1625915144-a0b004e5d7d0e6e9b8f80b0c67f3317f (843874), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Åñëè X ≤ Y , òî E X ≤ E Y .3. |E X| ≤ E |X|.4. E(X + Y ) = EX + EY .Ïåðå÷èñëåííûå ñâîéñòâà âûïîëíÿþòñÿ äëÿ ïðîñòûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ïîñëå÷åãî ïðåäåëüíûì ïåðåõîäîì îíè óñòàíàâëèâàþòñÿ äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ðàçóìååòñÿ, âåçäå ðå÷ü èäåò î ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíàõ, äëÿ êîòîðûõ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñóùåñòâóåò.5. Åñëè X ≥ 0, òî äëÿ ëþáîãî ε > 0P(X ≥ ε) ≤EX.εÝòîò ôàêò èçâåñòåí êàê íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà. Íàçîâåì åãî ïåðâûì íåðàâåíñòâîì×åáûøåâà, ïîñêîëüêó äàëåå â êóðñå áóäåò ïîëó÷åíî âòîðîå.Äîêàçàòåëüñòâî.
ÈìååìZZZE X = X dP ≥X dP ≥ εdP = εP(X ≥ ε).Ωω: X(ω)≥εω: X(ω)≥ε536. Åñëè X ≥ 0 è EX = 0, òî P(X = 0) = 1.Ýòî ñðàçó æå ñëåäóåò èç óñòàíîâëåííîãî âûøå íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà, ïîñêîëüêóäëÿ ëþáîãî ε > 0 èìååì P(X ≥ ε) = 0, ÷òî âîçìîæíî òîëüêî ïðè P(X = 0) = 1.7. Íåðàâåíñòâî Êîøè Áóíÿêîâñêîãî:√E|XY | ≤ EX 2 EY 2 .Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóåò âîñïîëüçîâàòüñÿ íåðàâåíñòâîì 2|ab| ≤ a2 + b2 , ïîëîæèââ íåìX2Y22a2 =,b=,EX 2EY 2ïîñëå ÷åãî âçÿòü ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ îò îáåèõ ÷àñòåé íåðàâåíñòâà.8. Ïóñòü E|X|< ∞, è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîáûòèé {An } òàêîâà, ÷òî Ai Aj = ∅S∞ïðè i 6= j è A = n=1 An . ÒîãäàZX dP =∞ ZXn=1 AAX dP,èëè ïî-äðóãîìóE(X; A) =XE(X; An ).nnÝòî çíà÷èò, ÷òî èíòåãðàë êàê ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà îáëàäàåò ñâîéñòâîì ñ÷åòíîé àääèòèâíîñòè.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íàì ïîòðåáóåòñÿ ñëåäóþùåå âñïîìîãàòåëüíîå óòâåðæäåíèå.Ïóñòü X ≥ 0, EX < ∞ è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîáûòèé {An } òàêîâà, ÷òîP(An ) → 0 ïðè n → ∞. Òîãäà E(X; An ) → 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì Bm = {X ≤ m}. ßñíî, ÷òî P(Bm ) → 1 è P(B̄m ) =P{X > m} → 0 ïðè m → ∞. Ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî E(X; X > m) → 0 ïðè m →∞. Ïóñòü Xm ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåîòðèöàòåëüíûõ ïðîñòûõ ôóíêöèé, Xm % X .ÒîãäàX ≥ XIBm ≥ Xm IBm ,Ëåììà.EX ≥ lim EXIBm ≥ lim EXm IBm = EX,m→∞m→∞ïîñêîëüêó Xm IBm % X . Îòñþäà ïîëó÷àåìEX = lim EXIBm = lim E(X; X ≤ m),m→∞m→∞è çíà÷èò äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ ÷èñëî m(ε) òàêîå, ÷òî ïðè m ≥ m(ε)EX − E(X; X ≤ m) = E(X; X > m) ≤ ε.Ïîýòîìó äëÿ òàêèõ mE(X; An ) = E(X; {X ≤ m}An ) + E(X; {X > m}An ) ≤ mP(An ) + εè, ñëåäîâàòåëüíî, limn→∞ E(X; An ) ≤ ε.
