Главная » Просмотр файлов » 1625915144-a0b004e5d7d0e6e9b8f80b0c67f3317f

1625915144-a0b004e5d7d0e6e9b8f80b0c67f3317f (843874), страница 14

Файл №843874 1625915144-a0b004e5d7d0e6e9b8f80b0c67f3317f (Лотов 2015 - Лекции по теории вероятностей для ММФ) 14 страница1625915144-a0b004e5d7d0e6e9b8f80b0c67f3317f (843874) страница 142021-07-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

. . dtn .  òî æå âðåìÿZ−1fY (u)du,P(AY + α ∈ B) = P(Y ∈ A (B − α)) =A−1 (B−α))ãäå ïîä ìíîæåñòâîì A−1 (B − α) ïîíèìàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü âñåõ òî÷åê u : Au + α ∈ B .Äëÿ òîãî ÷òîáû ïðåîáðàçîâàòü ýòîò èíòåãðàë ê íóæíîìó íàì èíòåãðàëó ïî ìíîæåñòâóB (è òîãäà ñòîÿùàÿ ïîä èíòåãðàëîì ôóíêöèÿ è áóäåò èñêîìîé ïëîòíîñòüþ), ñäåëàåì−1çàìåíó ïåðåìåííûõ t = Au + α.

 ðåçóëüòàòå ýòîé çàìåíû ìíîæåñòâî A (B − α)1 T−1ïåðåéäåò â B , u â A (t − α), exp − 2 u u ïåðåéäåò â11T−1 T −1TT −1exp − (t − α) (A ) A (t − α) = exp − (t − α) (AA ) (t − α) .22√Ïðè ïåðåõîäå îò du ê dt ïîÿâèòñÿ ÿêîáèàí det Q.Òàêèì îáðàçîì, ïîä èíòåãðàëîì ïîÿâèòñÿ ôóíêöèÿ, ïðèñóòñòâóþùàÿ â óòâåðæäåíèè òåîðåìû îíà è áóäåò ïëîòíîñòüþ âåêòîðà X . Òåîðåìà äîêàçàíà.Äëÿ íàñ áîëüøóþ âàæíîñòü ïðåäñòàâëÿþò ñëåäóþùèå äâà ñëåäñòâèÿ èç ýòîé òåîðåìû.Ïóñòü ñëó÷àéíûé âåêòîð X = (X1 , X2 , .

. . , Xn )T èìååò ìíîãîìåðíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå è âñå åãî êîìïîíåíòû ïîïàðíî íåêîððåëèðîâàíû.Òîãäà îíè íåçàâèñèìû.Äîêàçàòåëüñòâî. Âñëåäñòâèå íåêîððåëèðîâàííîñòè êîìïîíåíò çàêëþ÷àåì, ÷òîìàòðèöà êîâàðèàöèé C(X) èìååò äèàãîíàëüíûé âèä: íà ãëàâíîé äèàãîíàëè ñòîÿòäèñïåðñèè DX1 , . . . , DXn , à âñå îñòàëüíûå ýëåìåíòû ðàâíû íóëþ. Îáîçíà÷èì äëÿêðàòêîñòè σi2 = DXi , i = 1, . . . , n. Òîãäà ìàòðèöà Q = (C(X))−1 òàêæå áóäåò äèàãîíàëüíîé, ó íåå íà ãëàâíîé äèàãîíàëè áóäóò ñòîÿòü ÷èñëà σ1−2 , .

. . , σn−2 . Ïî ýòîéïðè÷èíå ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âåêòîðà X ïðèîáðåòàåò âèä( n)nX (ti − αi )2Y1exp −=ϕαi σi2 (ti ),fX (t) =σ1 . . . σn (2π)n/22σi2i=1i=1Ñëåäñòâèå 1.÷òî ýêâèâàëåíòíî íåçàâèñèìîñòè êîìïîíåíò âåêòîðà X .Ïóñòü ñëó÷àéíûé âåêòîð X = (X1 , X2 , . . . , Xn )T èìååò ìíîãîìåðíîå ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå (íàïîìíèì: ýòî ñîîòâåòñòâóåòòîìó, ÷òî âñå êîìïîíåíòû âåêòîðà íåçàâèñèìû è èìåþò ðàñïðåäåëåíèå Φ0,1 ). Îáðàçóåì íîâûé âåêòîð Y = AX , ãäå A îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà.

