1625915144-a0b004e5d7d0e6e9b8f80b0c67f3317f (843874), страница 2
Текст из файла (страница 2)
å. A ⊂ B , òî ìû ãîâîðèì, ÷òî ñîáûòèå A âëå÷åòñîáûòèå B (íî íå íàîáîðîò!).Íàä ñîáûòèÿìè, êàê íàä ìíîæåñòâàìè, ìîæíî ïðîèçâîäèòü îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ, ïåðåñå÷åíèÿ, ðàçíîñòè, ïåðåõîäà ê äîïîëíèòåëüíîìó ìíîæåñòâó, ïðè÷åì îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ áóäóò ïðèìåíÿòüñÿ êàê ê êîíå÷íîìó, òàê è ê áåñêîíå÷íîìó íàáîðó ñîáûòèé. Íàïîìíèì íåêîòîðûå îïðåäåëåíèÿ:∞SAi = {ω : ω ∈ Ai õîòÿ áû ïðè îäíîì i} îáúåäèíåíèå ñîáûòèé (îçíà÷àåò, ÷òîÎïðåäåëåíèåi=1ïðîèñõîäèò õîòÿ áû îäíî èç A1 , A2 , .
. .);∞TAi = {ω : ω ∈ Ai ïðè âñåõ i = 1, 2, . . .} ïåðåñå÷åíèå ñîáûòèé (îçíà÷àåò, ÷òîi=1ïðîèñõîäÿò îäíîâðåìåííî âñå óêàçàííûå ñîáûòèÿ);A\B = {ω : ω ∈ A, íî ω 6∈ B} ðàçíîñòü äâóõ ñîáûòèé;A = Ω\A = {ω : ω 6∈ A} äîïîëíèòåëüíîå ñîáûòèå èëè ïðîñòî äîïîëíåíèå ê A.Ïåðå÷èñëåíèå ðàçëè÷íûõ ñâîéñòâ ýòèõ îïåðàöèé íå âõîäèò â ïðîãðàììó íàøåãîêóðñà, ìû îñòàíîâèìñÿ òîëüêî íà îäíîì ñîîòíîøåíèè, êîòîðîå áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿâ äàëüíåéøåì.Äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñîáûòèé A1 , A2 , .
. .ñïðàâåäëèâî∞∞\[Ai =Ai .Ôîðìóëà äâîéñòâåííîñòè.i=1i=16Äîêàæåì ýòî ñîîòíîøåíèå. Åñëè ω ∈∞TAi , òî ω 6∈i=1i òàêîé, ÷òî ω 6∈ Ai èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, ω ∈ Ai ⊂∞TAi , ò. å. ñóùåñòâóåò íîìåði=1∞S∞Si=1i=1Ai . Åñëè æå ω ∈ñóùåñòâóåò íîìåð i òàêîé, ÷òî ω ∈ Ai . Çíà÷èò, ω 6∈ Ai , ò. å. ω 6∈∞TAi , òîAi è, ñëåäîâàòåëüíî,i=1ω∈∞TAi .i=1Äàëåå ìû ââåäåì ïîíÿòèå âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ.
Âîîáùå ãîâîðÿ, âåðîÿòíîñòü ýòî ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ íà S , îáëàäàþùàÿ îïðåäåëåííûìè ñâîéñòâàìè. Äëÿ äèñêðåòíûõ ïðîñòðàíñòâ ìû îïðåäåëèì åå â äâà ýòàïà. Ñíà÷àëà òîëüêî äëÿ ñîáûòèé,ñîñòîÿùèõ èç îäíîãî åäèíñòâåííîãî ýëåìåíòàðíîãî èñõîäà.Êàæäîìó ýëåìåíòàðíîìó èñõîäó ω ∈ Ω ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëî P(ω), íàçûâàåìîå âåðîÿòíîñòüþ ýòîãî ýëåìåíòàðíîãî èñõîäà, òàê, ÷òîáû áûëè âûïîëíåíûñëåäóþùèå äâà òðåáîâàíèÿ:1) P(ω)P ≥ 0;2)P(ω) = 1.ω∈ΩÊàêèå êîíêðåòíî çíà÷åíèÿ ñëåäóåò çàäàâàòü íå òàê óæ âàæíî, ýòî îáû÷íî îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèÿìè ýêñïåðèìåíòà.
