1625915144-a0b004e5d7d0e6e9b8f80b0c67f3317f (843874), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Íàïðèìåð, ìîæíî ïîëîæèòü P([a, b)) = F (b) − F (a), ãäå F íåêîòîðàÿíåóáûâàþùàÿ íåïðåðûâíàÿ ñëåâà ôóíêöèÿ, îáëàäàþùàÿ ñâîéñòâàìè lim F (x) = 0,x→−∞lim F (x) = 1. ßñíî, ÷òî K àëãåáðîé íå ÿâëÿåòñÿ. Ðàñøèðèì K, äîáàâèâ â íåãî âñåx→∞âîçìîæíûå îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà ìíîæåñòâ èç K. Ïîëó÷åííàÿòàêèì îáðàçîì ñîâîêóïíîñòü ìíîæåñòâ A áóäåò àëãåáðîé. Âåðîÿòíîñòíóþ ìåðó îáúåäèíåíèÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïðîìåæóòêîâ îïðåäåëèì êàê ñóììó ìåðîòäåëüíûõ ïðîìåæóòêîâ. Ïîëüçóÿñü ñâîéñòâàìè ôóíêöèè F , ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî íàA áóäåò èìåòü ìåñòî è ñâîéñòâî ñ÷åòíîé àääèòèâíîñòè. Òåïåðü ìîæåì ðàññìîòðåòüσ -àëãåáðó σ(A), ïîðîæäåííóþ â êîíå÷íîì èòîãå âñåâîçìîæíûìè ïðîìåæóòêàìè, îíàíàçûâàåòñÿ σ -àëãåáðîé áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ è îáîçíà÷àåòñÿ B(R).
 ñèëó òåîðåìûî ïðîäîëæåíèè ìåðû âåðîÿòíîñòü, çàäàííàÿ ïåðâîíà÷àëüíî íà ïðîìåæóòêàõ, åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðîäîëæàåòñÿ íà ìíîæåñòâî B(R). ñëó÷àå Ω = Rn ìû âíà÷àëå çàäàåì âåðîÿòíîñòü íà âñåâîçìîæíûõ ïðÿìîóãîëüíèêàõ âèäà [a1 , b1 )×. . .×[an , bn ), à çàòåì ïî òîé æå ñõåìå ïðîäîëæàåì åå íà σ -àëãåáðóáîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ B(Rn ).141.3.Êîíòèíóàëüíûå ïðîñòðàíñòâàÊàê íåòðóäíî âèäåòü èç ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà, ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè àíàëîãè÷íûñâîéñòâàì ìàññû òåëà.
Ïðîäîëæàÿ ýòó àíàëîãèþ, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âåðîÿòíîñòüñîáûòèÿ ýòî åãî ìàññà, ïðè ýòîì ìíîæåñòâî Ω áóäåò èìåòü åäèíè÷íóþ ìàññó. Âäèñêðåòíîì ïðîñòðàíñòâå âñÿ ýòà åäèíè÷íàÿ ìàññà ðàçáðîñàíà ïî êîíå÷íîìó èëèñ÷åòíîìó íàáîðó òî÷åê. Òåïåðü ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü äðóãóþ êðàéíîñòü, êîãäàâåðîÿòíîñòü êàê ìàññà ¾ðàçìàçàíà¿ ïî âñåìó ïðîñòðàíñòâó ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ,êîòîðîå, ðàçóìååòñÿ, óæå íå áóäåò äèñêðåòíûì.Ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü çäåñü, ÷òî Ω = Rn , n ≥ 1.  êà÷åñòâå ñîáûòèé áóäåìðàññìàòðèâàòü ìíîæåñòâà èç B(Rn ), à äëÿ çàäàíèÿ âåðîÿòíîñòè äîñòàòî÷íî áóäåòîïðåäåëèòü åå íà âñåâîçìîæíûõ ïðÿìîóãîëüíèêàõ.Äëÿ ëó÷øåãî ïîíèìàíèÿ îñòàíîâèìñÿ ñíà÷àëà áîëåå ïîäðîáíî íà ñëó÷àå Ω = R1 .Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ó íàñ èìååòñÿ íåêîòîðàÿ èíòåãðèðóåìàÿ ôóíêöèÿ π : Ω → Ròàêàÿ, ÷òî:1) π(ω) ≥ 0 äëÿ ëþáîãî ω ∈ Ω;R∞2)π(ω) dω = 1.−∞Ñ ïîìîùüþ ýòîé âñïîìîãàòåëüíîé ôóíêöèè çàäàåòñÿ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ.
