1625915144-a0b004e5d7d0e6e9b8f80b0c67f3317f (843874), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Äëÿ êàæäîãî òàêîãî ÷èñëàt è ïðîèçâîëüíîãî íàòóðàëüíîãî n íàéäåòñÿ ÷èñëî k ≥ 1 òàêîå, ÷òîk−1k≤t< .nnÔóíêöèÿ P0 (t) íå âîçðàñòàåò ïî t, ïîýòîìó k−1kP0≥ P0 (t) ≥ P0,nnèëèpk−1nk≥ P0 (t) ≥ p n .Óñòðåìèâ n → ∞ òàê, ÷òî k/n → t, ïîëó÷èì P0 (t) = pt .Âîçìîæíû òðè ñëó÷àÿ: (à) p = 0, (á) p = 1, è (â) 0 < p < 1. ïåðâîì èç íèõ P0 (t) = 0 äëÿ ëþáîãî t > 0, òî åñòü ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 â ëþáîì êàêóãîäíî ìàëîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè ïðîèñõîäèò õîòÿ áû îäíî ñîáûòèå, à ýòî ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî â ïðîìåæóòêå âðåìåíè ëþáîé äëèíû ïðîèñõîäèò áåñêîíå÷íî ìíîãîñîáûòèé.
Ýòî ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü ñåáå êàê öåïíóþ ðåàêöèþ ïðè àòîìíîì âçðûâå,ìû íå áóäåì îñòàíàâëèâàòüñÿ íà ýòîé êðàéíîñòè.  ñëó÷àå (á) P0 (t) = 1, òî åñòü ñîáûòèÿ íèêîãäà íå ïîÿâëÿþòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, èíòåðåñ âûçûâàåò òîëüêî ñëó÷àé (â).Ïîëîæèì p = e−λ , çäåñü 0 < λ < ∞. Òåì ñàìûì ïîëó÷èëèP0 (t) = e−λt .2. Ïîêàæåì, ÷òî ïðè h → 0P1 (h) = λh + o(h).Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî P0 (h) = e−λh = 1 − λh + o(h), èP0 (h) + P1 (h) +∞XPk (h) = 1.k=2ÎòñþäàP1 (h) = 1 − P0 (h) −∞XPk (h) = λh + o(h).k=23.  ýòîì ïóíêòå ìû ïîêàæåì, ÷òî âåðîÿòíîñòè Pk (t) óäîâëåòâîðÿþò íåêîòîðîéñèñòåìå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.Äëÿ t ≥ 0 è h > 0 èìååìPk (t + h) =kXPj (t)Pk−j (h)j=0(ìû ïåðåáèðàåì çäåñü âñå âîçìîæíîñòè î òîì, ñêîëüêî ñîáûòèé ïðîèçîøëî çà âðåìÿt è çà ïîñëåäóþùèé ïðîìåæóòîê âðåìåíè äëèíû h).Åñëè h → 0, òî ïðè k ≥ 2k−2Xj=0Pj (t)Pk−j (h) ≤k−2XPk−j (h) =j=0kXi=2110Pi (h) = o(h),ïîýòîìó ïðè k ≥ 1Pk (t + h) = Pk (t)P0 (h) + Pk−1 (t)P1 (h) + o(h) == Pk (t)(1 − λh + o(h)) + Pk−1 (t)(λh + o(h)) + o(h) == Pk (t)(1 − λh) + Pk−1 (t)λh + o(h).Îòñþäà ïîëó÷àåìPk (t + h) − Pk (t)o(h)= −λPk (t) + λPk−1 (t) +,hhk = 1, 2, .
. . .Óñòðåìèì h → 0. Ïîñêîëüêó ïðè ýòîì ïðåäåë ïðàâîé ÷àñòè ñóùåñòâóåò, òî îíáóäåò ñóùåñòâîâàòü è äëÿ ëåâîé ÷àñòè.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåìPk0 (t) = −λPk (t) + λPk−1 (t),k = 1, 2, . . . .Ê ýòîé ñèñòåìå ìîæíî äîáàâèòü ñîîòíîøåíèåP00 (t) = −λP0 (t),êîòîðîå ñëåäóåò èç ôîðìóëû P0 (t) = e−λt . Âûáåðåì íà÷àëüíûå óñëîâèÿ îíè äèêòóþòñÿ ëîãèêîé çäðàâîãî ñìûñëà:Pk (0) = 0 ïðè k ≥ 1.P0 (0) = 1,4. Ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé.Âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé. Îáîçíà÷èìg(z, t) =∞Xz k Pk (t),|z| ≤ 1.(12)k=0Óìíîæèì ïîëó÷åííûå íàìè óðàâíåíèÿ äëÿ Pk (t) íà z k è ïðîñóììèðóåì ïî k :∞Xk=0z k Pk0 (t) = −λ∞Xz k Pk (t) + λk=0∞Xz k Pk−1 (t),k=1èëè, ÷òî òî æå ñàìîå,∂g(z, t)= −λg(z, t) + λzg(z, t) = λ(z − 1)g(z, t).∂tÏåðåïèøåì ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå â âèäå∂ ln g(z, t)= λ(z − 1),∂tîòêóäàln g(z, t) = λ(z − 1)t + C. ñèëó âûáðàííûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé ïðè t = 0 èìååì g(z, 0) = 1, òî åñòü C = 0.
Âèòîãå ïîëó÷àåì∞X(λt)k kλ(z−1)t−λt λzt−λtg(z, t) = e=e e =ez .(13)k!k=0111Ñðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèé (12) è (13), îáíàðóæèâàåì, ÷òîPk (t) =(λt)k −λte ,k!k = 0, 1, . . . ,òî åñòü ìû ïîëó÷èëè âåðîÿòíîñòè, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàñïðåäåëåíèþ Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì λt. Ïî ýòîé ïðè÷èíå èçó÷àåìûé ïðîöåññ íàçûâàåòñÿ ïóàññîíîâñêèì. Èíîãäàãîâîðÿò î ïóàññîíîâñêîì ïîòîêå ñîáûòèé.Îáîçíà÷èì ÷åðåç τ1 äëèíó ïðîìåæóòêà âðåìåíè îò íóëÿ äî ïåðâîãî ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ. Î÷åâèäíî, P(τ1 > t) = P0 (t) = e−λt , òî åñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà τ1 ðàñïðåäåëåíà ïî ïîêàçàòåëüíîìó çàêîíó ñ ïàðàìåòðîì λ.
Ïóñòü òàêæå τ2 äëèíà ïðîìåæóòêàâðåìåíè ìåæäó ïåðâûì è âòîðûì ñîáûòèÿìè, τ3 äëèíà ïðîìåæóòêà âðåìåíè ìåæäó âòîðûì è òðåòüèì ñîáûòèÿìè, è òàê äàëåå. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî âñå ñëó÷àéíûåâåëè÷èíû τ1 , τ2 , . . . íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû ïî ïîêàçàòåëüíîìó çàêîíóñ ïàðàìåòðîì λ. Òðàåêòîðèè ïðîöåññà Xt âûãëÿäÿò ñëåäóþùèì îáðàçîì.X6 t210v1v2v3t-Çäåñü îáîçíà÷åíî vk = τ1 + . . . + τk . Ìîìåíò vk k -ãî ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ ðàâåí ñóììåíåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èìåþùèõ ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì λ, ïîýòîìó vk ⊂= Γλ,k :λkk−1 −λt (k − 1)! t e , t > 0,fvk (t) =0,èíà÷å.Ýòîò ÷àñòíûé ñëó÷àé ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ ïðèíÿòî íàçûâàòü ðàñïðåäåëåíèåì Ýðëàíãà.Íåòðóäíî âû÷èñëèòü ñðåäíåå ÷èñëî ñîáûòèé, ïðîèñõîäÿùèõ çà âðåìÿ t:E Xt =∞Xk Pk (t) = λt.k=0Ñðåäíåå ÷èñëî ñîáûòèé, ïðîèñõîäÿùèõ çà åäèíèöó âðåìåíè, íàçûâàåòñÿ èíòåíñèâíîñòüþ ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà; ìû âèäèì, ÷òî îíà ñîâïàäàåò ñ ïàðàìåòðîì λ ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîìåæóòêà âðåìåíè ìåæäó äâóìÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè ñîáûòèÿìè.Âåðíåìñÿ ê àíàëèçó òðàåêòîðèé ïðîöåññà Ïóàññîíà.