Òàê, â ïðèìåðå 1 ìû ïðèïèøåì âåðîÿòíîñòè 1/2êàæäîìó ýëåìåíòàðíîìó èñõîäó, åñëè ìîíåòêà ñèììåòðè÷íà; â ïðèìåðå 2 (áðîñàíèåèãðàëüíîé êîñòè) ìîæíî çàäàòü ðàâíûå âåðîÿòíîñòè ïî 1/6 äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòàðíîãî èñõîäà.  òðåòüåì ïðèìåðå ìû óæå íå ìîæåì ïðèïèñàòü êàæäîìó ýëåìåíòàðíîìó èñõîäó îäíó è òó æå ïîëîæèòåëüíóþ âåðîÿòíîñòü òîãäà ñóììà âñåõ âåðîÿòíîñòåéíå áóäåò ðàâíà åäèíèöå. Êàê ïîêàçûâàþò ýêñïåðèìåíòû, äëÿ âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òîçà åäèíèöó âðåìåíè íà ÀÒÑ ïîñòóïèò ðîâíî k âûçîâîâ, ëó÷øå âñåãî ïîäõîäèò ÷èñëîλk −λe ïðè íåêîòîðîì λ > 0.k!Òåïåðü ìû ìîæåì îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü ïðîèçâîëüíîãî ñîáûòèÿ A ⊂ Ω. Ïîëîæèì, ïî îïðåäåëåíèþ,XP(ω).P(A) =ω∈AÁóäåì ñ÷èòàòü, êðîìå òîãî, ÷òî P(∅) = 0.Ìû òåì ñàìûì çàâåðøèëè ïîñòðîåíèå ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ýêñïåðèìåíòà ñäèñêðåòíûì ïðîñòðàíñòâîì ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ. Îíà ñîñòîèò èç òðîéêè hΩ, S, Piè íàçûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòíûì ïðîñòðàíñòâîì.Ïîä÷åðêíåì, ÷òî äàííîå âûøå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ ãîäèòñÿ òîëüêîäëÿ äèñêðåòíûõ ìîäåëåé.
Äàëåå ìû ðàññìîòðèì íåêîòîðûå îñíîâíûå ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè â äèñêðåòíîé ìîäåëè.Ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè1. 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(Ω) = 1.2. Åñëè A ⊂ B, òî P(A) ≤ P(B).Ýòè äâà ñâîéñòâà î÷åâèäíûì îáðàçîì âûòåêàþò èç îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè.3. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB), ãäå äëÿ êðàòêîñòè çàïèñè îáîçíà÷åíîP(AB) = P(A ∩ B).Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ îáðàòèìñÿ ñíà÷àëà ê åãî ïðàâîé ÷àñòè.Âû÷èñëÿÿ P(A), ìû ñóììèðóåì âåðîÿòíîñòè âñåõ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ èç A, çàòåìïðèáàâëÿåì ñóììó âåðîÿòíîñòåé ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ èç B .
Òåì ñàìûì ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî âåðîÿòíîñòè ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ èç ìíîæåñòâà AB ìû ïðîñóììèðîâàëèäâàæäû. Çíà÷èò, îäèí ðàç íóæíî èõ îòíÿòü.7Ñîáûòèÿ A è B íàçûâàþòñÿ íåñîâìåñòíûìè, åñëè AB = ∅. Èç äîêàçàííîãî ñâîéñòâà ñëåäóåò, â ÷àñòíîñòè, ÷òî P(A ∪ B) = P(A) + P(B), åñëè ñîáûòèÿ A è B íåñîâìåñòíû.Ïîñëåäíåå íàçûâàåòñÿ àääèòèâíîñòüþ âåðîÿòíîñòè.