Ïîëîæèì, ïî îïðåäåëåíèþ, äëÿ ëþáîãî ïðîìåæóòêà A íà ÷èñëîâîé îñèZP(A) = π(ω) dω.AÝòî îïðåäåëåíèå èìååò ïðîñòîé ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë: âåðîÿòíîñòü òîãî èëè èíîãî ïðîìåæóòêà íà ïðÿìîé âû÷èñëÿåòñÿ êàê ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, èìåþùåé äàííûé ïðîìåæóòîê ñâîèì îñíîâàíèåì è îãðàíè÷åííîé ñâåðõó ãðàôèêîì ôóíêöèè π(ω).π(ω)60App pp-ωÂåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî, â êîòîðîì òàêèì îáðàçîì çàäàþòñÿ âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé, íàçûâàåòñÿ êîíòèíóàëüíûì.ßñíî, ÷òî ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè êàæäûé ýëåìåíòàðíûé èñõîä èìååò íóëåâóþâåðîÿòíîñòü. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî âñå ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè, ïåðå÷èñëåííûå âïðåäûäóùåì ðàçäåëå, îñòàþòñÿ â ñèëå è äëÿ êîíòèíóàëüíûõ ïðîñòðàíñòâ.Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ïðèìåðû ôóíêöèé π .1.
Ïóñòü äëÿ íåêîòîðûõ a < b1, ω ∈ [a, b];b−aπ(ω) =0,èíà÷å.15Ìû âèäèì, ÷òî ïðè òàêîé ôóíêöèè π áóäåò âûïîëíÿòüñÿ P(A) = 0 äëÿ ëþáîãîìíîæåñòâà A, íå èìåþùåãî ïåðåñå÷åíèé ñ [a, b]. Ïîýòîìó ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâî Ω ñóæàåòñÿ äî ðàçìåðîâ îòðåçêà [a, b]. Ïðè ýòîì êàêîå áû ïîäìíîæåñòâîA = [c, d] ⊂ Ω = [a, b] íè âçÿòü, åãî âåðîÿòíîñòü ðàâíàP(A) =λ(A)d−c=,b−aλ(Ω)ãäå λ(A) îáîçíà÷àåò äëèíó ìíîæåñòâà A.Âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé, âû÷èñëÿåìûå ïî ýòîìó ïðîñòîìó ïðàâèëó êàê îòíîøåíèåäëèí ìíîæåñòâ, íàçûâàþòñÿ ãåîìåòðè÷åñêèìè.
Ýòî åñòü íåïðåðûâíûé àíàëîã êëàññè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé, ðàññìîòðåííîãî ðàíåå äëÿ äèñêðåòíûõ ñõåì.Ãåîìåòðè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü íå çàâèñèò îò ñäâèãîâ ìíîæåñòâà A âíóòðè Ω. Ìîæíîîáðàçíî ñêàçàòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå âåðîÿòíîñòíàÿ ìàññà ðàâíîìåðíî ¾ðàçìàçàíà¿ ïîîòðåçêó [a, b].2. Ïóñòü12π(ω) = √ e−ω /2 .2π ýòîì ñëó÷àå ìû óæå íå ìîæåì ãîâîðèòü î ðàâíîìåðíîñòè ¾ðàçìàçûâàíèÿ¿ âåðîÿòíîñòíîé ìàññû íà ïðÿìîé. Âåðîÿòíîñòü ëþáîãî èíòåðâàëà áóäåò ìàêñèìàëüíîé, åñëèåãî öåíòð íàõîäèòñÿ â íóëå, è áóäåò óáûâàòü î÷åíü áûñòðî ïî ìåðå óäàëåíèÿ ýòîãîèíòåðâàëà îò íà÷àëà êîîðäèíàò.3.
Åùå îäèí ïðèìåð: −ωe , ω > 0;π(ω) =0,èíà÷å. ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî Ω = [0, ∞).Åñëè Ω = Rn è ÷èñëî n ≥ 1 ïðîèçâîëüíî, òî âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ îïðåäåëÿåòñÿòàêæå ñ ïîìîùüþ âñïîìîãàòåëüíîé ôóíêöèè π(ω), òîëüêî òåïåðü ω = (ω1 , ω2 , . . . , ωn ),è ïî-ïðåæíåìó âûïîëíåíû òàêèå òðåáîâàíèÿ:1) π(ω) ≥ 0 äëÿ ëþáîãî ω ∈ Ω;R∞R∞2)...π(ω) dω1 . . . dωn = 1.−∞−∞Ïîëàãàåì, ïî îïðåäåëåíèþ, äëÿ A ⊂ ΩZ ZZP(A) =. .