Òîãäà âåêòîð Yòàêæå áóäåò èìåòü ìíîãîìåðíîå ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.Äîêàçàòåëüñòâî. Îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, ïî îïðåäåëåíèþ, îáëàäàåò ñâîéñòâîìAT = A−1 . Ïî ýòîé ïðè÷èíå C(Y ) = AC(X)AT = AAT = E è, ñëåäîâàòåëüíî, Yn11 TfY (t) =exp − t t =ϕ0,1 (ti ) = fX (t),(2π)n/22i=1Ñëåäñòâèå 2.÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.663.7.Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñóììû ñëó÷àéíîãî ÷èñëàñëàãàåìûõÐàíåå áûëî ââåäåíî ïîíÿòèå σ -àëãåáðû σ(X) = {X −1 (B), B ∈ B(R)}, ïîðîæäåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé X . Îíà ñîñòîèò èç ñîáûòèé, î ðåàëèçàöèè êîòîðûõìîæíî ñóäèòü ïî çíà÷åíèÿì X .

Ïóñòü èìååòñÿ òåïåðü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí {Xn }. Äëÿ ëþáûõT k ≤ m ≤ ∞ ââåäåì σ -àëãåáðó σ(Xk , . . . , Xm ), êîòîðàÿïîðîæäåíà ñîáûòèÿìè âèäà mi=k Ai , ãäå Ai ∈ σ(Xi ). Ýòî áîëåå áîãàòàÿ σ -àëãåáðà,÷åì, ê ïðèìåðó, σ(Xk ) èëè σ(Xk , . . . , Xm−1 ), òàê êàê íåêîòîðûå èç ìíîæåñòâ Ai ìîãóòñîâïàäàòü ñ Ω.Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , X2 , . . . íåçàâèñèìû, òî äëÿ ëþáûõ k ≥ 1,n ≥ 1 σ -àëãåáðû σ(X1 , . . .

, Xn ) è σ(Xn+k , Xn+k+1 , . . .) íåçàâèñèìû.Ñõåìà äîêàçàòåëüñòâà ñîñòîèòT â ñëåäóþùåì. Ñíà÷àëàTïðîâåðÿåòñÿ íåçàâèñèìîñòüïðîèçâîëüíîãî ñîáûòèÿ âèäà ni=1 Ai è ñîáûòèÿ âèäà mi=n+k Ai , ãäå Ai ∈ σ(Xi ),n + k ≤ m < ∞. Çàòåì óñòàíàâëèâàåòñÿ íåçàâèñèìîñòü àëãåáð, ïîðîæäåííûõ ñîáûòèÿìè òàêîãî âèäà. Êàê óæå äîêàçàíî ðàíåå, íåçàâèñèìîñòü àëãåáð îáåñïå÷èâàåòíåçàâèñèìîñòü ïîðîæäåííûõ èìè σ -àëãåáð. Ïåðåõîä ê ïðåäåëó ïðè m → ∞ îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ñâîéñòâà íåïðåðûâíîñòè âåðîÿòíîñòè.Ïóñòü íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå < Ω, S, P > çàäàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü{Xn } íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è íåêîòîðàÿ öåëî÷èñëåííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ν ≥ 1. Çíà÷åíèÿ n ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê äèñêðåòíûå ìîìåíòû âðåìåíè.Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ν íàçûâàåòñÿ íå çàâèñÿùåé îò áóäóùåãî,åñëè äëÿ ëþáîãî n ñîáûòèå {ν ≤ n} íå çàâèñèò îò σ -àëãåáðû σ(Xn+1 , Xn+2 , .

