1625915144-a0b004e5d7d0e6e9b8f80b0c67f3317f (843874), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Ïóñòü ñîáûòèåHi îçíà÷àåò, ÷òî âûáðàííîå íàìè èçäåëèå èçãîòîâëåíî i-ì ðàáî÷èì, i = 1, 2, . . . , n.ßñíî, ÷òî ëþáîå ñîáûòèå èç H1 , H2 , . . . , Hn èñêëþ÷àåò äðóãèå. Êðîìå òîãî,n[Hi = Ω ⊃ A.i=1Òåì ñàìûì âûïîëíåíû âñå òðåáîâàíèÿ, ïðåäúÿâëÿåìûå ê ãèïîòåçàì. Ñ ïîìîùüþêëàññè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè íàõîäèìP(Hi ) =Ck1iki= .1CkkÅñëè æå èçâåñòíî, ÷òî èçäåëèå èçãîòîâëåíî i-ì ðàáî÷èì, òî âåðîÿòíîñòü, ÷òî îíîÿâëÿåòñÿ áðàêîâàííûì, ðàâíà P(A/Hi ) = pi ïî óñëîâèþ çàäà÷è.
Òåì ñàìûì ïîëó÷àåìïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòènXkiP(A) =pi .ki=11.12.Ôîðìóëà ÁàéåñàÔîðìóëà Áàéåñà èñïîëüçóåòñÿ â òîé æå ñèòóàöèè, ÷òî è ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè, ò. å. åñëè èìååòñÿ ñîáûòèå A è íàáîð ãèïîòåç H1 , H2 , . . . , Hn , óäîâëåòâîðÿþùèõóêàçàííûì âûøå òðåáîâàíèÿì.Âåðîÿòíîñòè ãèïîòåç P(H1 ), P(H2 ), .
. . , P(Hn ) ïðèíÿòî íàçûâàòü àïðèîðíûìè,ò. å. èçíà÷àëüíûìè, äîîïûòíûìè. Åñëè æå ñîáûòèå A óæå ïðîèçîøëî, òî óñëîâíûåâåðîÿòíîñòè ãèïîòåç P(H1 /A), P(H2 /A), . . . , P(Hn /A) ìîãóò ñèëüíî îòëè÷àòüñÿ îòàïðèîðíûõ è íàçûâàþòñÿ àïîñòåðèîðíûìè, ò. å. ïîñëåîïûòíûìè, ó÷èòûâàþùèìèðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòà.Äëÿ ìíîãèõ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé áûâàåò ïîëåçíî íàõîäèòü àïîñòåðèîðíûå âåðîÿòíîñòè ãèïîòåç, è äåëàåòñÿ ýòî ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Áàéåñà. Îíà ñîñòîèò â ñëåäóþùåì:äëÿ ëþáîãî i = 1, . . . , nP(A/Hi )P(Hi ).P(Hi /A) = Pnj=1 P(A/Hj )P(Hj )Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëàìèP(Hi /A) =P(Hi A), P(Hi A) = P(A/Hi )P(Hi )P(A)è óæå ïîëó÷åííîé ôîðìóëîé ïîëíîé âåðîÿòíîñòè äëÿ P(A).Âåðíåìñÿ ê ïðåäûäóùåìó ïðèìåðó.
Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî âçÿòîå íàóãàä èçäåëèåîêàçàëîñü áðàêîâàííûì. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî åãî èçãîòîâèë ié ðàáî÷èé? Ïîôîðìóëå Áàéåñà ïîëó÷àåìpi kiP(Hi /A) = Pn k kj .j=1 pj k272.Ðàñïðåäåëåíèÿ2.1.Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿÏðè ðàññìîòðåíèè ñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé èëè ýêñïåðèìåíòîâ íàñ èíòåðåñóåò, êàêïðàâèëî, íå ñàì ðåàëèçîâàâøèéñÿ èñõîä, à òà èëè èíàÿ ÷èñëîâàÿ õàðàêòåðèñòèêàýòîãî èñõîäà. Íàïðèìåð, â ñõåìå Áåðíóëëè íàì íå òàê óæ âàæíî áûëî, êàêàÿ öåïî÷êà ñèìâîëîâ ðåàëèçîâàëàñü, èíòåðåñ âûçûâàëî òîëüêî ÷èñëî óñïåõîâ â ýòîé öåïî÷êå.Òî÷íî òàê æå ïðè ñòðåëüáå ïî ïëîñêîé ìèøåíè ìû íå èíòåðåñóåìñÿ òî÷íûìè êîîðäèíàòàìè öåíòðà ïðîáîèíû.
