Главная » Просмотр файлов » 1625915144-a0b004e5d7d0e6e9b8f80b0c67f3317f

1625915144-a0b004e5d7d0e6e9b8f80b0c67f3317f (843874), страница 20

Файл №843874 1625915144-a0b004e5d7d0e6e9b8f80b0c67f3317f (Лотов 2015 - Лекции по теории вероятностей для ММФ) 20 страница1625915144-a0b004e5d7d0e6e9b8f80b0c67f3317f (843874) страница 202021-07-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Åå íàçûâàþò ìàðêîâñêîé ïî èìåíè èçâåñòíîãî ðóññêîãî ìàòåìàòèêà À.À.Ìàðêîâà (1856 1922), â òðóäàõ êîòîðîãî âïåðâûå ñèñòåìàòè÷åñêè èçó÷àëàñü òàêàÿ çàâèñèìîñòü.Öåïü íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíîé, åñëè âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà P(Xn = j/Xn−1 = i) íåçàâèñÿò îò n. Ìû áóäåì èçó÷àòü òîëüêî îäíîðîäíûå öåïè Ìàðêîâà.Áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç pij = P(Xn = j/Xn−1 = i) âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà èç i-ãîñîñòîÿíèÿ â j -å çà îäèí øàã è pij (n) = P(Xn+k = j/Xk = i) = P(Xn = j/X0 = i) 96âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà çà n øàãîâ (ýòè âåðîÿòíîñòè îò k íå çàâèñÿò äëÿ îäíîðîäíûõöåïåé).Ïóñòü çàäàíî ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X0 , åãî íàçûâàþò íà÷àëüíûìðàñïðåäåëåíèåì öåïè:Xπj0 = P(X0 = j),πj0 = 1,jè ïóñòü çàäàíû òàêæå âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà {pij }. Ýòîãî äîñòàòî÷íî, ÷òîáû íàéòèðàñïðåäåëåíèå öåïè πjn = P(Xn = j) äëÿ ëþáîãî ìîìåíòà âðåìåíè n.

Äåéñòâèòåëüíî,äëÿ ëþáîãî j ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè ïîëó÷àåìXXπj1 = P(X1 = j) =P(X0 = i)P(X1 = j/X0 = i) =πi0 pij ,(7)iiP(Xn−1 = i)P(Xn = j/Xn−1 = i) =Xè àíàëîãè÷íîπjn = P(Xn = j) =Xiπin−1 pij .iÏðåäïîëîæèì äëÿ ïðîñòîòû, ÷òî öåïü èìååò êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ñîñòîÿíèéE1 , E2 , . .

. , Er . Òîãäà ñîâîêóïíîñòü âåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäà {pij } îáðàçóåò ìàòðèöór × r, êîòîðóþ ìû îáîçíà÷èì P. Îíà, î÷åâèäíî, îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:1) pij ≥ 0 ïðè âñåõ i = 1, . . . , r; j = 1, . . . , r;2)rPpij = 1 (ò.å. ñóììà ýëåìåíòîâ ëþáîé ñòðîêè ðàâíà 1).j=1Ìàòðèöû ñ óêàçàííûìè äâóìÿ ñâîéñòâàìè íàçûâàþòñÿ ñòîõàñòè÷åñêèìè. Îáîçíà÷èì âåêòîð-ñòðîêó ðàñïðåäåëåíèÿ Xn ÷åðåç π n = (π1n , . . .

, πrn ), òîãäà äëÿ âåêòîðàπ 1 èìååì â ñèëó (7)π 1 = π 0 P,è àíàëîãè÷íî äëÿ ëþáîãî nπ n = π n−1 P = . . . = π 0 Pn .Êðîìå òîãî,πjn=rXP(X0 = i)P(Xn = j/X0 = i) =i=1rXπi0 pij (n).i=1Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ÷èñëà pij (n) ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè ìàòðèöû Pn .Òàêèì îáðàçîì, çíàíèå íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ π 0 è ìàòðèöû ïåðåõîäíûõ âåðîÿòíîñòåé P ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü ðàñïðåäåëåíèå Xn â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè n.Åñëè ìíîæåñòâî ñîñòîÿíèé áåñêîíå÷íî, òî è ìàòðèöà P áóäåò áåñêîíå÷íîé, íîïðèâåäåííûå ñîîòíîøåíèÿ ñîõðàíÿòñÿ.Ïðèìåðû.1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Yn , n ≥ 0, íåçàâèñèìûõ öåëî÷èñëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ öåïüþ Ìàðêîâà.2. Ïóñòü Yn , n ≥ 0 íåçàâèñèìûå öåëî÷èñëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû.

Òîãäàïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñóìì Xn = Y0 + . . . + Yn , n ≥ 0, îáðàçóåò öåïü Ìàðêîâà. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ëþáûõ ìîìåíòîâ âðåìåíè 0 ≤ n1 < n2 < . . . < nk < m < n è äëÿ97ëþáûõ öåëûõ ÷èñåë i1 , i2 , . . . , ik , i, j èìååìP(Xn = j/Xn1 = i1 , . . . , Xnk = ik , Xm = i) ====P(Xn = j, Xn1 = i1 , . . .

, Xnk = ik , Xm = i)=P(Xn1 = i1 , . . . , Xnk = ik , Xm = i)P(Ym+1 + . . . + Yn = j − i, Xn1 = i1 , . . . , Xnk = ik , Xm = i)=P(Xn1 = i1 , . . . , Xnk = ik , Xm = i)P(Ym+1 + . . . + Yn = j − i)P(Xn1 = i1 , . . . , Xnk = ik , Xm = i)=P(Xn1 = i1 , . . . , Xnk = ik , Xm = i)= P(Ym+1 + . . . + Yn = j − i) = P(Xn = j/Xm = i).Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Yn â ýòèõ ïðèìåðàõ âäîáàâîê êî âñåìó îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû, òî öåïè Ìàðêîâà áóäóò îäíîðîäíûìè. Íåòðóäíî íàéòè äëÿ íèõ âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà çà îäèí øàã. Ïóñòü P(Yn = j) = pj .  ïåðâîì èç ïðèìåðîâP(Yn = j/Yn−1 = i) = P(Yn = j) = pj ,âî âòîðîì èç íèõP(Xn = j/Xn−1 = i) = P(Yn = j − i) = pj−i .3. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êàæäûé äåíü íà ñêëàä çàâîçèòñÿ íåêîòîðîå ñëó÷àéíîå ÷èñëîìåøêîâ ñ ìóêîé, è äîëæíî âûâîçèòüñÿ åæåäíåâíî òàêæå íåêîòîðîå ñëó÷àéíîå ÷èñëîìåøêîâ. Ñ÷èòàåì, ÷òî äâèæåíèå ïðîäóêöèè â ðàçíûå äíè íå ñâÿçàíî äðóã ñ äðóãîì.Îáîçíà÷èì ÷åðåç Xn êîëè÷åñòâî ìåøêîâ ñ ìóêîé íà ñêëàäå ê êîíöó n-ãî äíÿ.

Ïîñêîëüêó âìåñòèìîñòü ñêëàäà îãðàíè÷åíà (ñêàæåì, ÷èñëîì M ìåøêîâ), òî, î÷åâèäíî,Xn−1 + Yn , åñëè 0 ≤ Xn−1 + Yn ≤ MXn = 0,åñëè Xn−1 + Yn < 0,M,åñëè Xn−1 + Yn > M,ãäå ÷åðåç Yn îáîçíà÷åíî ïðåäïîëàãàåìîå ïðèðàùåíèå ïðîäóêöèè (ïîñòóïëåíèå ìèíóñâûâîç) â n-é äåíü. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Xn òàêæå îáðàçóåò öåïüÌàðêîâà.5.2.Âîçâðàòíîñòü ñîñòîÿíèéÎáîçíà÷èì ÷åðåçqj (n) = P(Xn = j, Xn−1 6= j, . . . , X1 6= j / X0 = j)âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî, âûéäÿ èç ñîñòîÿíèÿ ñ íîìåðîì j , íàøà öåïü âïåðâûå âåðíåòñÿâ íåãî íà n-ì øàãå. Ïóñòü∞XQj =qj (n)n=198 âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî, âûéäÿ èç ñîñòîÿíèÿ ñ íîìåðîì j , öåïü êîãäà-ëèáî âåðíåòñÿâ íåãî.Ñîñòîÿíèå Ej íàçûâàåòñÿ âîçâðàòíûì, åñëè Qj = 1, è íåâîçâðàòíûì, åñëè Qj < 1.Ïðèìåð.

