1625915144-a0b004e5d7d0e6e9b8f80b0c67f3317f (843874), страница 17
Текст из файла (страница 17)
ä.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Fn ⇒ F â ñìûñëå ïðèâåäåííîãî âûøå îïðåäåëåíèÿ. Äëÿôèêñèðîâàííîãî y è ε > 0 ïîñòðîèì íåïðåðûâíóþ îãðàíè÷åííóþ ôóíêöèþ gε (t) ñëåäóþùèì îáðàçîì. Îíà ðàâíà åäèíèöå ïðè t < y , íóëþ ïðè t ≥ y + ε, è ëèíåéíà íàîòðåçêå [y, y + ε]:gε (t)Òåîðåìà 16BBB-y y+εÒàê êàêZyZ∞gε (t)dFn (t) ≤Fn (y) =−∞òî−∞Z∞lim Fn (y) ≤ limn→∞n→∞−∞gε (t)dFn (t),Z∞gε (t)dFn (t) =Zy+εgε (t)dF (t) ≤dF (t) = F (y + ε).−∞−∞Óñòðåìèì ε → 0. Åñëè y òî÷êà íåïðåðûâíîñòè F , òîlim Fn (y) ≤ F (y).n→∞81Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî, âçÿâ íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþt < y − ε,1,hε (t) = gε (t + ε) = 0,t ≥ y,ëèíåéíà,t ∈ [y − ε, y],ïîëó÷èì íåðàâåíñòâàZ∞Fn (y) ≥hε (t)dFn (t),−∞lim Fn (y) ≥ F (y).n→∞Óòâåðæäåíèå â îäíó ñòîðîíó äîêàçàíî. Îáðàòíî, ïóñòü g íåïðåðûâíàÿ îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèÿ, |g(y)| ≤ C , è ïóñòü −M è N òî÷êè íåïðåðûâíîñòè F òàêèå, ÷òîεε, 1 − F (N ) <.F (−M ) <5C5CÒîãäàεε, 1 − Fn (N ) <Fn (−M ) <4C4Cïðè âñåõ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n.
Ïîýòîìó Z∞ZNεεεg(y)dFn (y) −g(y)dFn (y) ≤ C+= ,4C 4C2−∞−M Z∞ZNεε2εε+< .g(y)dF (y) −=g(y)dF (y) ≤ C5C 5C52−∞−MÄàëåå áóäåì îïåðèðîâàòü ñ èíòåãðàëàìè ïî ìíîæåñòâó [−M, N ). Ïîñòðîèì íà[−M, N ) ñòóïåí÷àòóþ ôóíêöèþ gε ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ñêà÷êîâ, êîòîðàÿ îòëè÷àëàñüáû îò g ìåíåå ÷åì íà ε/2 è èìåëà ñêà÷êè ëèøü â òî÷êàõ íåïðåðûâíîñòè F . Âíå[−M, N ) ïîëàãàåì gε ðàâíîé íóëþ.
Ïóñòü, ê ïðèìåðó, gε (y) = g(yi ) íà èíòåðâàëå[yi , yi+1 ), ãäå y0 = −M, . . . , yk = N , yi òî÷êè íåïðåðûâíîñòè F . Òîãäà ZNZN εgε (y)dFn (y) −g(y)dFn (y) ≤ ,2−M−M ZNZN εgε (y)dF (y) −g(y)dF (y) ≤ .2−M−MÑëåäîâàòåëüíî, äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n èíòåãðàëûR∞−∞îòëè÷àþòñÿ îòRNgε (y)dFn (y) è−MRNg(y)dFn (y) èR∞g(y)dF (y)−∞gε (y)dF (y) ñîîòâåòñòâåííî ìåíåå, ÷åì íà ε. Íî−MZNgε (y)dFn (y) =k−1Xg(yi )[Fn (yi+1 ) − Fn (yi )] →i=0−Mi=0ZN=k−1Xgε (y)dF (y).−M82g(yi )[F (yi+1 ) − F (yi )]ÏîýòîìóZ∞limn→∞−∞ZNZNg(y)dFn (y) ≤ ε + limn→∞−MZ∞≤ 2ε +gε (y)dFn (y) = ε +gε (y)dF (y)−Mg(y)dF (y),−∞è àíàëîãè÷íîå íåðàâåíñòâî âåðíî äëÿ íèæíåãî ïðåäåëà. Òåîðåìà äîêàçàíà.Çàìå÷àíèÿ1. Åñëè F íåïðåðûâíà, òî ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü Fn ⇒ F ýêâèâàëåíòíà ñõîäèìîñòèFn (y) → F (y) ðàâíîìåðíî ïî âñåì y , ò. å.