Äëÿ íàñ âàæíî, ñêîëüêî î÷êîâ ìû âûáèëè ïðè ñòðåëüáå.Ýòî íàâîäèò íà íåîáõîäèìîñòü ââåäåíèÿ ïîíÿòèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.Ïóñòü èìååòñÿ íåêîòîðîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî < Ω, S, P >.. Ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé X íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíàÿ èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ íà ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω è ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèÿ âR (çíà÷åíèÿ ±∞ èñêëþ÷àþòñÿ). Èçìåðèìîñòü îçíà÷àåò, ÷òî X −1 (B) ∈ S äëÿ âñÿêîãîáîðåëåâñêîãî ìíîæåñòâà B ∈ B(R).Òàêèì îáðàçîì, êàæäîìó ýëåìåíòàðíîìó èñõîäó ω ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëîX(ω) ∈ R. Íàïðèìåð, ÷èñëî óñïåõîâ â n èñïûòàíèÿõ Áåðíóëëè, êîòîðîå ìû îáîçíà÷àëè Sn , ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé.Èçó÷åíèå ðàçëè÷íûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí îäíà èç îñíîâíûõ çàäà÷ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé.
 òî æå âðåìÿ ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî äëÿ èçó÷åíèÿ ôóíêöèé, çàäàííûõ íàïðîèçâîëüíîì ìíîæåñòâå (â äàííîì ñëó÷àå Ω), íå ñóùåñòâóåò äîñòàòî÷íî ðàçâèòîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà.  ñâÿçè ñ ýòèì âî ìíîãèõ ñèòóàöèÿõ îãðàíè÷èâàþòñÿèçó÷åíèåì íå ñàìèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, à èõ ðàñïðåäåëåíèé.Êàæäàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X ïîðîæäàåò íà σ -àëãåáðå áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâB(R) âåðîÿòíîñòíóþ ìåðóÎïðåäåëåíèåPX (B) = P{ω : X(ω) ∈ B} = P(X −1 (B)).Îïðåäåëåíèå. Âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà PXíàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì ñëó÷àéíîéâåëè÷èíû X . äàëüíåéøåì áóäåì èñïîëüçîâàòü êðàòêóþ çàïèñü:P{ω : X(ω) ∈ B} = P(X ∈ B).Îïðåäåëåíèå.
Ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X íàçûâàåòñÿFX (y) = P(ω : X(ω) < y) = P(X < y), −∞ < y < ∞.Îñíîâíûå ñâîéñòâà ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ1. 0 6 FX (y) 6 1 äëÿ âñåõ çíà÷åíèé y . Ñâîéñòâî î÷åâèäíî.2. Åñëè y1 < y2 , òî FX (y1 ) 6 FX (y2 ), ò. å. ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìîíîòîííî íåóáûâàåò.Äîêàçàòåëüñòâî. Ââåäåì ñîáûòèÿ A1 = {X < y1 }, A2 = {X < y2 }, òîãäàA1 ⊂ A2 , ïîýòîìó FX (y1 ) = P(A1 ) 6 P(A2 ) = FX (y2 ).3. Ñóùåñòâóþò ïðåäåëû lim FX (y) = 0 è lim FX (y) = 1.y→−∞y→∞Äîêàçàòåëüñòâî. Ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëîâ ñëåäóåò èç ìîíîòîííîñòè è îãðàíè÷åííîñòè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. ×òîáû íàéòè çíà÷åíèÿ ïðåäåëîâ, äîñòàòî÷íî âìåñòîíåïðåðûâíî ìåíÿþùåéñÿ ïåðåìåííîé y ðàññìîòðåòü êàêóþ-íèáóäü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü yk → −∞ â ïåðâîì ñëó÷àå è yk → ∞ âî âòîðîì.28Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {yk }, ìîíîòîííî óáûâàÿ, ñòðåìèòñÿ ê −∞ (íàïðèìåð,ìîæíî âçÿòü yk = −k ).
Ââåäåì ñîáûòèÿAk = {X < yk }, k = 1, 2, . . . .Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òîA1 ⊃ A2 ⊃ . . . .Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî íåïðåðûâíîñòè âåðîÿòíîñòè, ïîëó÷àåì!∞\?lim FX (yk ) = lim P(Ak ) = PAk = P(∅) = 0.k →∞k→∞k=1Ðàâåíñòâî, ïîìå÷åííîå âîïðîñîì, òðåáóåò êîììåíòàðèåâ. Äîêàæåì, ÷òî óêàçàííîå ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ ïóñòî. ÎòTïðîòèâíîãî: ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò õîòÿáû îäèí ýëåìåíòàðíûé èñõîä ω ∈ Ak . Ïîñêîëüêó X(ω) êîíå÷íîå ÷èñëî,T òî ñóùåñòâóåò èíäåêñ k0 òàêîé, ÷òî yk0 < X(ω), ò.
