1625915144-a0b004e5d7d0e6e9b8f80b0c67f3317f (843874), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ðàçëè÷íûõðàçìåùåíèé â ýòîé ñõåìå?Ýòà çàäà÷à ñëîæíà. Ïðåäâàðèòåëüíî çàäàäèìñÿ âîïðîñîì: ñêîëüêî ìîæíî ïîñòðîèòü äâîè÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, åñëè â íàøåì ðàñïîðÿæåíèè èìååòñÿ m åäèíèöè r íóëåé? Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò äëèíó m + r, è èç m + r ìåñò â íåé ëþáûå mìîãóò áûòü çàíÿòû åäèíèöàìè. Ñëåäîâàòåëüíî, ìû âûáèðàåì ëþáûå m ìåñò èç m + rmñïîñîáàìè.èìåþùèõñÿ à ýòî ìîæíî ñäåëàòü Cm+rÂåðíåìñÿ òåïåðü ê èñõîäíîé çàäà÷å. Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî ó íàñ åñòü óçêîå äëèííîå êîðûòî, íà äíå êîòîðîãî â îäèí ðÿä ðàçëîæåíû øàðû, è èìåþòñÿ ïåðåãîðîäêè,âñòàâëÿÿ êîòîðûå ïîïåðåê êîðûòà, ìû ïîëó÷èì n ÿùèêîâ. ßñíî, ÷òî ïåðåãîðîäîêïîòðåáóåòñÿ n − 1.nn nn nn n n n nnÑòàíîâèòñÿ î÷åâèäíîé àíàëîãèÿ ñ ïðåäûäóùåé çàäà÷åé: ïåðåãîðîäêè ìîæíî ñ÷èòàòüåäèíèöàìè, à øàðû íóëÿìè. ×èñëî ðàçìåùåíèé øàðîâ ïî ÿùèêàì áóäåò ñîâïàäàòün−1ñ ÷èñëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé èç n − 1 åäèíèö è k íóëåé.
 èòîãå ïîëó÷àåì Cn−1+k=kCn−1+k ðàçìåùåíèé. ñâÿçè ñ òåì, ÷òî ìíîãèå çàäà÷è íà ïîäñ÷åò âåðîÿòíîñòåé ñ ïîìîùüþ êëàññè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ ìîãóò áûòü ñâåäåíû ê ðàçìåùåíèÿì øàðîâ ïî ÿùèêàì, âîçíèêàåòâîïðîñ: êàêîé ñõåìîé ïîëüçîâàòüñÿ. Åñëè ñ÷èòàòü øàðû ðàçëè÷íûìè, òî ïîëó÷àåòñÿîäèí ðåçóëüòàò, íåðàçëè÷èìûìè äðóãîé.Íàøà ðåêîìåíäàöèÿ ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Íóæíî âñåãäà ñ÷èòàòü øàðû ðàçëè÷íûìè. Êàê ïðàâèëî, ðàçíûå ðàçìåùåíèÿ â ýòîé ñõåìå èìåþò îäèíàêîâóþ âåðîÿòíîñòü(åñëè òîëüêî çàäà÷à íå ñâÿçàíà ñ ÷àñòèöàìè èç ìèêðîìèðà). Åñëè æå øàðû îáúÿâèòüíåðàçëè÷èìûìè, òî òîãäà íåêîòîðûå ðàçìåùåíèÿ ïåðåñòàíóò ðàçëè÷àòüñÿ, òî åñòüïðîèçîéäåò "óêðóïíåíèå" ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ. Íàïðèìåð, åñëè â ñõåìå ñ ðàçëè÷íûìè øàðàìè k øàðîâ ðàçìåùàþòñÿ ïî îäíîìó â ðàçíûõ ÿùèêàõ, òî âñå k ! ïåðåñòàíîâîê ýòèõ øàðîâ ïðèâåäóò ê ðàçíûì ýëåìåíòàðíûì èñõîäàì.
Åñëè æå ýòè øàðûñ÷èòàòü íåðàçëè÷èìûìè, òî k ! ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ñîëüþòñÿ â îäèí èñõîä. Îäíàêî, åñëè èçíà÷àëüíî k øàðîâ íàõîäèëèñü â îäíîì ÿùèêå, òî èõ ïåðåñòàíîâêè íè÷åãîíå äàäóò íè â òîé, íè â äðóãîé ñõåìå. Ýòî çíà÷èò, ÷òî óêðóïíåíèå ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ïðîèñõîäèò íåðàâíîìåðíî, è ïîëó÷åííûå òàêèì îáðàçîì íîâûå ýëåìåíòàðíûåèñõîäû óæå íå áóäóò èìåòü îäèíàêîâûå âåðîÿòíîñòè, ÷òî èñêëþ÷àåò âîçìîæíîñòüïîëüçîâàíèÿ êëàññè÷åñêèì îïðåäåëåíèåì. êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèìåíåíèÿ êëàññè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ðàññìîòðèì îäíó ÷àñòî âñòðå÷àþùóþñÿ çàäà÷ó. ÿùèêå íàõîäèòñÿ n ðàçëè÷íûõ øàðîâ (ñêàæåì, øàðû ïðîíóìåðîâàíû), èç íèõn1 áåëûõ øàðîâ è n − n1 ÷¼ðíûõ. Íàóãàä âûáèðàåì k øàðîâ.
Êàêîâà âåðîÿòíîñòüòîãî, ÷òî ñðåäè âûáðàííûõ øàðîâ îêàæåòñÿ ðîâíî k1 áåëûõ?Ýòà çàäà÷à ìîæåò âñòðåòèòüñÿ â äðóãèõ òåðìèíàõ. Íàïðèìåð:1. Ñðåäè n ëîòåðåéíûõ áèëåòîâ åñòü âûèãðûøíûå (èõ n1 ) è ïðîèãðûøíûå (n−n1 ).Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäè k ïðèîáðåòåííûõ áèëåòîâ ðîâíî k1 âûèãðûøíûõ?102. Ñðåäè n èçäåëèé n1 áðàêîâàííûõ, îñòàëüíûå ãîäíûå. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî,÷òî ñðåäè k âûáðàííûõ íàóãàä èçäåëèé îáíàðóæèòñÿ ðîâíî k1 áðàêîâàííûõ?Ïðèìåðîâ òàêèõ ñèòóàöèé ìíîãî.Äëÿ ðåøåíèÿ áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ êëàññè÷åñêîé ìîäåëüþ. Ìû äåëàåì âûáîðêèîáú¼ìà k , èõ âñåãî Cnk , è âñå îíè ðàâíîâîçìîæíû.
Êîëè÷åñòâî áëàãîïðèÿòíûõ èñõîäîâïîëó÷àåòñÿ òàê: ñíà÷àëà âûáèðàåì ëþáûå k1 áåëûõ øàðîâ èç îáùåãî êîëè÷åñòâà n1áåëûõ øàðîâ, ýòî ìîæíî ñäåëàòü Cnk11 ñïîñîáàìè. Çàòåì íàáèðàåì k−k1 ÷åðíûõ øàðîâk−k1âàðèàíòîâ. Ïîñëå ÷åãî ïåðåìíîæàåì ýòè äâàèç n − n1 èìåþùèõñÿ, ïîëó÷àåì Cn−n1êîëè÷åñòâà, ïîñêîëüêó êàæäûé èç íàáîðîâ áåëûõ øàðîâ ìîæåò áûòü îáúåäèíåí ââûáîðêó ñ êàæäûì èç íàáîðîâ ÷åðíûõ øàðîâ, â îòâåòå ïîëó÷àåìk−k1/Cnk .Cnk11 Cn−n1Ìû ìîë÷àëèâî ïðåäïîëàãàåì, ÷òî âåðõíèå èíäåêñû íå ïðåâîñõîäÿò íèæíèõ â çàïèñè ó÷àñòâóþùèõ çäåñü áèíîìèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå îòâåò âçàäà÷å òðèâèàëåí.Ñîâîêóïíîñòü ïîëó÷åííûõ âåðîÿòíîñòåé ïðè ðàçëè÷íûõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõïåðåìåííîé k1 íàçûâàåòñÿ ãèïåðãåîìåòðè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì.1.2.Âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî îáùåãî âèäàÌû ïîäðîáíî èçó÷èëè äèñêðåòíóþ âåðîÿòíîñòíóþ ìîäåëü.
 íåé âåðîÿòíîñòíàÿìàññà ðàñïðåäåëÿëàñü ïî äèñêðåòíîìó íàáîðó ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ. Îäíàêî, êàêìû âèäåëè, òàêàÿ ìîäåëü ãîäèòñÿ íå äëÿ âñåõ ñëó÷àéíûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ìîæåò áûòü áîëåå áîãàòûì è âåðîÿòíîñòíàÿ ìàññà ìîæåòíåïðåðûâíûì îáðàçîì ¾ðàçìàçûâàòüñÿ¿ ïî ïðîñòðàíñòâó èëè ïî åãî ÷àñòè.
Ïîýòîìóìû ïðèõîäèì ê íåîáõîäèìîñòè ïîñòðîèòü áîëåå îáùóþ êîíñòðóêöèþ âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà. Îíà çàäàåòñÿ ñèñòåìîé àêñèîì, êîòîðûå áûëè ïðåäëîæåíû â 30-õãîäàõ ïðîøëîãî ñòîëåòèÿ À. Í. Êîëìîãîðîâûì.Èòàê, ìû ïî-ïðåæíåìó íàçûâàåì âåðîÿòíîñòíûì ïðîñòðàíñòâîì òðîéêó hΩ, S, Pi,ãäå ïðî Ω óæå âñå ñêàçàíî ýòî ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ èñõîäîâ ýêñïåðèìåíòà, S ñîâîêóïíîñòü ïîäìíîæåñòâ Ω, íàçûâàåìûõ ñîáûòèÿìè.  îòëè÷èå îò äèñêðåòíîé ìîäåëè, â îáùåì ñëó÷àå S ìîæåò âêëþ÷àòü â ñåáÿ íå âñå ïîäìíîæåñòâà Ω. Îäíàêî äëÿS âñåãäà äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ ñëåäóþùèå òðåáîâàíèÿ.S1. Ω ∈ S .∞SS2.
Åñëè {Ai } ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîæåñòâ èç S , òî èAi ∈ S .i=1S3. Åñëè A ∈ S , òî è Ā ∈ S .TS∞Èç ñîîòíîøåíèÿ ∞=ii=1 Ai=1 Ai ñëåäóåò, ÷òî åñëè {Ai } ïîñëåäîâàòåëüíîñòüT∞ìíîæåñòâ èç S , òî òàêæå i=1 Ai ∈ S .Ñîâîêóïíîñòü ïîäìíîæåñòâ S , óäîâëåòâîðÿþùàÿ òðåáîâàíèÿì S1 S3, íàçûâàåòñÿ σ -àëãåáðîé. Ðàçóìååòñÿ, ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ Ω ÿâëÿåòñÿ σ -àëãåáðîé.Ýòî ñàìàÿ áîãàòàÿ σ -àëãåáðà. Äëÿ êîíòðàñòà ìîæíî ïðèâåñòè ïðèìåð ñàìîé áåäíîéσ -àëãåáðû, ñîñòîÿùåé âñåãî èç äâóõ ìíîæåñòâ {∅, Ω}, èëè, ê ïðèìåðó, {∅, A, Ā, Ω},ãäå A ïðîèçâîëüíîå ïîäìíîæåñòâî Ω.Ïî-ïðåæíåìó, âåðîÿòíîñòü ýòî ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ P, îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿêîòîðîé ÿâëÿåòñÿ S . Êàêèì áû ñïîñîáîì íè çàäàâàëàñü ýòà ôóíêöèÿ, îíà äîëæíàóäîâëåòâîðÿòü ñëåäóþùèì òðåì àêñèîìàì:P1.
P(Ω) = 1.P2. P(A) ≥ 0 äëÿ ëþáîãî A ∈ S .11P3. Ñ÷¼òíàÿ àääèòèâíîñòü: åñëè ñîáûòèÿ A1 , A2 , . . . òàêîâû, ÷òî Ai Aj = ∅ (i 6= j)(ò. å. ïîïàðíî íåñîâìåñòíû), òî!∞∞[XPAi =P(Ai ).i=1i=1Àêñèîìû P2 P3 çàäàþò ìåðó, îïðåäåëåííóþ íà S . Ìåðà, äëÿ êîòîðîé âûïîëíÿåòñÿ åùå è ñâîéñòâî P1, íàçûâàåòñÿ íîðìèðîâàííîé èëè âåðîÿòíîñòíîé. Èç ïðèâåäåííûõ àêñèîì âûòåêàåò ðÿä ïîëåçíûõ ñâîéñòâ âåðîÿòíîñòè. Íåêîòîðûå èç íèõ ìûèìåëè âîçìîæíîñòü íàáëþäàòü â äèñêðåòíûõ ïðîñòðàíñòâàõ. Òåïåðü óñòàíîâèì ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè äëÿ ïðîèçâîëüíûõ âåðîÿòíîñòíûõ ïðîñòðàíñòâ.
Âñå îíè ÿâëÿþòñÿñëåäñòâèÿìè ââåäåííûõ òðåõ àêñèîì.Ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè1. P(∅) = 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäñòàâèì ïðîèçâîëüíîå ñîáûòèå A â âèäåA = A ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ ...,òîãäà ïî àêñèîìå P3P(A) = P(A) + P(∅) + P(∅) + . . . ,÷òî èìååò ìåñòî òîëüêî ïðè P(∅) = 0.2. Àääèòèâíîñòü âåðîÿòíîñòè: äëÿ âñÿêîãî êîíå÷íîãî íàáîðà ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé A1 , A2 , . . .