Ðàçóìååòñÿ, ñ ïîìîùüþ èíäóêöèè ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü ýòî ñâîéñòâî íà ëþáîå êîíå÷íîå ÷èñëî âçàèìíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé.4. P(A) = 1 − P(A), ïîñêîëüêó A ∪ A = Ω, P(A) + P(A) = P(Ω) = 1.5. Åñëè ñîáûòèÿ A1 , A2 , . . . ïîïàðíî íåñîâìåñòíû, ò. å.Ai Aj = ∅ (i 6= j),òîP∞[!Ai=i=1∞XP(Ai ).i=1Äàííîå ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ ñ÷¼òíîé àääèòèâíîñòüþ. Îíî òàêæå ëåãêî ñëåäóåòèç îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè:!∞∞[XXXXPAi =P(ω) =P(ω) +P(ω) + . . .
=P(Ai ).i=1ω∈∞SAiω∈A1ω∈A2i=1i=1Ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè ëåãêî çàïîìíèòü, åñëè ïðîâåñòè àíàëîãèþ ñ ìàññîé òåëà.Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî êàæäûé ýëåìåíòàðíûé èñõîä ω èìååò ìàññó P(ω). Òîãäà ìàññàâñåãî ïðîñòðàíñòâà Ω ðàâíà åäèíèöå, è âåðîÿòíîñòü êàæäîãî ñîáûòèÿ òîæå ìîæåòâîñïðèíèìàòüñÿ êàê åãî ìàññà. Ïåðå÷èñëåííûå ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè âïîëíå ñîîòâåòñòâóþò íàøèì ïðåäñòàâëåíèÿì î ñâîéñòâàõ ìàññû òåëà.Âàæíûé ÷àñòíûé ñëó÷àé: êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòèÑðåäè äèñêðåòíûõ ìîäåëåé ìû áîëåå ïîäðîáíî ðàññìîòðèì òàêèå, ó êîòîðûõ:1) N (Ω) = N < ∞ (çäåñü N (Ω) îáîçíà÷àåò ÷èñëî ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà Ω);2) P(ω1 ) = . . . = P(ωN ) = 1/ N.Âåðîÿòíîñòíûå ïðîñòðàíñòâà, óäîâëåòâîðÿþùèå òàêèì ñâîéñòâàì, èñïîëüçóþòñÿî÷åíü ÷àñòî.
Ïåðâûå äâà ïðèìåðà èç ðàññìîòðåííûõ ïðèâîäÿò èìåííî ê òàêèì ìîäåëÿì. Ïîñìîòðèì, êàê áóäåò âû÷èñëÿòüñÿ â òàêîé ñèòóàöèè âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ.Äëÿ ëþáîãî ñîáûòèÿ AP(A) = 1/ N + . . . + 1/ N.×èñëî ñëàãàåìûõ â ïðàâîé ÷àñòè ðàâíî ÷èñëó ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A, ò. å. N (A),ïîýòîìó ïîëó÷àåìN (A)N (A)=.P(A) =NN (Ω)Ýòî òàê íàçûâàåìîå êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè. Êàê âèäèì, â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì îïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòü ðàâíà îòíîøåíèþ ÷èñëà ¾áëàãîïðèÿòíûõ¿ èñõîäîâ (ò. å. òåõ, êîòîðûå ôîðìèðóþò èíòåðåñóþùåå íàñ ñîáûòèå) ê ÷èñëóâñåõ âîçìîæíûõ èñõîäîâ ýêñïåðèìåíòà. Ôîðìóëà ïðîñòà, íî îíà íå óíèâåðñàëüíà, ååïðèìåíèìîñòü îãðàíè÷èâàåòñÿ ïðèâåäåííûìè âûøå äâóìÿ óñëîâèÿìè.Äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ñ ïîìîùüþ êëàññè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ ÷àñòî òðåáóåòñÿ ïðèìåíÿòü íåêîòîðûå ìåòîäû è ðåçóëüòàòû èç êîìáèíàòîðèêè.