Ëåììà äîêàçàíà.Ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâó ñâîéñòâà 8. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ýòî äëÿ X ≥ 0. Äëÿïðîñòûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî, òàê êàê[{X = yk } ∩ A = {X = yk }An ,nZX dP =AXkyk P(X = yk , A) =XXnk54yk P(X = yk , An ) =XZnXIAn dP. îáùåì ñëó÷àå èìååìZZZXZXZXXm dP =X dP.X dP = limXm dP = limXm dP =limm→∞Am→∞An Anm→∞Annn AnÎáîñíóåì ñìåíó ïîðÿäêà äåéñòâèé. Ïðè N → ∞P(∞[∞XAn ) =n=Nâ ñèëó ñõîäèìîñòè ðÿäà∞ ZXn=N APnP(An ) → 0n=NP(An ) = P(A). Îòñþäà ñ ïîìîùüþ ëåììû ïîëó÷àåì∞∞[[Xm dP = E Xm ;An ≤ E X;An → 0n=Nnn=Nïðè N → ∞ ðàâíîìåðíî ïî m.9.
Ïóñòü P(B) > 0 äëÿ íåêîòîðîãî ñîáûòèÿ B . Ââåäåì âåðîÿòíîñòíóþ ìåðó PB (A) =P(A/B) è íîâîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî < Ω, S, PB >. Íà ýòîì âåðîÿòíîñòíîìïðîñòðàíñòâå ïîñòðîèì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X :ZE(X/B) =X(ω)PB (dω).ΩÍî ïî îïðåäåëåíèþP(dω ∩ B)PB (dω) =,P(B)1òî åñòü E(X/B) =P(B)ZX(ω)P(dω∩B) =1E(X; B).P(B)ΩÅñëè â óñëîâèÿõ ñâîéñòâà 8 P(Aj ) > 0 ïðè âñåõ j , òîZXXXZX dP =E(X; Aj ) =P(Aj )E(X/Aj ).XdP =jj AjAjÌû ïîëó÷èëè òåì ñàìûì àíàëîã ôîðìóëû ïîëíîé âåðîÿòíîñòè äëÿ ìàòåìàòè÷åñêèõîæèäàíèé.Äàëåå ðàññìîòðèì âîïðîñ î ñïîñîáàõ âû÷èñëåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé.Óæå îòìå÷àëîñü ðàíåå, ÷òî êàæäàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X ïîðîæäàåò âåðîÿòíîñòíóþ ìåðó íà ïðÿìîé: äëÿ ëþáîãî B ∈ B(R)PX (B) = P(ω : X(ω) ∈ B).Ñäåëàâ çàìåíó ïåðåìåííûõ t = X(ω), ïîëó÷èìZ∞ZEX =X(ω)P(dω) =Z∞−∞Ωt P(X ∈ dt).t PX (dt) =−∞Äîñòàòî÷íî àêêóðàòíî âûïèñàòü îïðåäåëåíèÿ ýòèõ äâóõ èíòåãðàëîâ, ÷òîáû óáåäèòüñÿâ èõ ðàâåíñòâå.
Äëÿ ïðîñòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ìû ýòî óæå íàáëþäàëè:XXEX =yk P(X = yk ) =yk PX (yk ).kk55È äëÿ ïðîèçâîëüíîé äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ò. å. êîãäàPP(X = yk ) = 1,kèìååìEX =Xåñëèyk P(X = yk ),Xk|yk |P(X = yk ) < ∞.kÅñëè ðàñïðåäåëåíèå X àáñîëþòíî íåïðåðûâíî, òî P(X ∈ dt) = fX (t)dt, èZ∞EX =åñëètfX (t)dt,−∞Z∞|t|fX (t)dt < ∞.−∞Çäåñü ìû èìååì íåïðåðûâíûé àíàëîã ñðåäíåãî âçâåøåííîãî. Ïåðåìåííàÿ t ïîä çíàêîìèíòåãðàëà åñòü òåêóùåå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, à ïëîòíîñòü fX (t) èãðàåò ðîëüâåñîâîé ôóíêöèè.Åñëè g áîðåëåâñêàÿ ôóíêöèÿ èç R â R, òîZ∞ZEg(X) =g(X(ω))P(dω) =g(t)PX (dt).−∞ΩÝòà ôîðìóëà ïðåâðàùàåòñÿ âZ∞Eg(X) =g(t)fX (t)dt,−∞åñëè ðàñïðåäåëåíèå X àáñîëþòíî íåïðåðûâíî, ïðè ýòîì ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà g(X)ìîæåò è íå èìåòü ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ.×àñòî èñïîëüçóåòñÿ çàïèñü âèäàZ∞EX =tdFX (t).−∞Çäåñü èñïîëüçóåòñÿ òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå èíäóöèðóåòñÿ ïðèðàùåíèÿìè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ:PX ([a, b)) = FX (b) − FX (a). òàêîì âèäå èíòåãðàë íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì Ëåáåãà Ñòèëòüåñà.Åñëè FX ðàñïðåäåëåíèå ñìåøàííîãî òèïà, òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãîîæèäàíèÿ ïîëåçíî ñíà÷àëà âûäåëèòü êîìïîíåíòû ðàñïðåäåëåíèÿ.