×àñòèöà áëóæäàåò ïî öåëî÷èñëåííûì òî÷êàì âåùåñòâåííîé îñè, îñóùåñòâëÿÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ 1/2 â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè n = 1, 2, . . . ïðûæîê âïðàâîíà åäèíèöó, è îñòàâàÿñü íà ìåñòå ñ âåðîÿòíîñòüþ 1/2. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò òîìó, ÷òîpjj = pj,j+1 = 1/2 äëÿ ëþáîãî j .1/2Îïðåäåëåíèå.1/2j s-j+1ßñíî, ÷òî qj (1) = 1/2 è qj (n) = 0 ïðè n > 1. Ïîýòîìó Qj = 1/2 äëÿ ëþáîãî j , èâñå ñîñòîÿíèÿ öåïè íåâîçâðàòíû.Ñîñòîÿíèå Ej âîçâðàòíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàÒåîðåìà.Pj =∞Xpjj (n) = ∞.n=1Pj.1 + PjÄëÿ íåâîçâðàòíîãî Ej èìååò ìåñòî Qj =Äîêàçàòåëüñòâî.Èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèåpjj (n) = qj (1)pjj (n − 1) + . .

. + qj (n − 1)pjj (1) + qj (n).(8)Ñìûñë åãî â ñëåäóþùåì. Âåðîÿòíîñòü âåðíóòüñÿ â j -å ñîñòîÿíèå çà n øàãîâ ðàçáèâàåòñÿ íà ïåðåáîð âçàèìíî èñêëþ÷àþùèõ ñëó÷àåâ â çàâèñèìîñòè îò òîãî, çà êàêîå÷èñëî øàãîâ öåïü âïåðâûå âåðíåòñÿ â ñîñòîÿíèå Ej . Åñëè, ê ïðèìåðó, âïåðâûå öåïüâåðíåòñÿ çà k øàãîâ (âåðîÿòíîñòü ýòîãî ðàâíà qj (k)), òî çàòåì åé íóæíî ãäå-òî ïîãóëÿòü è âåðíóòüñÿ íàçàä çà îñòàâøèåñÿ n − k øàãîâ.

Ïåðåáîð âàðèàíòîâ ïî âñåì kîñóùåñòâëÿåòñÿ ñóììèðîâàíèåì. Ôîðìàëüíî (8) ïîëó÷àåòñÿ èç öåïî÷êè ðàâåíñòâP(Xn = j/X0 = j) ==nX1P(X0 = j)P(Xn = j, X0 = j)=P(X0 = j)P(X0 = j, X1 6= j, . . . , Xk−1 6= j, Xk = j, Xn = j) =k=1nXP(X0 = j, X1 6= j, . . . , Xk−1 6= j, Xk = j)=×P(X0 = j)k=1nP(X0 = j, X1 6= j, . . . , Xk−1 6= j, Xk = j, Xn = j) X×=qj (k)pjj (n − k).P(X0 = j, X1 6= j, . . .

, Xk−1 6= j, Xk = j)k=1Äàëåå íàì ïîòðåáóåòñÿ ïîíÿòèå ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè. Ðàíåå ââîäèëîñü ïîíÿòèå ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, ñîñðåäîòî÷åííîãî íà ðåøåòêå öåëûõ÷èñåë. Ïóñòü òåïåðü {an , n ≥ 1} ïðîèçâîëüíàÿ îãðàíè÷åííàÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñâîéñòâà êîòîðîé òðåáóåòñÿ èçó÷èòü. Ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàçûâàåòñÿ ñóììà ðÿäàg(z) =∞Xn=199an z n .Ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî ïðè êàæäîì z èç ìíîæåñòâà |z| <P1 è ÿâëÿåòñÿ òàìíåïðåðûâíîé (è äàæå àíàëèòè÷åñêîé) ôóíêöèåé. Åñëè, ê òîìó æå, ∞n=1 |an | < ∞, òîíåïðåðûâíîñòü áóäåò èìåòü ìåñòî ïðè |z| ≤ 1. Çíàÿ ôóíêöèþ g(z), ìîæíî îäíîçíà÷íîâîññòàíîâèòü âñå êîýôôèöèåíòû an ; ïî ïîâåäåíèþ ôóíêöèè g(z) ìîæíî îïðåäåëèòüìíîãèå ñâîéñòâà ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ.

