1625915144-a0b004e5d7d0e6e9b8f80b0c67f3317f (843874), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , X2 , . . . , Xn íåçàâèñèìû, åñëè äëÿ âñåõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ýòèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíÎïðåäåëåíèåP(X1 = y1 , X2 = y2 , . . . , Xn = yn ) = P(X1 = y1 )P(X2 = y2 ) . . . P(Xn = yn ).422.4.Ìíîãîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ è ïëîòíîñòè ðÿäå ïðèêëàäíûõ çàäà÷ âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àéíûå âåêòîðû. Ìû áóäåì íàçûâàòü ñëó÷àéíûì âñÿêèé âåêòîð X = (X1 , X2 , . . . , Xn ), êîìïîíåíòàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Èçîáðàæàòüñÿ ñëó÷àéíûå âåêòîðûáóäóò â âèäå ñòðîê èëè â âèäå ñòîëáöîâ (êàê ýòî óäîáíî).Íà ìíîãîìåðíûé ñëó÷àé ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü ïîíÿòèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.Ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà X (ìíîãîìåðíîéôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ, ñîâìåñòíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ) íàçûâàåòñÿÎïðåäåëåíèå.FX1 ,X2 ,...,Xn (y1 , y2 , .
. . , yn ) = P(X1 < y1 , X2 < y2 , . . . , Xn < yn ).Ñâîéñòâà ìíîãîìåðíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ1. 0 ≤ FX1 ,...,Xn (y1 , . . . , yn ) ≤ 1.2. Åñëè y1 ≤ z1 , y2 ≤ z2 , . . . , yn ≤ zn , òîFX1 ,...,Xn (y1 , . . . , yn ) ≤ FX1 ,...,Xn (z1 , . . . , zn ).Ýòè äâà ñâîéñòâà î÷åâèäíû.Ïî àíàëîãèè ñî ñâîéñòâàìè îäíîìåðíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèé ðàññìîòðèì äàëåå ïðåäåëüíîå ïîâåäåíèå ìíîãîìåðíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè.Íî çäåñü, âïðî÷åì, ïðèñóòñòâóåò n àðãóìåíòîâ. Ìû áóäåì óñòðåìëÿòü ê −∞ è ê +∞îäèí èç íèõ (äîïóñòèì, ïîñëåäíèé).3. à) lim FX1 ,...,Xn (y1 , .
. . , yn ) = 0,yn →−∞á) lim FX1 ,...,Xn (y1 , . . . , yn ) = FX1 ,...,Xn−1 (y1 , . . . , yn−1 ).yn →∞ ÷àñòíîñòè, FX1 (y1 ) =limy2 →∞,..., yn →∞FX1 ,...,Xn (y1 , y2 , . . . , yn ).Èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà. Åñëè óñòðåìèòü yn → −∞, òî ñîáûòèå {Xn < yn } áóäåòóìåíüøàòüñÿ äî ðàçìåðîâ ïóñòîãî ìíîæåñòâà è ïîòÿíåò çà ñîáîé âñå ïåðåñå÷åíèå{X1 < y1 , X2 < y2 , . .
. , Xn < yn }. Ïîýòîìó âåðîÿòíîñòü ýòîãî ïåðåñå÷åíèÿ áóäåòñõîäèòüñÿ ê íóëþ.Åñëè æå yn → ∞, òî ñîáûòèå {Xn < yn } áóäåò ðàçðàñòàòüñÿ äî ðàçìåðîâ âñåãîïðîñòðàíñòâà Ω, ïîýòîìó ïåðåñå÷åíèå ñîáûòèé {X1 < y1 , X2 < y2 , . . . , Xn < yn } âïðåäåëå ïðåâðàòèòñÿ â {X1 < y1 , X2 < y2 , . . . , Xn−1 < yn−1 }.Åñëè X1 , X2 , . . .