Ïóñòü, ê ïðèìåðó,FX (y) = αF1 (y) + βF2 (y),ãäå α + β = 1, α ≥ 0, β ≥ 0, F1 (y) àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ,èìåþùàÿ ïëîòíîñòü f (t), à F2 (y) äèñêðåòíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, èìåþùàÿñêà÷êè âåëè÷èíîé p1 , p2 , . . . â òî÷êàõ y1 , y2 , . . . .ÒîãäàZ∞EX = α−∞Z∞tdF1 (t) + βZ∞tdF2 (t) = α−∞−∞tf (t)dt + β∞Xy k pk ,k=1åñëè òîëüêî àáñîëþòíî ñõîäÿòñÿ ó÷àñòâóþùèå çäåñü èíòåãðàë è ñóììà ðÿäà.56Ïîäâîäÿ èòîã íàøèì ïîñòðîåíèÿì îòìåòèì, ÷òî ìû îïðåäåëèëè ìàòåìàòè÷åñêîåîæèäàíèå â âèäå èíòåãðàëàZ∞EX =Z∞t PX (dt) =−∞tdFX (t),−∞êîòîðûé ìîæåò ïðåâðàùàòüñÿ â ñóììó (äëÿ äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé) èëè â îáû÷íûé èíòåãðàë (äëÿ ðàñïðåäåëåíèé àáñîëþòíî íåïðåðûâíîãî òèïà).
Äëÿ âû÷èñëåíèÿìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ äîñòàòî÷íî çíàòü òîëüêî ëèøü ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîéâåëè÷èíû, ò. å. ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ýòî ÷èñëîâàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðàñïðåäåëåíèÿ.Ïðèâåäåì íåêîòîðûå ïðèìåðû âû÷èñëåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé.Ïðèìåðû.1. Ïóñòü X ⊂= Bp . ÒîãäàEX = 1 · p + 0 · (1 − p) = p.2. Åñëè X ⊂= Bn,p , òîEX =nXkCnkk=on−1X= npkn−kp (1 − p)nX=k=1n!pk (1 − p)n−k(k − 1)!(n − k)!mCn−1pm (1 − p)n−1−m = np.m=0Íàéäåì EX äðóãèì ñïîñîáîì. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X ðàñïðåäåëåíà òàê æå, êàêè ÷èñëî óñïåõîâ Sn â n èñïûòàíèÿõ ñõåìû Áåðíóëëè, ïîýòîìó EX = ESn . Ââåäåìâñïîìîãàòåëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Xi , i = 1, 2, .