Îíè ÿâëÿþòñÿ êóñî÷íî ïîñòîÿííûìè. Ïðè âîçðàñòàíèè t âåëè÷èíà Xt îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé â òå÷åíèå ïðîìåæóòêàâðåìåíè, èìåþùåãî ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, à çàòåì ñêà÷êîì óâåëè÷èâàåòñÿ íàåäèíèöó. Ìîæíî ðàññìîòðåòü áîëåå îáùóþ êîíñòðóêöèþ, êîãäà Xt â ìîìåíò âðåìåíèt = v1 óâåëè÷èâàåòñÿ íà ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó Y1 , â ìîìåíò âðåìåíè v2 ïðîèñõîäèòñêà÷îê íà âåëè÷èíó Y2 è òàê äàëåå, ãäå Y1 , Y2 , . . . ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõîäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, íå çàâèñÿùàÿ òàêæå îò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè τ1 , τ2 , .
. .. Ïîëó÷åííûé òàêèì îáðàçîì ñëó÷àéíûé ïðîöåññ Zt íàçûâàåòñÿîáîáùåííûì ïðîöåññîì Ïóàññîíà. Ðàçóìååòñÿ, åãî èçó÷àòü òðóäíåå, ÷åì îáû÷íûé112ïðîöåññ Ïóàññîíà, è ìû íå áóäåì ýòîãî äåëàòü. Îòìåòèì òîëüêî, ÷òî åñëè ê ïîñòðîåííîìó ïðîöåññó äîáàâèòü åùå ëèíåéíûé ñíîñ (òî åñòü ðàññìîòðåòü ïðîöåññ âèäàSt = u + vt + Zt ), òî ïîëó÷èòñÿ ïðîöåññ, èìåþùèé ìíîãî÷èñëåííûå ïðèëîæåíèÿ âòåîðèè ñòðàõîâàíèÿ.Ðàññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî ýòó ìîäåëü.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñòðàõîâàÿ êîìïàíèÿ íà÷èíàåò â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 ñâîþ äåÿòåëüíîñòü, èìåÿ ñòàðòîâûé êàïèòàë u.
Äîõîä êîìïàíèè ôîðìèðóåòñÿ èç ñòðàõîâûõâçíîñîâ. Ìû áóäåì ñ÷èòàòü èõ ïîñòîÿííûìè âî âðåìåíè, òî åñòü çà âðåìÿ t ñóììàðíûåïîñòóïëåíèÿ âçíîñîâ ñîñòàâëÿþò âåëè÷èíó vt ïðè íåêîòîðîì v > 0. ×åðåç ñëó÷àéíûåïðîìåæóòêè âðåìåíè τ1 , τ2 , . . . ïðîèñõîäÿò íåêîòîðûå ñîáûòèÿ, âûíóæäàþùèå êîìïàíèþ äåëàòü ñòðàõîâûå âûïëàòû Y1 , Y2 , . . .; ïðè ýòîì êàïèòàë êîìïàíèè ñêà÷êîîáðàçíîóìåíüøàåòñÿ.6Stu0v1v2v3t-Ïðè èçó÷åíèè òàêèõ ïðîöåññîâ íàèáîëüøèé èíòåðåñ âûçûâàåò íàõîæäåíèå âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ, òî åñòü âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî òðàåêòîðèÿ ïðîöåññà êîãäà-ëèáî êîñíåòñÿ îñè àáñöèññ. Ýòà çàäà÷à íå ïðîñòà, è åå ðåøåíèå âûõîäèò çà ðàìêè íàøåãîêóðñà.
Îäíàêî èññëåäîâàíèå òàêèõ ïðîöåññîâ âî ìíîãîì îïèðàåòñÿ íà óñòàíîâëåííûåíàìè ñâîéñòâà ïðîöåññà Ïóàññîíà.Ñïèñîê èñïîëüçîâàííîé ëèòåðàòóðûÁîðîâêîâ À. À. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ì.: Íàóêà, 1986.Ãíåäåíêî Á. Â. Êóðñ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ì.: Íàóêà, 1988.Ðîçàíîâ Þ. À. Ñëó÷àéíûå ïðîöåññû. Êðàòêèé êóðñ. Ì.: Íàóêà, 1979.Ñåâàñòüÿíîâ Á. À. Êóðñ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè. Ì.:Íàóêà, 1982.113.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