, Xn íåçàâèñèìû, òî, î÷åâèäíî,FX1 ,...,Xn (y1 , . . . , yn ) = FX1 (y1 ) . . . FXn (yn ).(2)Ìû óñòàíîâèëè â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, ÷òî ýòî ñîîòíîøåíèå ìîæíî èñïîëüçîâàòü âêà÷åñòâå îïðåäåëåíèÿ íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.Êàê âèäèì, äëÿ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ââåäåíèå ìíîãîìåðíîé ôóíêöèèðàñïðåäåëåíèÿ ïî ñóùåñòâó íå äàåò íè÷åãî íîâîãî: îíà âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îäíîìåðíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Äëÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ñ çàâèñèìûìè êîìïîíåíòàìèåãî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñîäåðæèò èíôîðìàöèþ êàê î ðàñïðåäåëåíèè îòäåëüíûõêîìïîíåíò, òàê è î çàâèñèìîñòè ìåæäó íèìè.Åñëè êàæäàÿ êîìïîíåíòà âåêòîðà (X1 , X2 , .
. . , Xn ) äèñêðåòíà, òî åãî ìíîãîìåðíîåðàñïðåäåëåíèå òàêæå áóäåò íàçûâàòüñÿ äèñêðåòíûì.Äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå äâóìåðíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (X, Y ) óäîáíî çàäàâàòü òàáëèöåé. Ïóñòü X ïðèíèìàåò âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ x1 , x2 , . . ., à Y çíà÷åíèÿy1 , y2 , . . .. Îáîçíà÷èìpij = P(X = xi , Y = yj ),i = 1, 2, . . .
,43j = 1, 2, . . . .Ïðèâåäåííàÿ íèæå òàáëèöà ïîëíîñòüþ çàäàåò ðàñïðåäåëåíèå âåêòîðà (X, Y ).X \ Yx1x2x3...ßñíî, ÷òîy1p11p21p31...y2p12p22p32...∞ X∞Xy3p13p23p33..................pij = 1.i=1 j=1Åñëè ñóììèðîâàòü òîëüêî ýëåìåíòû i-é ñòðîêè, òî ïîëó÷èì∞Xpij =j=1∞XP(X = xi , Y = yj ) = P(X = xi ).j=1Òî÷íî òàê æå ñóììà ýëåìåíòîâ j -ãî ñòîëáöà ðàâíà∞Xi=1pij =∞XP(X = xi , Y = yj ) = P(Y = yj ).i=1Ýòè ôîðìóëû äåìîíñòðèðóþò ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ îäíîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé èçäâóìåðíûõ.Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ FX1 ,...,Xn (y1 , . .
. , yn ) íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé, åñëè äëÿ âñåõ çíà÷åíèé àðãóìåíòîâÎïðåäåëåíèå.Zy1 Zy2FX1 ,...,Xn (y1 , . . . , yn ) =Zyn...−∞ −∞f (t1 , t2 , . . . , tn ) dtn . . . dt2 dt1 .−∞Ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ïëîòíîñòüþ ìíîãîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ,êàê è â îäíîìåðíîì ñëó÷àå åå ïðèíÿòî ñíàáæàòü èíäåêñàìè, óêàçûâàþùèìè íà ñâÿçüñî ñëó÷àéíûì âåêòîðîì: f (t1 , t2 , .
. . , tn ) = fX1 ,...,Xn (t1 , t2 , . . . , tn ). Êàê è â îäíîìåðíîì ñëó÷àå, ïëîòíîñòü ïîëó÷àåòñÿ èç ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äèôôåðåíöèðîâàíèåì,òîëüêî çäåñü òðåáóåòñÿ áðàòü ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïî êàæäîé ïåðåìåííîé:fX1 ,...,Xn (t1 , . . . , tn ) =∂ n FX1 ,...,Xn (t1 , .
. . , tn ).∂t1 . . . ∂tnÑâîéñòâà ìíîãîìåðíûõ ïëîòíîñòåé1. fX1 ,...,Xn (t1 , t2 , . . . , tn ) ≥ 0.Z∞ Z∞2.Z∞...−∞ −∞fX1 ,...,Xn (t1 , t2 , . . . , tn ) dtn . . . dt1 = 1.−∞Z Z3.P((X1 , X2 , . . . , Xn ) ∈ B) =Z...fX1 ,...,Xn (t1 , t2 , . . . , tn ) dtn . . . dt2 dt1Bäëÿ ëþáîãî ïðÿìîóãîëüíèêà B = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × . . . × [an , bn ] ⊂ Rn .4. Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , X2 , . .