. π(ω) dω1 . . . dωn .AÅñëè ôóíêöèÿ π ïðèíèìàåò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå íà íåêîòîðîì îãðàíè÷åííîì ìíîæåñòâå D ⊂ Rn è ðàâíà íóëþ âíå íåãî, òî, êàê è ðàíüøå, âû÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòèñîáûòèÿ A ⊂ D ïðîèçâîäèòñÿ ýëåìåíòàðíûì ãåîìåòðè÷åñêèì ñïîñîáîì:P(A) =λ(A),λ(D)ãäå λ(A) çäåñü óæå îáîçíà÷àåò n ìåðíûé îáúåì ìíîæåñòâà A. Çäåñü, êîíå÷íî, îáÿçàòåëüíî äîëæíî áûòü λ(D) > 0.Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà çàäà÷ó î âñòðå÷å.Äâà ÷åëîâåêà, A è B , äîãîâîðèëèñü âñòðåòèòüñÿ â îïðåäåëåííîì ìåñòå ìåæäó18 è 19 ÷àñàìè âå÷åðà. Îäíàêî ìîìåíò âñòðå÷è îíè íèêàê íå îáîçíà÷èëè, à äîãîâîðèëèñü î ñëåäóþùåì. Òîò, êòî ïðèõîäèò ïåðâûì, æäåò â òå÷åíèå 15 ìèíóò.
Åñëèâòîðîé çà ýòî âðåìÿ íå ïðèõîäèò, òî ïåðâûé óõîäèò è âñòðå÷à â ýòîì ñëó÷àå íå16ñîñòîèòñÿ. Ðàçóìååòñÿ, åñëè ïåðâûé ïðèäåò, ñêàæåì, çà 5 ìèíóò äî 19 ÷àñîâ, òîæäàòü âñå 15 ìèíóò íåò íèêàêîãî ñìûñëà, òàê êàê ïîñëå 19 ÷àñîâ íèêòî áîëüøåïðèéòè íå ìîæåò.Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âñòðå÷à ñîñòîèòñÿ?Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ïðåæäå âñåãî íóæíî ïîíÿòü, êàê óñòðîåíî ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç X ìîìåíò ïðèõîäà A è ÷åðåç Y ìîìåíò ïðèõîäàB .
ßñíî, ÷òî ñîâîêóïíîñòü âñåâîçìîæíûõ ïàð (X, Y ), ãäå 18 ≤ X ≤ 19, 18 ≤ Y ≤ 19èñ÷åðïûâàåò âñå èñõîäû ýêñïåðèìåíòà, ò. å. Ω ýòî êâàäðàò íà ïëîñêîñòè ïåðåìåííûõX, Y . Ïîñêîëüêó ìîë÷àëèâî ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äëÿ ìîìåíòîâ ïðèõîäà êàæäîãî èçíèõ íåò íèêàêèõ ïðåäïî÷òåíèé âíóòðè ïðîìåæóòêà [18, 19], òî ìû âûáèðàåì ìîäåëü ñôóíêöèåé π , ðàâíîé åäèíèöå â óêàçàííîì êâàäðàòå. Èíà÷å ãîâîðÿ, âû÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ áóäåò ïðîèçâîäèòüñÿ ãåîìåòðè÷åñêèì ñïîñîáîì, â äàííîì ñëó÷àå êàêîòíîøåíèå ïëîùàäåé. Ïëîùàäü âñåãî Ω ðàâíà 1, íàì îñòàåòñÿ âûäåëèòü èç êâàäðàòàïîäìíîæåñòâî òî÷åê (X, Y ), äëÿ êîòîðûõ âñòðå÷à ñîñòîèòñÿ.
Ýòî ìíîæåñòâî õàðàêòåðèçóåòñÿ íåðàâåíñòâîì |Y − X| ≤ 1/4 èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, X − 1/4 ≤ Y ≤ X + 1/4.191819Êàê íåòðóäíî âèäåòü, ïëîùàäü ýòîãî ìíîæåñòâà ðàâíà 1 − (3/4)2 = 7/16. Ýòî èåñòü èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü.Äàëüíåéøåå èçëîæåíèå ìàòåðèàëà áóäåò îòíîñèòüñÿ ê âåðîÿòíîñòíûì ïðîñòðàíñòâàì îáùåãî âèäà.1.4.Ôîðìóëà äëÿ âåðîÿòíîñòè îáúåäèíåíèÿ ñîáûòèéÌû âèäåëè, ÷òî äëÿ ëþáûõ ñîáûòèé A1 è A2 èìååò ìåñòîP(A1 ∪ A2 ) = P(A1 ) + P(A2 ) − P(A1 A2 ).Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà äàåò îáîáùåíèå ýòîé ôîðìóëû äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ñîáûòèé.Äëÿ ëþáûõ ñîáûòèé A1 , . .