Íàïîìíèìêðàòêî ðåøåíèÿ íåêîòîðûõ êîìáèíàòîðíûõ çàäà÷.81. Ïóñòü èìååòñÿ ñîâîêóïíîñòü èç n ðàçëè÷íûõ îáúåêòîâ a1 , a2 , . . . , an . Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ðàññòàâèòü èõ â ðÿä?Ýòî çàäà÷à î ïåðåñòàíîâêàõ. Íà ïåðâîå ìåñòî â ýòîì ðÿäó ìîæíî ïîñòàâèòü ëþáîéèç n èìåþùèõñÿ îáúåêòîâ, íà âòîðîå ëþáîé èç n − 1 îñòàâøèõñÿ è ò. ä.  èòîãåïîëó÷àåì n(n − 1)(n − 2) · · · 2 · 1 = n! ïåðåñòàíîâîê (êîãäà êàæäûé èç âàðèàíòîâäëÿ îäíîé ïîçèöèè ìîæåò îáúåäèíÿòüñÿ ñ ëþáûì âàðèàíòîì äëÿ äðóãîé ïîçèöèè,òî îáùåå ÷èñëî âàðèàíòîâ ïîëó÷àåòñÿ ïåðåìíîæåíèåì, à íå ñëîæåíèåì, ýòî ëåãêîïðîâåðèòü íà ïðèìåðàõ).2.
Ïóñòü èñõîäíàÿ ñîâîêóïíîñòü a1 , a2 , . . . , an òà æå, ÷òî è â ïðåäûäóùåé çàäà÷å, íî òåïåðü ìû áóäåì âûáèðàòü èç íåå ïîäñîâîêóïíîñòü, ñîñòîÿùóþ èç k îáúåêòîâ (áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ìû äåëàåì âûáîðêó îáúåìà k ), k = 1, 2, . . . , n. Ñêîëüêîðàçëè÷íûõ âûáîðîê ìîæíî ïîëó÷èòü?Åñëè äåéñòâîâàòü, êàê â ïðåäûäóùåì ïóíêòå, ìû ìîæåì âûáðàòü ïåðâûé îáúåêòn ñïîñîáàìè, âòîðîé n−1 ñïîñîáîì, è òàê äî òåõ ïîð, ïîêà íå íàáåðåì k îáúåêòîâ.
Òåìn!.ñàìûì êîëè÷åñòâî âûáîðîê ïîëó÷èòñÿ ðàâíûì n(n−1)(n−2) . . . (n−k +1) =(n − k)!Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ íà ïðèìåðàõ, ÷òî ïîëó÷åííîå íàìè ÷èñëî âûáîðîê îáúåìà kâêëþ÷àåò âûáîðêè, ðàçëè÷àþùèåñÿ è ïî ñîñòàâó ýëåìåíòîâ, è ïî ïîðÿäêó ðàñïîëîæåíèÿ èõ âíóòðè âûáîðêè.Åñëè ìû õîòèì îãðàíè÷èòü ñåáÿ âûáîðêàìè, ðàçëè÷àþùèìèñÿ òîëüêî ñîñòàâîìâõîäÿùèõ â íèõ ýëåìåíòîâ è íå ïðèíèìàòü âî âíèìàíèå ïîðÿäîê ýëåìåíòîâ âíóòðèâûáîðêè, òî ìû äîëæíû ïîëó÷åííîå âûøå ÷èñëî ðàçäåëèòü íà k!, òàê êàê êàæäàÿ âûáîðêà ôèêñèðîâàííîãî ñîñòàâà íàìè ïîñ÷èòàíà òàì k! ðàç ñî âñåìè åå ïåðåñòàíîâêàìèýëåìåíòîâ.n!. Åãî îáû÷íî íàçûâàþò ÷èñëîìÒàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷àåì ÷èñëî Cnk =k!(n − k)!ñî÷åòàíèé èç n ïî k .