. , Xn èìåþò àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå, òî îíè íåçàâèñèìû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàfX1 ,...,Xn (t1 , . . . , tn ) = fX1 (t1 )fX2 (t2 ) . . . fXn (tn ).44Ýòî ñâîéñòâî ïîëó÷àåòñÿ èç ôîðìóëû (2) ïîî÷åðåäíûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïîêàæäîé ïåðåìåííîé, à ñàìî îíî ïðåâðàùàåòñÿ â ñîîòíîøåíèå (2) ïîñëå ïîî÷åðåäíîãîèíòåãðèðîâàíèÿ ïî êàæäîé èç ïåðåìåííûõ.5. Åñëè èçâåñòíà n-ìåðíàÿ ïëîòíîñòü fX1 ,...,Xn (t1 , .
. . , tn ), òî ïîëó÷èòü ïëîòíîñòüìåíüøåé ðàçìåðíîñòè ìîæíî ñ ïîìîùüþ èíòåãðèðîâàíèÿ:Z∞fX1 ,...,Xn−1 (t1 , t2 , . . . , tn−1 ) =fX1 ,...,Xn (t1 , t2 , . . . , tn ) dtn .−∞Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî ñâîéñòâà ìû äîëæíû ïðåäñòàâèòü â âèäå ñîîòâåòñòâóþùåãîèíòåãðàëà (n − 1)-ìåðíóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ:FX1 ,...,Xn−1 (y1 , .
. . , yn−1 ) = FX1 ,...,Xn (y1 , . . . , yn−1 , ∞) =yZn−1Zy1= ∞Z...−∞−∞fX1 ,...,Xn (t1 , . . . , tn ) dtndtn−1 . . . dt1 .−∞Âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ, è áóäåò èñêîìîé ïëîòíîñòüþ. äèñêðåòíîì ñëó÷àå óìåíüøåíèå ðàçìåðíîñòè ïðîèçâîäèëîñü àíàëîãè÷íî, íîòîëüêî ñ ïîìîùüþ ñóììèðîâàíèÿ (ñì. ðàññìîòðåííûé âûøå òàáëè÷íûé ñïîñîá çàäàíèÿ äâóìåðíûõ äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé).Ïðèìåðû ìíîãîìåðíûõ ïëîòíîñòåé1. Ìíîãîìåðíîå ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ïëîòíîñòü çàäàåòñÿ ôîðìóëîé 1, t ∈ D,f (t) = λ(D)0,èíà÷å,ãäå D ⊂ Rn îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî, ó êîòîðîãî n-ìåðíûé îáúåì λ(D) > 0. Ëåãêîâèäåòü, ÷òî äëÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà X ñ òàêîé ïëîòíîñòüþP(X ∈ B) =λ(B),λ(D)åñëè B ⊂ D, ò. å.
âåðîÿòíîñòü âû÷èñëÿåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêèì ñïîñîáîì.2. Ìíîãîìåðíîå ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòüþ()nnY1X 21f (t) =exp −t =ϕ0,1 (ti ), t = (t1 , . . . , tn ).(2π)n/22 i=1 ii=1Êîìïîíåíòû ñëó÷àéíîãî âåêòîðà, èìåþùåãî òàêóþ ïëîòíîñòü, íåçàâèñèìû è èìåþò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.2.5.Ïðåîáðàçîâàíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ýòîì ïàðàãðàôå ìû èçó÷èì, êàê èçìåíÿþòñÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.Ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y íåçàâèñèìû, g è h áîðåëåâñêèåôóíêöèè èç R â R. Òîãäà ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû g(X) è h(Y ) òàêæå íåçàâèñèìû.Òåîðåìà 1.45Íàïîìíèì, ÷òî ôóíêöèÿ g íàçûâàåòñÿ áîðåëåâñêîé, åñëè g −1 (B) ∈ B(R) äëÿ ëþáîãî B ∈ B(R).Äîêàçàòåëüñòâî.