. .).Åñëè {ν ≤ n} ∈ σ(X1 , . . . , Xn ) ïðè âñåõ n ≥ 1 , òî òàêàÿ ñëó÷àéíàÿâåëè÷èíà ν íàçûâàåòñÿ ìàðêîâñêîé èëè ìàðêîâñêèì ìîìåíòîì.ßñíî, ÷òî ìàðêîâñêèé ìîìåíò íå çàâèñèò îò áóäóùåãî, òàê êàê σ(X1 , . . . , Xn ) èσ(Xn+1 , Xn+2 , . . .) íåçàâèñèìû.Ïðèìåðàìè ìàðêîâñêèõ ìîìåíòîâ ìîãóò ñëóæèòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûÒåîðåìà.Îïðåäåëåíèå.Îïðåäåëåíèå.ν1 = inf{k ≥ 1 : Xk ≥ N },ïîñêîëüêó{ν1 ≤ n} =n[{Xk ≥ N } ∈ σ(X1 , . . . , Xn ),k=1à òàêæåν2 = inf{k ≥ 1 : Sk ≥ N },ãäå, ê ïðèìåðó, âñå Xk èìåþò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, Sk = X1 + . . .

+ Xk , N > 0 ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî.6SkN0A1A 2 3AAHH@@67-ν2kÒåîðåìà (Êîëìîãîðîâ Ïðîõîðîâ). Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ν íå çàâèñèòîò áóäóùåãî. Òîãäà åñëè∞XP(ν ≥ k)E|Xk | < ∞,k=1òîESν =∞XP(ν ≥ k)EXk .k=1Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òî âñå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Xk íåîòðèöàòåëüíû. Òîãäà âíå çàâèñèìîñòè îò òîãî, êîíå÷åí èíòåãðàë ESν èëè íåò, ìû ìîæåìíàïèñàòü∞∞XXESν =E(Sν ; ν = n) =E(Sn ; ν = n) =n=1=∞ XnXn=1E(Xk ; ν = n) =n=1 k=1∞ X∞XE(Xk ; ν = n) =k=1 n=k∞XE(Xk ; ν ≥ k).k=1Ñîáûòèå {ν ≥ k} = {ν > k − 1} = Ω \ {ν ≤ k − 1} íå çàâèñèò îò σ -àëãåáðûσ(Xk , Xk+1 , .

. .), ïîýòîìó îíî íå çàâèñèò îò σ(Xk ). Çíà÷èò,E(Xk ; ν ≥ k) = EXk I{ν≥k} = EXk EI{ν≥k} = EXk P(ν ≥ k)Pè ESν = ∞k=1 P(ν ≥ k)EXk < ∞.Åñëè Xk ìîãóò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ ðàçíûõ çíàêîâ, òî, î÷åâèäíî,E|Sν | ≤ EνX|Xk | =k=1∞XP(ν ≥ k)E|Xk | < ∞,k=1è ìû âíîâü ìîæåì ïîâòîðèòü íàøè ðàññóæäåíèÿ, îáîñíîâàâ ïåðåìåíó ïîðÿäêà ñóììèðîâàíèÿ àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòüþ ðÿäà∞∞ XX∞∞ XX|E(Xk ; ν = n)| ≤k=1 n=k=∞XE(|Xk |; ν = n) =k=1 n=kE(|Xk |; ν ≥ k) =k=1∞XE|Xk |P(ν ≥ k) < ∞.k=1Ñëåäñòâèå (òîæäåñòâî Âàëüäà). Åñëè X , X , . . . íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðå12äåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, E|X1 | < ∞, ν íå çàâèñèò îò áóäóùåãî è Eν < ∞,òî ESν = EX1 Eν .Äîêàçàòåëüñòâî.

Äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî∞Xk=1P(ν ≥ k) =∞ X∞XP(ν = i) =∞XiP(ν = i) = Eν.i=1k=1 i=k êà÷åñòâå ïðèìåðà èñïîëüçîâàíèÿ òîæäåñòâà Âàëüäà ðàññìîòðèì çàäà÷ó î ðàçîðåíèè.Äâà èãðîêà, A è B, ïîäáðàñûâàþò ìîíåòó, è â ñëó÷àå âûïàäåíèÿ ãåðáà A âûèãðûâàåò åäèíèöó, åñëè ðåøêà, òî åäèíèöó âûèãðûâàåò B. Ýòî òàê íàçûâàåìàÿ áåçîáèäíàÿèãðà, èãðîêè êàæäûé ðàç âûèãðûâàþò åäèíèöó ñ ðàâíîé âåðîÿòíîñòüþ. Ïóñòü a è b68 íà÷àëüíûå êàïèòàëû èãðîêîâ. Èãðà çàêàí÷èâàåòñÿ, êîãäà îäèí èç èãðîêîâ ïðîèãðàåò âåñü ñâîé êàïèòàë. Îáîçíà÷èì PA è PB âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ äëÿ A è Bñîîòâåòñòâåííî. Íàøà çàäà÷à íàéòè ýòè âåðîÿòíîñòè.Åñëè îáîçíà÷èòü Xn âûèãðûø A â n-ì òóðå (îí ìîæåò ðàâíÿòüñÿ 1 èëè -1 ñ ðàâíûìè âåðîÿòíîñòÿìè), òî Sn = X1 + .

. . + Xn åñòü ñóììàðíûé âûèãðûø A ïîñëå náðîñàíèé ìîíåòû. Óäîáíî èçîáðàæàòü ðàçâèòèå èãðû íà ãðàôèêå.Snb06@@1 2@@3@@−aν-n@@@@Ïîêàæåì, ÷òî PA + PB = 1, ò. å. ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà òðàåêòîðèÿ îáÿçàòåëüíîâûéäåò èç ïîëîñû. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî N1 − PA − PB = P(S1 ∈ (−a, b), S2 ∈ (−a, b), . . .) ≤≤ P(|X1 + . . . + XN | < a + b, |XN +1 + . . . + X2N | < a + b, . . .) == P(|X1 + . . . + XN | < a + b)P(|XN +1 + . .

. + X2N | < a + b) . . . = 0,åñëè N òàêîâî, ÷òî P(|X1 + . . . + XN | < a + b) < 1. Íî äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî âçÿòüN = a + b, òàê êàê ïðè ýòîìP(|X1 + . . . + XN | = a + b) =22a+bèP(|X1 + . . . + XN | < a + b) = 1 −>02< 1.2a+bÎáîçíà÷èì ÷åðåç ν ìîìåíò ïðåêðàùåíèÿ èãðû, ò. å. ðàçîðåíèÿ îäíîãî èç èãðîêîâ. ßñíî, ÷òî ν ìàðêîâñêèé ìîìåíò; Sν = −a ñ âåðîÿòíîñòüþ PA è Sν = b ñ âåðîÿòíîñòüþPB .

Ïîýòîìó â ñèëó òîæäåñòâà ÂàëüäàESν = −aPA + b(1 − PA ) = EνEX1 = 0,b. Îòìåòèì, ÷òî PA = 1, åñëè a < ∞,a+bb = ∞, òî åñòü âíåøíå áåçîáèäíàÿ èãðà ñ áåñêîíå÷íî áîãàòûì ñîïåðíèêîì âñåãäàçàêàí÷èâàåòñÿ ðàçîðåíèåì.Ïîêàæåì, ÷òî Eν < ∞. Âû÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòåé P(ν = k) ÿâëÿåòñÿ âåñüìàñëîæíîé çàäà÷åé, ïîýòîìó ìûP∞ïîäõîäÿùèì îáðàçîì îöåíèì ñâåðõó P(ν ≥ k) è âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé Eν = k=1 P(ν ≥ k). Èìååì äëÿ óæå âûáðàííîãî ÷èñëà Nåñëè Eν < ∞. Îòñþäà ñðàçó ñëåäóåò PA =P(ν > mN ) ≤ P(|X1 + .