, An!nn[XPAi =P(Ai ).i=1Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäñòàâëÿåìi=1nSAi â âèäå A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An ∪ ∅ ∪ ∅ . . . èi=1ïîëüçóåìñÿ ñ÷åòíîé àääèòèâíîñòüþ.3. Äëÿ ëþáîãî ñîáûòèÿ A èìååò ìåñòî P(A) + P(Ā) = 1 ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àéïðåäûäóùåãî óòâåðæäåíèÿ. Âûäåëÿåòñÿ â âèäå îòäåëüíîãî ñâîéñòâà ââèäó ÷àñòîãîèñïîëüçîâàíèÿ ïðè ðåøåíèè çàäà÷.4. Äëÿ ëþáûõ ñîáûòèé A è BP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäñòàâèì ñîáûòèå A ∪ B â âèäå B ∪ (A \ B), òîãäà â ñèëóàääèòèâíîñòè P(A ∪ B) = P(B) + P(A \ B).
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîñëåäíåãî ñëàãàåìîãîâîñïîëüçóåìñÿ ïðåäñòàâëåíèåì A = AB ∪ (A \ B), îòêóäà îïÿòü ïî àääèòèâíîñòèP(A) = P(AB) + P(A \ B).5. Åñëè A ⊂ B , òî P(A) ≤ P(B).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó B = A ∪ (B \ A), òî èç àääèòèâíîñòè è àêñèîìû P2ïîëó÷àåì P(B) = P(A) + P(B \ A) ≥ P(A).6. Äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñîáûòèé {Ai } èìååò ìåñòî!∞∞[XPAi ≤P(Ai ).i=1i=1Äîêàçàòåëüñòâî.!∞∞[XPAi = P(A1 ) + P(A2 \ A1 ) + P(A3 \ (A1 ∪ A2 )) + . . . ≤P(Ai ).i=1i=1127. Ñâîéñòâî íåïðåðûâíîñòè âåðîÿòíîñòè.
Îíî ñîñòîèò èç äâóõ ïóíêòîâ:(à) åñëè ñîáûòèÿ A1 , A2 , . . . òàêîâû, ÷òîA1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ . . . ,òî ñóùåñòâóåò∞[lim P(An ) = Pn→∞!Ai;i=1(á) åñëè A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ . . ., òî ñóùåñòâóåò∞\lim P(An ) = Pn→∞Äîêàçàòåëüñòâî. (à) Ñîáûòèå!Ai.i=1∞SAi ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåi=1∞[Ai = A1 ∪ (A2 \ A1 ) ∪ (A3 \ A2 ) ∪ . . . ,i=1òîãäà ó÷àñòâóþùèå çäåñü ìíîæåñòâà ïîïàðíî íåñîâìåñòíû è ìû ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ñâîéñòâîì ñ÷åòíîé àääèòèâíîñòè:!∞[PAi = P(A1 ) + P(A2 \ A1 ) + P(A3 \ A2 ) + .
. . .i=1Ïîñêîëüêó ñóììà ðÿäà åñòü ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòíûõ ñóìì, òî ýòî âûðàæåíèå ðàâíîlim [P(A1 ) + P(A2 \ A1 ) + . . . + P(An \ An−1 )] =n→∞= lim P(A1 ∪ (A2 \ A1 ) ∪ . . . ∪ (An \ An−1 )) = lim P(An ).n→∞n→∞Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïóíêòà (á) ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ äîïîëíèòåëüíûõ ñîáûòèéè âîñïîëüçóåìñÿ óæå äîêàçàííûì ñâîéñòâîì (à). Î÷åâèäíî,Ā1 ⊂ Ā2 ⊂ Ā3 ⊂ .
. . ,ïîýòîìólim P(An ) = 1 − lim P(Ān ) = 1 − Pn→∞n→∞∞[i=1!Āi=1−P∞\i=1!Ai=P∞\!Ai.i=1Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü äîêàçàííîé ðàíåå ôîðìóëîé äâîéñòâåííîñòè.Ïðè ïîñòðîåíèè âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà ìîãóò âîçíèêíóòü òðóäíîñòè, ñâÿçàííûå ñî ñïîñîáîì çàäàíèÿ âåðîÿòíîñòè òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü òðåáîâàíèÿ P1 P3. Ìû âèäåëè, ÷òî â äèñêðåòíîé ìîäåëè âåðîÿòíîñòü ëþáîãî ïîäìíîæåñòâà Ω áåçòðóäà ìîãëà áûòü îïðåäåëåíà ÷åðåç âåðîÿòíîñòè îòäåëüíûõ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ.Ýòà êîíñòðóêöèÿ íå ãîäèòñÿ, åñëè ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ íåñ÷åòíî.
Âûÿñíÿåòñÿ, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ìû íå ìîæåì çàäàòü óäîâëåòâîðèòåëüíûì ñïîñîáîì âåðîÿòíîñòü íà âñåõ áåç èñêëþ÷åíèÿ ïîäìíîæåñòâàõ Ω. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, õîòåëîñü áû,13÷òîáû êëàññ ñîáûòèé áûë êàê ìîæíî áîëåå øèðîêèì, ýòî äèêòóåòñÿ ìíîãî÷èñëåííûìè ïðèëîæåíèÿìè ìîäåëè. Íî ÷åì øèðå êëàññ ìíîæåñòâ, òåì òðóäíåå îïðåäåëèòü íàíåì âåðîÿòíîñòü ñ ñîáëþäåíèåì íåîáõîäèìûõ ïðàâèë P1 P3. Ãîðàçäî ïðîùå çàäàòüâåðîÿòíîñòü íà ñîâîêóïíîñòè ïîäìíîæåñòâ Ω, îáðàçóþùèõ àëãåáðó. Ïî îïðåäåëåíèþ,àëãåáðîé A íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü ïîäìíîæåñòâ Ω, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñëåäóþùèìóñëîâèÿì.A1.
Ω ∈ A.nSA2. Åñëè A1 , A2 , . . . , An ìíîæåñòâà èç A, òî èAi ∈ A.i=1A3. Åñëè A ∈ A, òî è Ā ∈ A.Òàêèì îáðàçîì, â îòëè÷èå îò σ -àëãåáðû àëãåáðà çàìêíóòà îòíîñèòåëüíî îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ òîëüêî ëèøü êîíå÷íîãî ÷èñëà ñâîèõ ýëåìåíòîâ.Äëÿ êàæäîé àëãåáðû íàéäåòñÿ σ -àëãåáðà, êîòîðàÿ åå ñîäåðæèò. Äëÿ ýòèõ öåëåéìîæíî âçÿòü, ê ïðèìåðó, σ -àëãåáðó âñåõ ïîäìíîæåñòâ. Ðàññìîòðèì âñå σ -àëãåáðû,ñîäåðæàùèå àëãåáðó A.
Èõ ïåðåñå÷åíèå òîæå áóäåò ÿâëÿòüñÿ σ -àëãåáðîé, ýòî ëåãêîïðîâåðèòü, ïðè÷åì îíî òàêæå áóäåò ñîäåðæàòü A. Îáîçíà÷èì ýòî ïåðåñå÷åíèå σ(A)è íàçîâåì åãî σ -àëãåáðîé, ïîðîæäåííîé A. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè ñíà÷àëà çàäàòüâåðîÿòíîñòü íà àëãåáðå A (÷òî íå òàê òðóäíî), òî ïîòîì åå ìîæíî åäèíñòâåííûìîáðàçîì ïðîäîëæèòü íà σ -àëãåáðó σ(A). Îá ýòîì ñëåäóþùàÿ òåîðåìà Êàðàòåîäîðèî ïðîäîëæåíèè ìåðû (ïðèâîäèòñÿ áåç äîêàçàòåëüñòâà).Ïóñòü âåðîÿòíîñòü P çàäàíà íà àëãåáðå A ïîäìíîæåñòâ ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω, òî åñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ1. P(Ω) = 1.2. P(A) ≥ 0 äëÿ ëþáîãî A ∈ A.∞S3.
Åñëè ìíîæåñòâà A1 , A2 , . . . èç A òàêîâû, ÷òî Ai Aj = ∅ (i 6= j) èAi ∈ A,Òåîðåìà.i=1òîP∞[!Ai=i=1∞XP(Ai ).i=1Òîãäà ñóùåñòâóåò è ïðèòîì åäèíñòâåííàÿ âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà P, îïðåäåëåííàÿíà σ(A) òàêàÿ, ÷òî P(A) = P(A) äëÿ âñåõ A ∈ A.Ïóñòü, äëÿ ïðèìåðà, Ω = R. Ðàçóìååòñÿ, ïðîùå âñåãî îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü ñ ñîáëþäåíèåì àääèòèâíîñòè ñíà÷àëà íà ìíîæåñòâå K âñåâîçìîæíûõ ïðîìåæóòêîâ âèäà[a, b), a < b.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