Äëÿ ëþáûõ B1 ∈ B(R), B2 ∈ B(R)P(g(X) ∈ B1 , h(Y ) ∈ B2 ) = P(X ∈ g −1 (B1 ), Y ∈ h−1 (B2 )) == P(X ∈ g −1 (B1 )) P(Y ∈ h−1 (B2 )) = P(g(X) ∈ B1 ) P(h(Y ) ∈ B2 ),ãäå g −1 (B1 ) = {y : g(y) ∈ B1 }, h−1 (B2 ) = {y : h(y) ∈ B2 }.Ïóñòü òåïåðü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X îáëàäàåò ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ fX (t).Îáðàçóåì íîâóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó Y = g(X), ãäå g íåêîòîðàÿ íåñëó÷àéíàÿáîðåëåâñêàÿ ôóíêöèÿ èç R â R. Ðàçóìååòñÿ, Y íå îáÿçàòåëüíî îáëàäàåò ïëîòíîñòüþ,äîñòàòî÷íî âçÿòü g(t) ≡ C , ÷òîáû óáåäèòüñÿ â ýòîì. Îäíàêî åñëè g òàêîâà, ÷òî fY (t)âñå-òàêè ñóùåñòâóåò, òî êàê åå íàéòè?Íà÷íåì ñ ðàññìîòðåíèÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FY (y).Z−1FY (y) = P(g(X) < y) = P(X ∈ g ((−∞, y))) =fX (u) du.g −1 ((−∞,y))Òåïåðü çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïðåîáðàçîâàòü ïîëó÷åííûé èíòåãðàë ê âèäóZyh(t) dt−∞ñ íåêîòîðîé ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèåé h(t), êîòîðàÿ è áóäåò ÿâëÿòüñÿ ïëîòíîñòüþäëÿ Y â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì.
Åäèíîãî ïîäõîäà çäåñü íå ñóùåñòâóåò, ÷àùåâñåãî ïîìîãàåò ïðåîáðàçîâàòü èíòåãðàë ê íóæíîìó âèäó ïîäõîäÿùàÿ çàìåíà ïåðåìåííûõ.Ïðîèëëþñòðèðóåì âñå ýòî áîëåå ïîäðîáíî íà ïðèìåðå ïðåîáðàçîâàíèÿ Y = aX +b,ãäå a 6= 0.1. Ïóñòü a > 0. Òîãäày−bFY (y) = P(aX + b < y) = P X <a(y−b)/aZ=fX (u) du.−∞Ñäåëàåì çàìåíó t = au + b. ÒîãäàZyFY (y) =1fXat−badt.−∞2. Åñëè a < 0, òî, èñïîëüçóÿ òó æå çàìåíó ïåðåìåííîé, ïîëó÷àåìy−b=FY (y) = P(aX + b < y) = P X >aZ∞fX (u) du(y−b)/aZ−∞=1fXat−baZydt =−∞y461fX|a|t−badt.Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Ïóñòü ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X îáëàäàåò ïëîòíîñòüþfX (t). Òîãäà äëÿ ëþáûõ ÷èñåë a 6= 0 è b1t−bfaX+b (t) =fX.(3)|a|aÒåîðåìà 2.Âûâåäåì îòñþäà íåñêîëüêî ïîëåçíûõ ñëåäñòâèé äëÿ ãàóññîâñêèõ ðàñïðåäåëåíèé.. Åñëè X ⊂= Φα,σ2 , òî Y = (X − α)/σ ⊂= Φ0,1 ..
Åñëè Y ⊂= Φ0,1 , òî X = σY + α ⊂= Φα,σ2 .. Åñëè X ⊂= Φα,σ2 , òî Y = AX + B ⊂= ΦAα+B, σ2 A2 .Äîêàçàòåëüñòâî. Óòâåðæäåíèÿ ïåðâûõ äâóõ ñëåäñòâèé ïðÿìî âûòåêàþò èç ôîðìóëû (3). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òðåòüåãî óòâåðæäåíèÿ óäîáíî ñíà÷àëà ïðåäñòàâèòüX −α+ Aα + B,AX + B = σAσÑëåäñòâèå 1Ñëåäñòâèå 2Ñëåäñòâèå 3è çàòåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðåäûäóùèìè äâóìÿ óòâåðæäåíèÿìè.Äàëåå ïîãîâîðèì î êâàíòèëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ. Âîîáùå, äëÿ ìîíîòîííîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ êâàíòèëüþ qy íàçûâàåòñÿ qy = F −1 (y). Åñëè æå F ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, òî êâàíòèëü ìîæíî îïðåäåëèòü êàêqy = sup{t : F (t) < y}.Òåîðåìà 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