. . , n, ãäå Xi ÷èñëî óñïåõîâ âi-ì èñïûòàíèè, ò. å. P(Xi = 1) = p, P(Xi = 0) = 1 − p, è ïîýòîìó EXi = p. ÒîãäàSn = X1 + . . . + Xn è EX = ESn = EX1 + . . . + EXn = np.3. Ïóñòü X ⊂= Φα,σ2 . Òîãäà1√EX =σ 2π1√=σ 2π=1√σ 2πZ∞−∞Z∞−∞Z∞(t − α)2t exp −dt =2σ 2(t − α)2(t − α) exp −2σ 2y exp −−∞y22σ 2αdt + √σ 2πZ∞(t − α)2exp −dt =2σ 2−∞Z∞dy + αϕα,σ2 (t)dt = α.−∞Çäåñü èíòåãðàë îò ïëîòíîñòè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâåí åäèíèöå, à ïðåäïîñëåäíèé èíòåãðàë ðàâåí íóëþ, òàê êàê â íåì èíòåãðèðóåòñÿ íå÷åòíàÿ ôóíêöèÿ.Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå íå ñóùåñòâóåò äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿÊîøè èëè, íàïðèìåð, äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X òàêîé, ÷òî P(X = 2k ) = 2−k ,k = 1, 2, .
. ..Åñëè X = (X1 , . . . , Xn ) ñëó÷àéíûé âåêòîð, òî ïî àíàëîãèè ñ îäíîìåðíûì ñëó÷àåì ââåäåì ðàñïðåäåëåíèåPX (B) = P((X1 , . . . , Xn ) ∈ B),57B ∈ B(Rn ).Òîãäà äëÿ áîðåëåâñêîé ôóíêöèè g : Rn → RZ∞Zg(X1 , . . . , Xn )dP =Eg(X1 , . . . , Xn ) =Z∞...−∞Ωg(t1 , . . . , tn )PX (dt1 , .
. . , dtn ).−∞Åñëè ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîãî âåêòîðà X àáñîëþòíî íåïðåðûâíî, òîZ∞Eg(X1 , . . . , Xn ) =Z∞...−∞g(t1 , . . . , tn )fX (t1 , . . . , tn )dt1 . . . dtn ,−∞ãäå fX (t1 , . . . , tn ) ïëîòíîñòü ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà X =(X1 , . . . , Xn ).Çàìåòèì, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû g(X1 , . . . , Xn ) çäåñü òàêæå ìîæåò è íå áûòü àáñîëþòíî íåïðåðûâíûì ôîðìóëà îñòàåòñÿ â ñèëå.Ïóñòü òåïåðü n = 2 è ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , X2 íåçàâèñèìû. Òîãäà äëÿ ëþáûõáîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ B1 ∈ B(R), B2 ∈ B(R)P(X1 ∈ B1 , X2 ∈ B2 ) = P(X1 ∈ B1 )P(X2 ∈ B2 ).Ýòî ñîîòíîøåíèå çàäàåò âåðîÿòíîñòíóþ ìåðó íà ¾ïðÿìîóãîëüíèêàõ¿, ÷òî äàåò âîçìîæíîñòü îäíîçíà÷íî ïðîäîëæèòü åå íà ëþáûå áîðåëåâñêèå ïîäìíîæåñòâà R2 .  ýòîìñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ïîëó÷åííàÿ ìåðà PX (dt) ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì ìåðPX1 (dt1 ) è PX2 (dt2 ) (çäåñü X = (X1 , X2 ), dt = (dt1 , dt2 )).
Èìååò ìåñòî ñëåäóþùååñâîéñòâî (òåîðåìà Ôóáèíè):Z∞ Z∞ZEg(X1 , X2 ) =g(X1 , X2 )dP =g(t1 , t2 )PX (dt) =−∞ −∞ΩZ∞ Z∞−∞−∞g(t1 , t2 )PX2 (dt2 ) PX1 (dt1 ),=åñëè âñå ó÷àñòâóþùèå çäåñü ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ñóùåñòâóþò.  ÷àñòíîñòè,ïðè g(t1 , t2 ) = t1 t2 ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Åñëè X1 , X2 íåçàâèñèìû, òî E(X1 X2 ) = EX1 EX2 .Îáðàòíîå íåâåðíî. Äëÿ ïðèìåðà ìîæíî âçÿòü íåñîìíåííî çàâèñèìûå ñëó÷àéíûåâåëè÷èíû X1 ⊂= U−1,1 è X2 = X12 . ßñíî, ÷òîÒåîðåìà.E(X1 X2 ) =EX131=2Z1t3 dy = 0,EX1 = 0,1EX12 = ,3−1òî åñòü E(X1 X2 ) = EX1 EX2 .Âåðíåìñÿ ê ðàñïðåäåëåíèþ ñóììû íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.Z∞ Z∞FX+Y (y) = EI{X+Y <y} =I{u+v<y} PX (du)PY (dv) =−∞ −∞Z∞ Z∞=−∞−∞Z∞Z∞I{u+v<y} PY (dv) PX (du) =EI{u+Y <y} PX (du) =P(u+Y < y)PX (du) =−∞−∞58Z∞Z∞FY (y − u)dFX (u) ==−∞FX (y − v)dFY (v).−∞Ýòî âûðàæåíèå íàçûâàåòñÿ ñâåðòêîé ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ, êàê è â ñëó÷àå ïëîòíîñòåé.Åñëè õîòÿ áû îäíà èç ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (íàïðèìåð, Y ) îáëàäàåòïëîòíîñòüþ, òî ðàñïðåäåëåíèå X + Y áóäåò àáñîëþòíî íåïðåðûâíûì.Äåéñòâèòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àåÇàìå÷àíèå.y−uZ∞ ZFX+Y (y) =fY (v)dvdFX (u)−∞ −∞Z∞ ZyZy Z∞fY (t − u)dtdFX (u) ==−∞ −∞fY (t − u)dFX (u)dt,−∞ −∞ò.
å.Z∞fY (t − u)dFX (u).fX+Y (t) =−∞3.2.ÌîìåíòûÎïðåäåëåíèå. Ìîìåíòîì k-ãî ïîðÿäêà ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X íàçûâàåòñÿZ∞kEX =tk dFX (t),k > 0.−∞Êàê è âñÿêîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, ìîìåíò k -ãî ïîðÿäêà ñóùåñòâóåò òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäàZ∞E|X|k =|t|k dFX (t) < ∞.−∞Ïîñëåäíåå íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíûì ìîìåíòîì k -ãî ïîðÿäêà. Ïîëüçóÿñü ôîðìóëàìèâû÷èñëåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ôóíêöèé îò ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ìîæåì çàïèñàòüXEX k =yik P(X = yi )iäëÿ äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé èkZ∞EX =tk fX (t)dt−∞äëÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ ðàñïðåäåëåíèé.Ìîìåíòû ÿâëÿþòñÿ âåñüìà ïîëåçíûìè ÷èñëîâûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ñëó÷àéíûõâåëè÷èí. Ìîìåíò ïåðâîãî ïîðÿäêà ýòî óæå çíàêîìîå íàì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå.
Îíî èìååò ñìûñë ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ìû óâèäèì äàëüøå,59÷òî çíàíèå ìîìåíòîâ âòîðîãî è ïåðâîãî ïîðÿäêîâ äàåò íàì îïðåäåëåííóþ èíôîðìàöèþ î ðàçáðîñàííîñòè çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ñ ïîìîùüþ ìîìåíòîâ ìîæíîõàðàêòåðèçîâàòü àñèììåòðèþ ðàñïðåäåëåíèÿ è ò. ä.Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà óñòàíàâëèâàåò ñâÿçü ìåæäó ñóùåñòâîâàíèåì ìîìåíòîâ ðàçíûõ ïîðÿäêîâ.. Åñëè E|X|k < ∞, òî E|X|m < ∞ äëÿ ëþáîãî m òàêîãî, ÷òî 0 < m < k .Îáðàòíîå íåâåðíî.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïîñêîëüêó ïðè 0 < m < k âñåãäà âåðíî |X|m ≤ |X|k + 1, òîÒåîðåìàE|X|m < E|X|k + 1 < ∞.Òî, ÷òî îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî, ïîêàçûâàåò ñëåäóþùèé ïðèìåð. Ïóñòüïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X çàäàåòñÿ ôîðìóëîéfX (t) =C,1 + |t|k+2ãäå ïîñòîÿííàÿ C âûáèðàåòñÿ èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè. ÒîãäàZ∞kE|X| = C|t|kdt < ∞,1 + |t|k+2−∞íî E|X|k+1 = ∞.Åñëè ïðè k > 1 ñóùåñòâóåò EX k , òî ìîæíî ðàññìîòðåòü òàêæå E(X − EX)k . Ýòàâåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ öåíòðàëüíûì ìîìåíòîì k -ãî ïîðÿäêà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