. . + XN | < a + b, . . . , |X(m−1)N +1 + . . . + XmN | < a + b) =m2=1 − a+b,2∞∞XXXEν =P(ν ≥ k) =P(ν ≥ k) ≤k=1m=0 mN <k≤(m+1)N∞Xm∞ X2≤N P(ν > mN ) ≤ N1 − a+b< ∞.2m=0m=0693.8.Óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèåÑíà÷àëà ââåäåì ïîíÿòèå óñëîâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïóñòü X è Y äâå äèñêðåòíûåñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, çàäàííûå íà îäíîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå. Îáîçíà÷èìpX (u/v) =P(X = u, Y = v)P(Y = v)è íàçîâåì ýòó ôóíêöèþ óñëîâíûì ðàñïðåäåëåíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ïðè óñëîâèè Y = v . Çäåñü ïåðåìåííàÿ v ïðèíèìàåò òîëüêî òå çíà÷åíèÿ, äëÿ êîòîðûõP(Y = v) > 0.Äàëåå ðàññìîòðèì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå ýòîìó óñëîâíîìóðàñïðåäåëåíèþ (åñëè îíî ñóùåñòâóåò):XE(X/v) =upX (u/v).uÌû ïîëó÷èëè òåì ñàìûì ôóíêöèþ îò òåêóùåãî çíà÷åíèÿ v ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y .Ðàññìàòðèâàÿ òåïåðü E(X/Y ) êàê ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, êîòîðàÿ êàæäîìó ω ñòàâèòâ ñîîòâåòñòâèå E(X/Y (ω)), ìû ïîëó÷àåì óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Xîòíîñèòåëüíî Y .Ïðîèëëþñòðèðóåì ââåäåííîå ïîíÿòèå íà ðèñóíêå.

Ïóñòü, êàê è ðàíåå, Ω = [0, 1],è ãðàôèêè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí âûãëÿäÿò ñëåäóþùèì îáðàçîì.X(ω)60Y (ω)6ω-101ω-À âîò êàê âûãëÿäèò ãðàôèê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû E(X/Y ) (îí ïîêàçàí æèðíîéëèíèåé):E(X/Y )601ω-Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà E(X/Y ) ïîëó÷àåòñÿ èç X ñëåäóþùèì îáðàçîì: íà êàæäîìèç òðåõ îòðåçêîâ, ãäå Y ïîñòîÿííà, X çàìåíÿåòñÿ íà ñðåäíåå çíà÷åíèå, âû÷èñëåííîåïî ýòîìó îòðåçêó.Èç ïðèâåäåííîãî âûøå îïðåäåëåíèÿ íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàþò ñëåäóþùèå ñâîéñòâà.1. Åñëè X è Y íåçàâèñèìû, òî E(X/Y ) = EX . Ýòî î÷åâèäíî.2. Äëÿ ëþáîé áîðåëåâñêîé ôóíêöèè g èìååò ìåñòîE(g(Y )X/Y ) = g(Y )E(X/Y ),70ò.

å. g(Y ) âûíîñèòñÿ èç-ïîä çíàêà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïîäîáíî êîíñòàíòå. Â÷àñòíîñòè, ïðè X = 1 ïîëó÷àåì E(g(Y )/Y ) = g(Y ).Äîêàçàòåëüñòâî.pg(Y )X (u/v) =P(g(Y )X = u, Y = v)P(g(v)X = u, Y = v)=,P(Y = v)P(Y = v)ïîýòîìóE(g(Y )X/v) =X P(g(v)X = u, Y = v) XP(X = t, Y = v)=g(v)t= g(v)E(X/v).uP(Y=v)P(Y=v)tu3.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
829,18 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6489
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее