN | < a + b, . . . , |X(m−1)N +1 + . . . + XmN | < a + b) =m2=1 − a+b,2∞∞XXXEν =P(ν ≥ k) =P(ν ≥ k) ≤k=1m=0 mN <k≤(m+1)N∞Xm∞ X2≤N P(ν > mN ) ≤ N1 − a+b< ∞.2m=0m=0693.8.Óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèåÑíà÷àëà ââåäåì ïîíÿòèå óñëîâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïóñòü X è Y äâå äèñêðåòíûåñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, çàäàííûå íà îäíîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå. Îáîçíà÷èìpX (u/v) =P(X = u, Y = v)P(Y = v)è íàçîâåì ýòó ôóíêöèþ óñëîâíûì ðàñïðåäåëåíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ïðè óñëîâèè Y = v . Çäåñü ïåðåìåííàÿ v ïðèíèìàåò òîëüêî òå çíà÷åíèÿ, äëÿ êîòîðûõP(Y = v) > 0.Äàëåå ðàññìîòðèì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå ýòîìó óñëîâíîìóðàñïðåäåëåíèþ (åñëè îíî ñóùåñòâóåò):XE(X/v) =upX (u/v).uÌû ïîëó÷èëè òåì ñàìûì ôóíêöèþ îò òåêóùåãî çíà÷åíèÿ v ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y .Ðàññìàòðèâàÿ òåïåðü E(X/Y ) êàê ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, êîòîðàÿ êàæäîìó ω ñòàâèòâ ñîîòâåòñòâèå E(X/Y (ω)), ìû ïîëó÷àåì óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Xîòíîñèòåëüíî Y .Ïðîèëëþñòðèðóåì ââåäåííîå ïîíÿòèå íà ðèñóíêå.
Ïóñòü, êàê è ðàíåå, Ω = [0, 1],è ãðàôèêè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí âûãëÿäÿò ñëåäóþùèì îáðàçîì.X(ω)60Y (ω)6ω-101ω-À âîò êàê âûãëÿäèò ãðàôèê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû E(X/Y ) (îí ïîêàçàí æèðíîéëèíèåé):E(X/Y )601ω-Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà E(X/Y ) ïîëó÷àåòñÿ èç X ñëåäóþùèì îáðàçîì: íà êàæäîìèç òðåõ îòðåçêîâ, ãäå Y ïîñòîÿííà, X çàìåíÿåòñÿ íà ñðåäíåå çíà÷åíèå, âû÷èñëåííîåïî ýòîìó îòðåçêó.Èç ïðèâåäåííîãî âûøå îïðåäåëåíèÿ íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàþò ñëåäóþùèå ñâîéñòâà.1. Åñëè X è Y íåçàâèñèìû, òî E(X/Y ) = EX . Ýòî î÷åâèäíî.2. Äëÿ ëþáîé áîðåëåâñêîé ôóíêöèè g èìååò ìåñòîE(g(Y )X/Y ) = g(Y )E(X/Y ),70ò.
å. g(Y ) âûíîñèòñÿ èç-ïîä çíàêà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïîäîáíî êîíñòàíòå. Â÷àñòíîñòè, ïðè X = 1 ïîëó÷àåì E(g(Y )/Y ) = g(Y ).Äîêàçàòåëüñòâî.pg(Y )X (u/v) =P(g(Y )X = u, Y = v)P(g(v)X = u, Y = v)=,P(Y = v)P(Y = v)ïîýòîìóE(g(Y )X/v) =X P(g(v)X = u, Y = v) XP(X = t, Y = v)=g(v)t= g(v)E(X/v).uP(Y=v)P(Y=v)tu3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