sup |Fn (y) − F (y)| → 0.yÄîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü òî÷êè y0 = −∞, y1 , . . . , yk = ∞ òàêîâû, ÷òîF (yi ) − F (yi−1 ) ≤ ε/2.Òîãäà íàéäåòñÿ n0 òàêîå, ÷òî ïðè n ≥ n0|Fn (yi ) − F (yi )| ≤ ε/2 äëÿ âñåõ i = 0, . . . , k.Çàìåòèì ïðè ýòîì, ÷òî Fn (±∞) = F (±∞). Ïóñòü òåïåðü y ïðîèçâîëüíî. Äëÿ íåãîíàéäåòñÿ ÷èñëî i òàêîå, ÷òî y ∈ [yi−1 , yi ).
ÒîãäàεFn (y) − F (y) ≤ Fn (yi ) − F (yi−1 ) ≤ F (yi ) + − F (yi−1 ) ≤ ε,2εFn (y) − F (y) ≥ Fn (yi−1 ) − F (yi ) ≥ F (yi−1 ) − − F (yi ) ≥ −ε,2îòêóäà ñëåäóåò íàøå óòâåðæäåíèå.2. Åñëè Fn è F äèñêðåòíû è èìåþò ñêà÷êè â îäíèõ è òåõ æå òî÷êàõ y1 , y2 , .
. ., òîñëàáàÿ ñõîäèìîñòü Fn ⇒ F ýêâèâàëåíòíà ñõîäèìîñòè Fn (yi + 0) − Fn (yi ) → F (yi + 0) −F (yi ).3. Ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü Fn ⇒ F ðîâíûì ñ÷åòîì íè÷åãî íå ãîâîðèò î ñõîäèìîñòèñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Xn ⊂= Fn , îíè âîîáùå ìîãóò áûòü çàäàíû íà ðàçíûõ âåðîÿòíîñòíûõ ïðîñòðàíñòâàõ. Äàæå åñëè îíè çàäàíû íà îäíîì ïðîñòðàíñòâå, òî ñëåäóþùèéïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî íè î êàêîé ñõîäèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí íå ìîæåò áûòüðå÷è.Ïóñòü ïðè îäíîêðàòíîì áðîñàíèè ìîíåòû X1 ðàâíî ÷èñëó âûïàâøèõ ãåðáîâ (X1ïðèíèìàåò òîëüêî çíà÷åíèÿ 1 è 0 ñ ðàâíûìè âåðîÿòíîñòÿìè), à X2 ðàâíî ÷èñëó âûïàâøèõ ðåøåê. ßñíî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X1 , X2 , X1 , X2 , . .
. íè ê ÷åìó íå ñõîäèòñÿ,õîòÿ âñå ÷ëåíû ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èìåþò îäíî è òî æå ðàñïðåäåëåíèå. êà÷åñòâå ïðèìåðà ñëàáî ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî ðàññìîòðåòü Fn (y) = U− 1 ,0 (y). Çäåñü Fn (y) → I0 (y) äëÿ âñåõ y , êðîìånòî÷êè ðàçðûâà y = 0.PÅñëè Xn → X , òî FXn ⇒ FX . Îáðàòíîå íåâåðíî. Îäíàêî åñëè FX =PIa âûðîæäåííîå ðàñïðåäåëåíèå, òî èç FXn ⇒ Ia ñëåäóåò Xn → a.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü g íåïðåðûâíàÿ îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèÿ, òîãäàPg(Xn ) → g(X), è â ñèëó òåîðåìû î ìàæîðèðóåìîé ñõîäèìîñòè Eg(Xn ) → Eg(X), ÷òîäîêàçûâàåò ïåðâóþ ÷àñòü òåîðåìû. Äàëåå, åñëè FXn ⇒ Ia , òîεP(|Xn − a| < ε) = P(a − ε < Xn < a + ε) ≥ P(a − ≤ Xn < a + ε) =2ε= FXn (a + ε) − FXn (a − ) → 1,283Òåîðåìà 2.εïîñêîëüêó a + ε è a − ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ2Fa . Òåîðåìà äîêàçàíà.Òàêèì îáðàçîì, çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë òàêæå ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ïðèìåðîâ ñëàáîéñõîäèìîñòè ðàñïðåäåëåíèé FSn /n ⇒ Fa .4.5.Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèèÍàðÿäó ñ âåùåñòâåííîçíà÷íûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè ìîæíî ðàññìàòðèâàòüè êîìïëåêñíîçíà÷íûå âèäà X1 + iX2 . Ïî îïðåäåëåíèþ ïîëàãàåìE(X1 + iX2 ) = EX1 + iEX2 .Íåçàâèñèìîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X1 +iX2 è Y1 +iY2 ìîæíî ïîíèìàòü êàê íåçàâèñèìîñòü σ -àëãåáð σ(X1 , X2 ) è σ(Y1 , Y2 ), ïîðîæäåííûõ ñëó÷àéíûìè âåêòîðàìè (X1 , X2 )è (Y1 , Y2 ).