×èñëà Cnk , k = 0, 1, . . . , n, òàêæå íàçûâàþò áèíîìèàëüíûìèêîýôôèöèåíòàìè, ïîñêîëüêó îíè ó÷àñòâóþò â ôîðìóëå áèíîìà Íüþòîíà(x + y)n =nXCnk xk y n−kk=0= 1, ýòî óäîáíî). Èç áèíîìà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî(ìûîáîçíà÷åíèåPn èñïîëüçóåìknkn−k.k=0 Cn = 2 . Îòìåòèì òàêæå î÷åâèäíîå ñâîéñòâî Cn = Cn3. Èìååòñÿ n ÿùèêîâ è k ðàçëè÷íûõ øàðîâ. Øàðû ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì ðàçìåùàþòñÿ ïî ÿùèêàì áåç êàêèõ-ëèáî îãðàíè÷åíèé. Ñêîëüêèì ÷èñëîì ñïîñîáîâ ìîæíîýòî ñäåëàòü?Çäåñü ïåðâûé øàð ìîæåò áûòü ïîëîæåí â ëþáîé èç n ÿùèêîâ, íåçàâèñèìî îòýòîãî ó âòîðîãî øàðà òîæå n âàðèàíòîâ è ò. ä.
Ïåðåìíîæàÿ êîëè÷åñòâà âàðèàíòîâ,ïîëó÷àåì nk ðàçëè÷íûõ ñïîñîáîâ ðàçìåùåíèÿ.Ýòà çàäà÷à ìîæåò âñòðåòèòüñÿ â äðóãîé èíòåðïðåòàöèè.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â àëôàâèòå n áóêâ. Ñêîëüêî ñëîâ äëèíû k ìîæíî ñîñòàâèòü?ßñíî, ÷òî â êà÷åñòâå ïåðâîé áóêâû ìîæåò áûòü âçÿòà ëþáàÿ èç n áóêâ àëôàâèòà, âêà÷åñòâå âòîðîé òîæå ëþáàÿ áóêâà àëôàâèòà è ò. ä. Âñåãî ïîëó÷àåì nk ðàçëè÷íûõñëîâ.Ðàçëè÷àþòñÿ âûáîðêè ñ âîçâðàùåíèåì è áåç âîçâðàùåíèÿ. Ïðèìåðîì âûáîðîê ñâîçâðàùåíèåì ÿâëÿþòñÿ ðàçíûå ñëîâà â ïîñëåäíåé çàäà÷å: çäåñü ïîñëå âûáîðà ïåðâîéáóêâû ñëîâà èñõîäíàÿ ñîâîêóïíîñòü (àëôàâèò) íå óìåíüøèëàñü è íà âòîðîì øàãå ìûâíîâü èìååì n âàðèàíòîâ, òàê æå è äëÿ òðåòüåé, ÷åòâåðòîé è äðóãèõ áóêâ ñëîâà.
À âîòïðè ïîëó÷åíèè ÷èñëà Cnk ìû äåëàëè âûáîðêè áåç âîçâðàùåíèÿ, òàê êàê, âûáèðàÿCn09ïîñëåäîâàòåëüíî îäèí îáúåêò çà äðóãèì, ìû óìåíüøàëè èñõîäíóþ ñîâîêóïíîñòü.Çàäà÷è î ðàçìåùåíèè øàðîâ ïî ÿùèêàì øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ â ñòàòèñòè÷åñêîéôèçèêå. Îáû÷íî òàì ãîâîðÿò î ðàçìåùåíèè ÷àñòèö ïî ÿ÷åéêàì. Åñëè k ðàçëè÷íûõ÷àñòèö ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì ðàçìåùàþòñÿ ïî n ÿ÷åéêàì, è âñå nk ïîëó÷åííûõ ðàçìåùåíèé ðàâíîâåðîÿòíû, òî òàêóþ ñõåìó ôèçèêè íàçûâàþò ñòàòèñòèêîé Ìàêñâåëëà Áîëüöìàíà.4. Ïóñòü òåïåðü øàðû íåðàçëè÷èìû, èõ ïî-ïðåæíåìó k øòóê, è îíè áåç êàêèõëèáî îãðàíè÷åíèé ðàñïðåäåëÿþòñÿ ïî n ÿùèêàì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