å. ω 6∈ Ak0 , à çíà÷èò, ω 6∈ Ak , ÷òîïðîòèâîðå÷èò èñõîäíîìó ïðåäïîëîæåíèþ.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âòîðîãî ïðåäåëüíîãî ñîîòíîøåíèÿ ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë yk , ìîíîòîííî ñòðåìÿùóþñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè (íàïðèìåð, yk = k ),è ââåäåì ñîáûòèÿ Ak = {X < yk }, k = 1, 2, . . .. Î÷åâèäíî, A1 ⊂ A2 ⊂ . . . ; è îïÿòü âñèëó ñâîéñòâà íåïðåðûâíîñòè âåðîÿòíîñòè!∞[lim F (yk ) = lim P(Ak ) = PAk = P(Ω) = 1.k→∞Ïîÿñíèì, ïî÷åìó çäåñük→∞∞Sk=1Ak = Ω.
Âêëþ÷åíèåSAk ⊂ Ω. î÷åâèäíî. Îáðàòíî: ïóñòük=1ω ∈ Ω, âû÷èñëèì X(ω) ýòî íåêîòîðîå êîíå÷íîå ÷èñëî. Ïîýòîìó íàéäåòñÿ èíäåêñ k0∞Sòàêîé, ÷òî yk0 > X(ω), ò. å. ω ∈ Ak0 ⊂Ak .k=1Óñòàíîâëåííûå ñâîéñòâà óæå ïîçâîëÿþò â îáùèõ ÷åðòàõ ïðåäñòàâèòü ñåáå, êàêâûãëÿäÿò ãðàôèêè ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ. Ðàñïîëàãàÿñü ïîëíîñòüþ â ïîëîñå0 ≤ y ≤ 1 íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè òî÷åê (x, y), êðèâûå ÿâëÿþò ñîáîé íåóáûâàþùèå ôóíêöèè, êîòîðûå ïðîõîäÿò ïóòü ïî âåðòèêàëè îò 0 äî 1 ïðè âîçðàñòàíèèàðãóìåíòà îò −∞ äî +∞.Îäíàêî ïóòü ýòîò íå îáÿçàí áûòü íåïðåðûâíûì: âîçìîæíû ñêà÷êè.
Íàïðèìåð,ãðàôèê ìîæåò áûòü òàêèì.FX (y)16by00y-Âîçíèêàåò âîïðîñ: ÷åìó ðàâíî çíà÷åíèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ â òî÷êå ðàçðûâà,êîëü ñêîðî îí èìååò ìåñòî? Îòâåò ñîäåðæèòñÿ â ñëåäóþùåì ñâîéñòâå.4. Äëÿ ëþáîãî y èìååò ìåñòî FX (y − 0) = FX (y), ò. å. ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿâñåãäà íåïðåðûâíà ñëåâà.29Äîêàçàòåëüñòâî. Âûáèðàåì âîçðàñòàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê {yk }, ñõî1äÿùóþñÿ ñëåâà ê y (íàïðèìåð, yk = y −). Ââåäåì ñîáûòèÿ Ak = {X < yk },kk = 1, 2, . . .
. Çäåñü, î÷åâèäíî, A1 ⊂ A2 ⊂ . . . , çíà÷èò,FX (y − 0) = lim FX (yk ) = lim P(Ak ) = P(k→∞k→∞∞[?Ak ) = P(X < y) = FX (y).k=1Ïîÿñíèì ðàâåíñòâî,îòìå÷åííîå âîïðîñîì.SÏóñòü ω ∈ Ak , òîãäà ñóùåñòâóåò èíäåêñ k0 òàêîé, ÷òî ω ∈ Ak0 , ò. å.X(ω) < yk0 < y. äðóãóþ ñòîðîíó: ïóñòü ω òàêîâî,S ÷òî X(ω) < y, òîãäà ñóùåñòâóåò èíäåêñ k0òàêîé, ÷òî X(ω) < yk0 , ò. å. ω ∈ Ak0 ⊂ Ak .Îòìåòèì åùå îäíî (äîïîëíèòåëüíîå) ñâîéñòâî: ìû äîêàçàëè, ÷òîFX (y − 0) = P(X < y);îêàçûâàåòñÿ, ÷òîFX (y + 0) = P(X 6 y).Ìû íå áóäåì äîêàçûâàòü ýòî ñîîòíîøåíèå, äëÿ ýòîãî ïîòðåáîâàëîñü áû âíîâü(â ÷åòâåðòûé ðàç!) ïîñòðîèòü íóæíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê è âîñïîëüçîâàòüñÿ ñâîéñòâîì íåïðåðûâíîñòè âåðîÿòíîñòè. Îòìåòèì òîëüêî îäíî ïîëåçíîå ñëåäñòâèåýòèõ ôàêòîâ. Èç àääèòèâíîñòè ñëåäóåò, ÷òîP(X 6 y) = P(X < y) + P(X = y),îòêóäàP(X = y) = P(X 6 y) − P(X < y) = FX (y + 0) − FX (y − 0),÷òî ðàâíî âåëè÷èíå ñêà÷êà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ â òî÷êå y.Òàêèì îáðàçîì, P(X = y) = 0 äëÿ âñåõ òî÷åê y , â êîòîðûõ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X íåïðåðûâíà.
Äàëåå, äëÿ ëþáûõ ÷èñåë a < b ìîæíîçàïèñàòü {X < b} = {X < a} ∪ {a ≤ X < b}, îòêóäà ñëåäóåòP(X < b) = P(X < a) + P(a ≤ X < b),ïîýòîìóP(a ≤ X < b) = P(X < b) − P(X < a) = FX (b) − FX (a).Òî÷íî òàê æåP(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X < a) = FX (b + 0) − FX (a);P(a < X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a) = FX (b + 0) − FX (a + 0);P(a < X < b) = P(X < b) − P(X ≤ a) = FX (b) − FX (a + 0).Ñâîéñòâà 24, äîêàçàííûå íàìè, ÿâëÿþòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè äëÿ ôóíêöèéðàñïðåäåëåíèÿ â òîì ñìûñëå, ÷òî ëþáàÿ ôóíêöèÿ F , èìè îáëàäàþùàÿ, ÿâëÿåòñÿôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ êàêîé-òî ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â ïîäõîäÿùåì âåðîÿòíîñòíîìïðîñòðàíñòâå.Ìû íå áóäåì ïðèâîäèòü ïîëíîãî äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî ôàêòà, õîòÿ åãî èäåÿ ïðîñòà.
Íóæíî âçÿòü Ω = R, S = B(R), è ïîëîæèòü P([a, b)) = F (b) − F (a). Ââåäåííàÿòàêèì îáðàçîì ôóíêöèÿ P îáëàäàåò ñâîéñòâîì ñ÷åòíîé àääèòèâíîñòè íà àëãåáðåìíîæåñòâ, ñîñòàâëåííûõ èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ïîëóèíòåðâàëîâ ýòî ïðîâåðÿåòñÿ ñ30èñïîëüçîâàíèåì ñâîéñòâ 2-4. Ïî òåîðåìå Êàðàòåîäîðè ýòà ôóíêöèÿ ïðîäîëæàåòñÿåäèíñòâåííûì îáðàçîì íà σ -àëãåáðó áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ B(R).Ïîñëå òîãî êàê ïîñòðîèëè âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî, ââåäåì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó X(ω) ≡ ω . Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî åå ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ è áóäåò ÿâëÿòüñÿF.Òàêèì îáðàçîì, ðàñïðåäåëåíèå ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ åãî çàäàíèåì íà âñåâîçìîæíûõ ïðîìåæóòêàõ, à äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî çíàòü âñåãî îäíó ôóíêöèþ ôóíêöèþðàñïðåäåëåíèÿ ýòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.  ñâÿçè ñ ýòèì òåðìèíû ¾ðàñïðåäåëåíèå¿è ¾ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ¿ (à òàêæå ¾çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ¿) èíîãäà èñïîëüçóþòñÿêàê ñèíîíèìû.2.2.Òèïû ðàñïðåäåëåíèé. ÏðèìåðûÎïðåäåëåíèå.
Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X íàçûâàåòñÿ äèñêðåòíîé, åñëè ñóùåñòâóåòêîíå÷íàÿ èëè ñ÷åòíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë y1 , y2 , y3 , . . . òàêàÿ, ÷òî∞XP(X = yk ) = 1.k=1Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íàçûâàåòñÿ äèñêðåòíîé.Äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå óäîáíî çàäàâàòü ñ ïîìîùüþ òàáëèöû. Îáîçíà÷èìpk = P(X = yk ), k = 1, 2, . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