Íåòðóäíî ïðîâåðèòü òàêæå äëÿ êîìïëåêñíîçíà÷íûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíâûïîëíåíèå âñåõ îñíîâíûõ ñâîéñòâ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé (êðîìå, ðàçóìååòñÿ,òåõ, ãäå ñðàâíèâàþòñÿ âåëè÷èíû áåç ìîäóëÿ), âêëþ÷àÿ ñâîéñòâî E(XY ) = EXEYäëÿ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.Õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé (õ. ô.) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû XíàçûâàåòñÿÎïðåäåëåíèå.ϕX (t) = EeitXZ∞=Z∞itye dFX (y) =−∞Z∞cos ty dFX (y) + i−∞sin ty dFX (y),−∞ < t < ∞.−∞Åñëè FX àáñîëþòíî íåïðåðûâíà, òî õ. ô. åñòü ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïëîòíîñòèðàñïðåäåëåíèÿ.  ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëîì âû÷èñëåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèéôóíêöèé îò ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èìååì∞P eityk P(X = yk )(äëÿ äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé),k=1ϕX (t) = R∞ity(äëÿ ðàñïðåäåëåíèé ñ ïëîòíîñòüþ). e fX (y)dy−∞Õ.ô.
âñåãäà ñóùåñòâóåò, òàê êàê ∞ Z∞Z ity e dFX (y) = 1.|ϕX (t)| = eity dFX (y) ≤−∞−∞Ñâîéñòâà õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé.1. ϕX (0) = 1, |ϕX (t)| ≤ 1.2. ϕaX+b (t) = eitb ϕX (at),ϕX (t) = ϕX (−t) = ϕ−X (t).3. Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , . . . , Xn íåçàâèñèìû, òîϕX1 +...+Xn (t) = ϕX1 (t) . .
. ϕXn (t).4. Åñëè ñóùåñòâóåò E|X|k < ∞, k ≥ 1, òî ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíàÿ k -ÿ ïðîèçâîä(k)(k)íàÿ ϕX (t) è ϕX (0) = ik EX k .84Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó òîãî, ÷òî ðàâíîìåðíî ïî t âûïîëíÿåòñÿ ∞Z Z∞ iyeity dFX (y) ≤|y|dFX (y) < ∞,−∞−∞ìîæíî äèôôåðåíöèðîâàòü ïîä çíàêîì èíòåãðàëà: ∞0ZZ∞ϕ0X (t) = eity dFX (y) =iyeity dFX (y).−∞−∞Äàëüøå äåéñòâóåì ïî èíäóêöèè. Ïóñòü ïðè l < k(l)ϕX (t)Z∞=(iy)l eity dFX (y),−∞òîãäà(l+1)ϕX (t)Z∞=(iy)l+1 eity dFX (y)−∞â ñèëó ðàâíîìåðíîé ïî t ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà â ïðàâîé ÷àñòè. Èòàê,(k)ϕX (t)Z∞=(iy)k eity dFX (y),−∞è îñòàåòñÿ ïîëîæèòü t = 0 â ýòîì âûðàæåíèè.Óñòàíîâèì íåïðåðûâíîñòü ïðîèçâîäíîé.(k)|ϕX (t+ h) −(k)ϕX (t)| Z∞ Z∞kki(t+h)yity= iy e− e dFX (y) ≤|y|k eihy − 1dFX (y) → 0−∞−∞â ñèëó òåîðåìû î ìàæîðèðóåìîé ñõîäèìîñòè, ò.
ê. eiXh − 1 → 0 ïðè h → 0, è, êðîìåòîãî,|X|k eihX − 1 ≤ 2|X|k , E|X|k < ∞.Ñëó÷àé k = 0 íå èñêëþ÷àåòñÿ, ò. å. ìû óñòàíîâèëè êðîìå âñåãî ïðî÷åãî, ÷òî õ. ô.ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé.5. Åñëè E|X|k < ∞, òî â îêðåñòíîñòè òî÷êè t = 0ϕX (t) = 1 +kX(it)jj=1j!EX j + o(|t|k ).Ïðèìåðû.1. Åñëè X ⊂= Ia , òî ϕa (t) = eiat .2. Åñëè X ⊂= Πλ , òîϕX (t) =∞Xeitk λkk=0k!e−λ = exp{λ(eit − 1)}.853.