. , An[nnXXXPAi =P(Ai ) −P(Ai Aj ) +P(Ai Aj Ak ) − . . . + (−1)n−1 P(A1 . . . An ).Òåîðåìà.i=1i=1i<ji<j<kÄîêàçàòåëüñòâî. Âîñïîëüçóåìñÿ èíäóêöèåé. Ïðè n = 2 óòâåðæäåíèå âåðíî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îíî âåðíî äëÿ âåðîÿòíîñòè îáúåäèíåíèÿ ïðîèçâîëüíûõ n − 1 ñîáûòèé.n−1SÎáîçíà÷èì B =Ai , òîãäài=1[nPAi = P(B ∪ An ) = P(B) + P(An ) − P(BAn ) =i=1=n−1Xi=1P(Ai ) + P(An ) −Xn−2P(Ai Aj ) + . .
. + (−1)P(A1 . . . An−1 ) − P n−1[i=1i<j≤n−117Ai An==nXXP(Ai ) −i=1P(Ai Aj ) −nXP(Ai An ) + . . . + (−1)n−1 P(A1 . . . An ).i=1i<j≤n−1Òåîðåìà äîêàçàíà.Ïðèìåð. Íåêòî íàïèñàë n ïèñåì è ïîäãîòîâèë äëÿ íèõ n êîíâåðòîâ ñ àäðåñàìè.Îäíàêî ñåêðåòàðü ýòîãî ÷åëîâåêà ðåøèë ïîäøóòèòü, ðàçëîæèâ ïèñüìà ïî êîíâåðòàìñëó÷àéíûì îáðàçîì. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ïðè ýòîì õîòÿ áû îäíî ïèñüìî äîéäåòïî íàçíà÷åíèþ?Çäåñü ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ñîñòîèò èç n! ïåðåñòàíîâîê, âåðîÿòíîñòü êàæäîãî ýëåìåíòàðíîãî èñõîäà ðàâíà 1/n!.
Ïóñòü ñîáûòèåA i îçíà÷àåò, ÷òî i-åSnïèñüìî äîéäåò ïî ñâîåìó íàçíà÷åíèþ, íàñ èíòåðåñóåò P i=1 Ai . Êàæäîå ñîáûòèåAi ñîñòîèò èç (n − 1)! ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ,P(Ai ) =P[nAii=1=n1(n − 1)!= ,n!nP(Ai Aj ) =(n − 2)!, ...,n!1(n − 2)!(n − 3)!1− Cn2+ Cn3− . . . + (−1)n−1 =nn!n!n!111+ − . . . + (−1)n−1 .2! 3!n!−1Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ñòðåìèòñÿ ê 1 − e = 0.632 . . . ïðè n → ∞.=1−1.5.Íåçàâèñèìûå ñîáûòèÿ×òî òàêîå íåçàâèñèìûå ñîáûòèÿ â æèçíè ïîíÿòíî êàæäîìó. Ýòî çíà÷èò, ÷òîìåæäó ñîáûòèÿìè îòñóòñòâóåò ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííàÿ ñâÿçü, îñóùåñòâëåíèå îäíîãîíèêàê íå âëèÿåò íà äðóãîå.
Íàøà áëèæàéøàÿ öåëü ââåñòè äëÿ ñîáûòèé â íàøåéìîäåëè (ò. å. äëÿ ïîäìíîæåñòâ ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ) íåêîòîðîå ñâîéñòâî, êîòîðîå áûëî áû îòðàæåíèåì îáèõîäíîãî ïîíèìàíèÿ íåçàâèñèìîñòè.. Ñîáûòèÿ A è B íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëèÎïðåäåëåíèåP(AB) = P(A) P(B).Ïîïðîáóåì óáåäèòüñÿ íà ïðèìåðå, ÷òî ïðèâåäåííîå â ýòîì îïðåäåëåíèè ñâîéñòâîäåéñòâèòåëüíî èìååò ìåñòî äëÿ òåõ ñîáûòèé â íàøåé ìîäåëè, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ îòðàæåíèåì íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé â æèçíè.Ïðèìåð.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