Èññëåäîâàíèå ñâîéñòâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè an÷åðåç åå ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ÿâëÿåòñÿ âåñüìà ýôôåêòèâíûì.Ìû âîñïîëüçóåìñÿ ýòèì èíñòðóìåíòîì.Ââåäåì ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèèPj (z) =∞XQj (z) =pjj (n)z n ,|z| < 1,qj (n)z n ,|z| ≤ 1.n=1∞Xn=1Óìíîæèì îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (8) íà z n è ïðîñóììèðóåì ïî n (çäåñü |z| < 1):Pj (z) =∞Xznn=1==∞Xk=1∞XnXqj (k)pjj (n − k) =k=1zk∞Xz n−k qj (k)pjj (n − k) =n=kkz qj (k)∞Xz m pjj (m) = Qj (z)(1 + Pj (z)).m=0k=1Îòñþäà ïîëó÷àåìQj (z) =Pj (z),1 + Pj (z)Pj (z) =Qj (z).1 − Qj (z)(9)Ïóñòü òåïåðü Pj = ∞.

Ïîêàæåì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå Pj (z) → ∞ ïðè z % 1.Äåéñòâèòåëüíî,P∞ ÷èñëî NP äëÿ ëþáîãî êàê óãîäíî áîëüøîãî ÷èñëà M ìîæíî íàéòèp(n)≥2M.ÝòîñëåäóåòèçðàñõîäèìîñòèðÿäàP=òàêîå, ÷òî Njn=1 pjj (n).n=1 jjÄëÿ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë z , äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê 1, áóäåò âûïîëíÿòüñÿ z N ≥ 1/2èNNXXnPj (z) ≥pjj (n)z ≥pjj (n)z N ≥ M.n=1n=1Èòàê, ðàç Pj (z) → ∞, òî Qj (z) → 1, ýòî ñëåäóåò èç ïåðâîãî ðàâåíñòâà â (9).

Ïîñêîëüêóôóêíêöèÿ Qj (z) íåïðåðûâíà â òî÷êå z = 1, òî ïðè z → 1Qj (z) → Qj (1) = Qj = 1,òî åñòü ñîñòîÿíèå âîçâðàòíî.Îáðàòíî, ïóñòü Qj = 1. Òîãäà îïÿòü â ñèëó íåïðåðûâíîñòè Qj (z) → Qj (1) = 1ïðè z → 1, à çíà÷èò Pj (z) → ∞ ýòî ñëåäóåò èç âòîðîãî ðàâåíñòâà â (9). Îòñþäàñëåäóåò, ÷òî Pj = ∞, ïîñêîëüêó â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ðÿäPj (z) =∞Xpjj (n)z nn=1ñõîäèëñÿ áû ïðè |z| ≤ 1 è áûë áû íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé â òî÷êå z = 1, òî åñòü áûëîáû Pj (z) → Pj (1) < ∞, ÷òî íåâîçìîæíî.100Pj.

Òåîðåìà äîêàçàíà.1 + Pj. Ñîñòîÿíèÿ Ei è Ej íàçûâàþòñÿ ñîîáùàþùèìèñÿ, åñëè pij (m) > 0è pji (k) > 0 ïðè íåêîòîðûõ m ≥ 1 è k ≥ 1.. Ñîîáùàþùèåñÿ ñîñòîÿíèÿ îäíîâðåìåííî îáà âîçâðàòíû èëè îáà íåâîçâðàòíû.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü äëÿ ñîñòîÿíèé Ei è Ej âûïîëíÿåòñÿ pij (m) > 0 è pji (k) > 0ïðè íåêîòîðûõ m ≥ 1 è k ≥ 1. Òîãäà ïðè n ≥ 1Åñëè Pj < ∞, òî ïðè z → 1 ïîëó÷àåì èç (9) Qj =ÎïðåäåëåíèåÒåîðåìà ñîëèäàðíîñòèpii (n + m + k) ≥ pij (m)pjj (n)pji (k), pjj (n + m + k) ≥ pji (k)pii (n)pij (m),PP∞ïîýòîìó ðÿäû ∞n=1 pii (n) èn=1 pjj (n) ñõîäÿòñÿ èëè ðàñõîäÿòñÿ îäíîâðåìåííî.5.3.Ýðãîäè÷åñêàÿ òåîðåìàÌû âèäåëè, ÷òî öåïè Ìàðêîâà ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ â êà÷åñòâå ìàòåìàòè÷åñêèõìîäåëåé, êîòîðûå îïèñûâàþò ýâîëþöèþ âî âðåìåíè òîãî èëè èíîãî îáúåêòà.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
829,18 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее