1625915144-a0b004e5d7d0e6e9b8f80b0c67f3317f (843874), страница 8
Текст из файла (страница 8)
,òîãäà ïðèâåäåííàÿ íèæå òàáëèöà ïîëíîñòüþ õàðàêòåðèçóåò ðàñïðåäåëåíèå.Çíà÷åíèÿÂåðîÿòíîñòèy1p1y2p2y3p3......Íàïðèìåð, âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â èíòåðâàë ëåãêîíàõîäÿòñÿ ñóììèðîâàíèåì ýëåìåíòîâ òàáëèöû:XP(a < X < b) =pk .k: a<yk <bÏóñòü çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû y1 , y2 , y3 , .
. . ïðîíóìåðîâàíû â ïîðÿäêå èõâîçðàñòàíèÿ. Òîãäà ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ áóäåò âûãëÿäåòü ïðèìåðíî òàê:F (y)16Xp 1 + p2p1y1y2y3 . . .031-yÄåéñòâèòåëüíî, åñëè y < y1 , òî FX (y) = P(X < y) = 0; åñëè y1 < y < y2 , òîFX (y) = P(X < y) = P(X = y1 ) = p1 , è ò. ä. äàëüíåéøåì ìû áóäåì ïèñàòü X ⊂= F , åñëè X èìååò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F.Ïðèìåðû äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé1. Âûðîæäåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ia : X ⊂= Ia , åñëè P(X = a) = 1.F (y)16X0y-a2. Ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè Bp : X ⊂= Bp , åñëè P(X = 1) = p, P(X = 0) =1 − p, 0 < p < 1.FX (y)611−p0y-13. Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Bn,p : X ⊂= Bn,p , åñëè P(X = k) = Cnk pk (1 − p)n−k ,k = 0, 1, .
. . , n (â ÷àñòíîñòè, B1,p = Bp ).F (y)106X1 2...ny-Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, êàê ìû óæå âèäåëè, âîçíèêàåò ïðè ðàññìîòðåíèèñõåìû Áåðíóëëè ýòî ðàñïðåäåëåíèå ÷èñëà óñïåõîâ â n èñïûòàíèÿõ.λk −λ4. Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà Πλ : X ⊂= Πλ , åñëè P(X = k) =e , k = 0, 1, 2, . . . ;k!λ > 0.F (y)16X012...32y-Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ ïðè îïèñàíèè ÷èñëà êëèåíòîâ, ïîñòóïèâøèõ â òå÷åíèå îïðåäåëåííîãî âðåìåíè â ñèñòåìó îáñëóæèâàíèÿ, ÷èñëà ÷àñòèö,çàðåãèñòðèðîâàííûõ ïðèáîðîì, ÷èñëà îñîáåé áèîëîãè÷åñêîé ïîïóëÿöèè è ò. ä.5. Ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå Gp : X ⊂= Gp , åñëè P(X = k) = (1 − p) pk−1 ,k = 1, 2, 3, . . ., 0 < p < 1.10F (y)6X12y-...Åñëè â ñõåìå Áåðíóëëè ïðîèçâîäèòü èñïûòàíèÿ äî ïåðâîãî ïîëó÷åíèÿ íåóñïåõàâêëþ÷èòåëüíî, òî êîëè÷åñòâî òðåáóåìûõ äëÿ ýòîãî èñïûòàíèé áóäåò ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, èìåþùåé ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå.Äàííîå ðàñïðåäåëåíèå ìîæåò âñòðåòèòüñÿ è â äðóãîì âàðèàíòå:P(X = k) = (1 − p) pk , k = 0, 1, 2, 3, .
. . .Äàëåå ðàññìîòðèì äðóãîé òèï ðàñïðåäåëåíèé.Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ FX (y) íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé, åñëè äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ yÎïðåäåëåíèå.ZyFX (y) =f (t) dt;−∞ñòîÿùàÿ ïîä çíàêîì èíòåãðàëà ôóíêöèÿ f (t) íàçûâàåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ.×òîáû ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ïëîòíîñòü îòíîñèòñÿ ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå X , åå òàêæåñíàáæàþò èíäåêñîì f (t) = fX (t).Òðåáîâàíèå àáñîëþòíîé íåïðåðûâíîñòè ÿâëÿåòñÿ áîëåå ñèëüíûì, íåæåëè ïðîñòîíåïðåðûâíîñòü. Èç îïðåäåëåíèÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî FX (y) ïî÷òè âñþäó èìååò ïðîèçâîäíóþ (â íåêîòîðûõ òî÷êàõ ïðîèçâîäíàÿìîæåò íå ñóùåñòâîâàòü, õîòÿ íåïðåðûâíîñòü ñîõðàíÿåòñÿ).
Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ åñòü èíòåãðàë îò ïëîòíîñòè, òî ïëîòíîñòü, â ñâîþ î÷åðåäü, ðàâíà ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿdFX (t)dtè ýòî ñîîòíîøåíèå âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ òî÷åê, ãäå ïðîèçâîäíàÿ ñóùåñòâóåò.Ïîñêîëüêó àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íå èìååò ñêà÷êîâ, òîP(X = y) = 0 äëÿ ëþáîãî y è ñîâïàäàþò, ê ïðèìåðó, âåðîÿòíîñòè P(X ∈ [a, b]) èP(X ∈ (a, b)), a < b.fX (t) =Ñâîéñòâà ïëîòíîñòè1) fX (t) ≥ 0 êàê ïðîèçâîäíàÿ íåóáûâàþùåé ôóíêöèè;R∞2)fX (t) dt = 1.−∞Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïîñëåäíåãî äîñòàòî÷íî óñòðåìèòü y → ∞ â îïðåäåëåíèè àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.33Ëþáàÿ ôóíêöèÿ f (t), îáëàäàþùàÿ ýòèìè äâóìÿ ñâîéñòâàìè, ìîæåò áûòü ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ.Îòìåòèì åùå îäíî âàæíîå ñâîéñòâî ïëîòíîñòåé. Äëÿ ëþáûõ ÷èñåë a < bZbP(a ≤ X < b) = FX (b) − FX (a) =ZafX (t) dt −−∞ZbfX (t) dt =−∞fX (t) dt.af (t)6X0pppab-tÒàêèì îáðàçîì, ïëîòíîñòü åñòü íåîòðèöàòåëüíàÿ èíòåãðèðóåìàÿ ôóíêöèÿ, ïëîùàäü ïîä ãðàôèêîì êîòîðîé ðàâíà åäèíèöå.
Åñëè âîîáðàçèòü îïÿòü, ÷òî âåðîÿòíîñòü ýòî ìàññà, òî ñóììàðíàÿ ìàññà çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ðàâíà åäèíèöå. Ýòèçíà÷åíèÿ ðàçáðîñàíû (èëè, ëó÷øå ñêàçàòü, ðàçìàçàíû) ïî âåùåñòâåííîé ïðÿìîé èãðàôèê ïëîòíîñòè ïîêàçûâàåò íàì òîëùèíó ïîëó÷èâøåãîñÿ ¾áóòåðáðîäà¿. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïîïàäàþò â ïðîìåæóòîê [a, b], ðàâíàïëîùàäè ïîä ãðàôèêîì ïëîòíîñòè, ïðèõîäÿùåéñÿ íà îòðåçîê [a, b].  íàøåé èíòåðïðåòàöèè äàííàÿ âåðîÿòíîñòü ýòî ìàññà ¾áóòåðáðîäà¿ ñ îñíîâàíèåì [a, b].Âîîáùå, åñëè ìíîæåñòâî B ⊂ R äîïóñêàåò âîçìîæíîñòü èíòåãðèðîâàíèÿ ïî íåìó,òîZP(X ∈ B) =fX (t) dt.Ïðèìåðû àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ ðàñïðåäåëåíèéBÇäåñü ìû èñïîëüçóåì çàãëàâíûå áóêâû äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ,à ñîîòâåòñòâóþùèå ìàëûå áóêâû äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ïëîòíîñòåé.1.
Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå [a, b]. Åãî ïëîòíîñòü ðàâíà1, t ∈ [a, b],b−a,ua,b (t) =0,èíà÷å.u (t)6 a,ba0bt-ßñíî, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå âñå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ðàñïîëàãàþòñÿ íàîòðåçêå [a, b] è ðàâíîìåðíî òàì ðàçáðîñàíû; âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â ëþáîé ïðîìåæóòîê [c, d] ⊂ [a, b] ðàâíà îòíîøåíèþ äëèíZ d1d−cP(X ∈ [c, d]) =dt =,b−ac b−a34÷òî óæå âñòðå÷àëîñü íàì â çàäà÷àõ íà ãåîìåòðè÷åñêèå âåðîÿòíîñòè.Äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ èìååì ôîðìóëó0,y ≤ a,y−aUa,b (y) = b − a , y ∈ [a, b],1,y > b.Ua,b (y)61ay-b0Êàê âèäèì, â äâóõ òî÷êàõ ýòà ôóíêöèÿ ïðîèçâîäíîé íå èìååò.2.
Íîðìàëüíîå (ãàóññîâñêîå) ðàñïðåäåëåíèå Φα,σ2 . Ïëîòíîñòü çàäàåòñÿ ôîðìóëîé122ϕα,σ2 (t) = √ e−(t−α) /2σ ,σ 2π−∞ < t < ∞.Çäåñü α ïàðàìåòð ñäâèãà, −∞ < α < ∞, äðóãîé ïàðàìåòð σ 2 > 0 îòâå÷àåò çà óãîëðàçâàëà âåòâåé ãðàôèêà ïëîòíîñòè è çà ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ýòîé ôóíêöèè.6ϕα,σ2(t)0-tαÔóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ çàäàåòñÿ ôîðìóëîé (ê ñîæàëåíèþ, èíòåãðàë íå áåðåòñÿâ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ)1Φα,σ2 (y) = √σ 2πΦα,σ62Zye−(t−α)22σ 2dt.−∞(y)120αy-Åñëè α = 0, σ 2 = 1, òî ìû ïîëó÷àåì ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Φ0,1ñ ïëîòíîñòüþ3512ϕ0,1 (t) = √ e−t /22πè ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ1Φ0,1 (y) = √2πZy2 /2e−tdt.−∞Ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè èìååò öåíòð ñèììåòðèè òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (0, 1/2),Φ0,1 (y) = 1 − Φ0,1 (−y). Ôóíêöèÿ Φ0,1 (y) î÷åíü áûñòðî ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè y → −∞(è ñîîòâåòñòâåííî òàê æå áûñòðî ê åäèíèöå ïðè y → ∞):Φ0,1 (−3) = 0.00135; Φ0,1 (−1.96) = 0.025; Φ0,1 (−1.64) = 0.05.Ýòè äàííûå âçÿòû èç òàáëèö ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðûìèñíàáæåíû ïî÷òè âñå ïîñîáèÿ ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêåââèäó âàæíîñòè ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ïðèëîæåíèé.
Íåñìîòðÿ íà òî ÷òî çíà÷åíèÿñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y ⊂= Φ0,1 ðàçáðîñàíû ïî âñåé ïðÿìîé, âèäíî, ÷òî ñ âåðîÿòíîñòüþ0.9973 îíè ïîïàäàþò â èíòåðâàë (-3,3).ϕ0,1 (t)6−3−2 −1 012pp p pp p pp p pp-3 tÏîçæå ìû ïîêàæåì, ÷òî åñëè X ⊂= Φα,σ2 , òî Y = (X − α)/σ ⊂= Φ0,1 . Çíà÷èò,P(|Y | < 3) = 0.9973, èëè, ÷òî òî æå ñàìîå,P(|X − α| < 3σ) = 0.9973.Ïîñëåäíåå èçâåñòíî êàê ïðàâèëî òðåõ ñèãì.Íàñêîëüêî âàæíî íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå äëÿ ïðèëîæåíèé, ñòàíåò ÿñíî ïîçæå, êîãäà áóäåò èçó÷åíà öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà. Çàáåãàÿ âïåðåä, ñêàæåì,÷òî î÷åíü ÷àñòî ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû áóäåò áëèçêî ê íîðìàëüíîìó,åñëè îíà ñôîðìèðîâàëàñü â ðåçóëüòàòå íàêîïëåíèÿ áîëüøîãî ÷èñëà áîëåå ¾ìåëêèõ¿ñëó÷àéíûõ ôàêòîðîâ.3.
Ïîêàçàòåëüíîå (ýêñïîíåíöèàëüíîå) ðàñïðåäåëåíèå Eα . Ïëîòíîñòü ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ çàäàåòñÿ ôîðìóëîé(α e−αt , t > 0,eα (t) =0,t ≤ 0.Çäåñü α > 0 ïàðàìåòð ðàñïðåäåëåíèÿ.eα (t)6-0t36Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ëåãêî ïîëó÷àåòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì:(0,y ≤ 0,Eα (y) =−αy1 − e , y > 0.Eα (y)16-0yÏîêàçàòåëüíî ðàñïðåäåëåííûìè îêàçûâàþòñÿ äëèòåëüíîñòè òåëåôîííûõ ðàçãîâîðîâ, ïðîìåæóòêè âðåìåíè ìåæäó ïîñëåäîâàòåëüíûìè ïðèõîäàìè êëèåíòîâ íà îáñëóæèâàíèå (íàïðèìåð, êîðàáëåé â ïîðò èëè ïîêóïàòåëåé â ìàãàçèí), äëèòåëüíîñòèîáñëóæèâàíèÿ êëèåíòîâ, âðåìÿ áåçîòêàçíîé ðàáîòû ïðèáîðà è ìíîãîå äðóãîå.Îñòàíîâèìñÿ áîëåå ïîäðîáíî íà îäíîì çàìå÷àòåëüíîì ñâîéñòâå ïîêàçàòåëüíîãîðàñïðåäåëåíèÿ.
Ïóñòü X ïðîäîëæèòåëüíîñòü òåëåôîííîãî ðàçãîâîðà è ïóñòüX⊂= Eα , ò. å.P(X ≥ y) = e−αy , y > 0.Òåëåôîííûé ðàçãîâîð íà÷àëñÿ â ìîìåíò âðåìåíè 0 è, êîãäà â ìîìåíò âðåìåíè y ìûðåøèëè ïîäêëþ÷èòüñÿ ê íåìó (ñ íåáëàãîâèäíîé öåëüþ ïîäñëóøèâàíèÿ), îí âñå åùåïðîäîëæàëñÿ, òî åñòü X ≥ y . Êàêîâî áóäåò ðàñïðåäåëåíèå ó îñòàâøåéñÿ ïðîäîëæèòåëüíîñòè ðàçãîâîðà X − y ? Îêàçûâàåòñÿ, â òî÷íîñòè òàêîå æå, êàê è ó âñåé ïðîäîëæèòåëüíîñòè X .
Äåéñòâèòåëüíî, âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îñòàâøàÿñÿ äëèòåëüíîñòüðàçãîâîðà áóäåò íå ìåíüøå t, ðàâíàP(X − y ≥ t/X ≥ y) ==P(X ≥ y + t, X ≥ y) P(X ≥ y + t)==P(X ≥ y)P(X ≥ y)e−α(y+t)= e−αt = P(X ≥ t),e−αyt > 0.4. Ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå Γα,λ . Ïëîòíîñòü ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà λ αtλ−1 e−αt , t > 0,γα,λ (t) = Γ(λ)0,t ≤ 0.Çäåñü ó÷àñòâóþò äâà ïàðàìåòðà α > 0, λ > 0.
Íàïîìíèì, ÷òîZ∞Γ(λ) =tλ−1 e−t dt0 èçâåñòíàÿ ãàììà-ôóíêöèÿ Ýéëåðà; îíà îáëàäàåò ñâîéñòâîì Γ(λ + 1) = λΓ(λ). Äëÿöåëûõ çíà÷åíèé λ = n èìååò ìåñòî ïî ýòîé ïðè÷èíå Γ(n + 1) = n!.Ãðàôèêè ïëîòíîñòè ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ ñóùåñòâåííî ðàçëè÷àþòñÿ â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé ïàðàìåòðà λ (ñì. ðèñóíîê). Ïðè λ < 1 ïëîòíîñòü íåîãðàíè÷åííà âîêðåñòíîñòè íóëÿ, ïðè λ = 1 ïîëó÷àåòñÿ ïëîòíîñòü ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ(Γα,1 = Eα ). Ïðè λ > 1 ãðàôèê ïëîòíîñòè èìååò îäíó âåðøèíó, êîòîðàÿ óäàëÿåòñÿâïðàâî ñ óâåëè÷åíèåì λ.37γ (t)λ<16 α,λλ>1λ=1-0tÔóíêöèÿ ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ çàäàåòñÿ ôîðìóëîéZ yΓα,λ (y) =γα,λ (t)dt0ïðè y > 0 è Γα,λ (y) = 0 ïðè y ≤ 0.
Ýòîò èíòåãðàë ìîæíî âû÷èñëèòü ñ ïîìîùüþíåîäíîêðàòíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, åñëè λ öåëîå, è íå áåðåòñÿ â ýëåìåíòàðíûõôóíêöèÿõ ïðè ïðî÷èõ λ.Ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ â òåîðèè ñèñòåì îáñëóæèâàíèÿ, ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå, òåîðèè íàäåæíîñòè.5. Ðàñïðåäåëåíèå Êîøè K . Ïëîòíîñòü çàäàåòñÿ ôîðìóëîék(t) =1 1,π 1 + t2−∞ < t < ∞.k(t)6-0tÏî ñâîåìó âèäó ãðàôèê ïëîòíîñòè íàïîìèíàåò ïëîòíîñòü ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãîðàñïðåäåëåíèÿ, òîëüêî â îòëè÷èå îò ïîñëåäíåãî ñòðåìëåíèå k(t) → 0 ïðè |t| → ∞ïðîèñõîäèò çíà÷èòåëüíî ìåäëåííåå. Èíòåãðèðóÿ ïëîòíîñòü, íàõîäèì ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ:Zy11 11K(y) =dt = + arctg y.2π1+t2 π−∞K(y)6120-yÅñòü åùå òàê íàçûâàåìûå ñèíãóëÿðíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