Ïóñòü X ⊂= Φα,σ2 . Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî X = σY + α, ãäå Y ⊂= Φ0,1 . Çíà÷èò,iαtϕX (t) = e ϕY (σt). Íàéäåì ϕY (t). Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ýòó ôóíêöèþ ïî t, ïîëó÷èìϕ0Y (t)1=√2πZ∞1dy = √2π2ity− y2iye−∞Z∞y2ieity d − e− 2=−∞∞Z∞2y2 1ity− 2 ity− y2− ie−te=√dy = −tϕY (t),2π−∞−∞ò. å. [ln ϕY (t)]0 = −t.
Îòñþäà ïîëó÷àåìln ϕY (t) = −t2+ C.2Ïîñêîëüêó ϕY (0) = 1, òî C = 0,t2ϕY (t) = e− 2 ,ϕX (t) = eiαt−σ 2 t22.Ïîëüçóÿñü ýòîé ôîðìóëîé, óäîáíî íàõîäèòü ìîìåíòû ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X .Äàëåå ìû óñòàíîâèì âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ è õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè.(ôîðìóëà îáðàùåíèÿ). Åñëè F ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, à ϕ ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé õ. ô., òî äëÿ ëþáûõ òî÷åê íåïðåðûâíîñòè x è y ôóíêöèè FÒåîðåìà1limF (y) − F (x) =2π σ→0Z∞e−itx − e−ity2 2ϕ(t)e−t σ dt.it−∞Çàìå÷àíèå.Åñëè ôóíêöèÿ ϕ(t)/t èíòåãðèðóåìà íà áåñêîíå÷íîñòè, òî ñòàíîâèòñÿ çàêîííûì ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ïîä çíàêîì èíòåãðàëà â ýòîé ôîðìóëå, è ìîæíîçàïèñàòüZ∞ −itx1e− e−ityϕ(t)dt.F (y) − F (x) =2πit−∞Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû. Ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òî ñóùåñòâóåò ïëîòíîñòüf (y) = F 0 (y), à õ.ô.
ϕ(t) èíòåãðèðóåìà. Òîãäà ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîéäëÿ îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå1f (u) =2πZ∞e−itu ϕ(t)dt−∞èZyF (y) − F (x) =1f (u)du =2π1=2πZye−itu ϕ(t)dtdu =x −∞xZ∞Zy Z∞1e−itu duϕ(t)dt =2π−∞ xZ∞e−itx − e−ityϕ(t)dt.it−∞Ïåðåìåíà ïîðÿäêà èíòåãðèðîâàíèÿ çäåñü âîçìîæíà â ñèëó èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè ϕ(t).86Ïóñòü òåïåðü F ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, è ïóñòü (X, Y ) ñëó÷àéíûé âåêòîð, èìåþùèé ñîâìåñòíóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ FX,Y (u, v) = F (u)Φ0,1 (v),ò.å. X è Y íåçàâèñèìû, X ⊂= F, Y ⊂= Φ0,1 .
Ââåäåì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó√Zk = σk 2Y ⊂= Φ0,2σk2 .Åñëè σk → 0, òî ïî÷òè íàâåðíîå Zk → 0 è X + Zk → X . Ñëåäîâàòåëüíî, FX+Zk ⇒ FX .Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X + Zk áóäåò îáëàäàòü ïëîòíîñòüþ è åå õ.2 2ô., ðàâíàÿ ϕ(t)e−t σk , èíòåãðèðóåìà. Ïîýòîìó1FX+Zk (y) − FX+Zk (x) =2πZ∞e−itx − e−ity2 2ϕ(t)e−t σk dt.it−∞Åñëè x è y òî÷êè íåïðåðûâíîñòè F , òî F (y) − F (x) = lim (FX+Zk (y) − FX+Zk (x)).σk →0Îòñþäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû.Õ. ô. ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò åå ôóíêöèþðàñïðåäåëåíèÿ.Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç ôîðìóëû îáðàùåíèÿ è èç òîãî, ÷òî ðàçíîñòè F (y)−F (x)îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò F . Äîñòàòî÷íî äëÿ ýòîãî â ôîðìóëå îáðàùåíèÿ óñòðåìèòüx → −∞.Ïóñòü X1 ⊂= Πλ1 , X2 ⊂= Πλ2 , X1 è X2 íåçàâèñèìû, òîãäàX1 + X2 ⊂= Πλ1 +λ2 .Ýòîò ôàêò óæå äîêàçûâàëñÿ ðàíåå ïðÿìûìè âû÷èñëåíèÿìè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
