1625915144-a0b004e5d7d0e6e9b8f80b0c67f3317f (843874), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Òîãäà âûðîæäåíèþ ïðîöåññà áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòüñîáûòèå∞∞[[A={Yn = 0} =An .n=1n=1Îáîçíà÷èì ÷åðåç r = P(A) âåðîÿòíîñòü âûðîæäåíèÿ.. Âåðîÿòíîñòü âûðîæäåíèÿ r ðàâíà íàèìåíüøåìó êîðíþ óðàâíåíèÿÒåîðåìà(11)z = g(z)íà îòðåçêå [0, 1].Äîêàçàòåëüñòâî.Î÷åâèäíî, A1 ⊂ A2 ⊂ . . ., ïîýòîìó ïî ñâîéñòâó íåïðåðûâíîñòè âåðîÿòíîñòèr = P(A) = lim P(An ) = lim gn (0).n→∞n→∞Óñòðåìèì n ê áåñêîíå÷íîñòè â ðàâåíñòâågn+1 (0) = g(gn (0)),òîãäà ïðåäåëîì ëåâîé ÷àñòè áóäåò ÷èñëî r, à ïðàâàÿ ÷àñòü ñòðåìèòñÿ ê g(r) â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè g(z), òî åñòü äåéñòâèòåëüíî âåðîÿòíîñòü âûðîæäåíèÿóäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ r = g(r). Îäíàêî ó óðàâíåíèÿ (11) ìîãóò áûòü è äðóãèå êîðíè, ïîýòîìó îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî r ñîâïàäàåò ñ íàèìåíüøèì êîðíåì ýòîãîóðàâíåíèÿ íà [0,1].(1)Òðèâèàëüíûé ñëó÷àé: åñëè P(X1 = 1) = 1, òî Yn = 1 ïðè âñåõ n, òî åñòü âûðîæäåíèÿ íå ïðîèñõîäèò è, åñòåñòâåííî, r = 0. Ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå g(z) ≡ z , òîóðàâíåíèå (11) ïðåâðàùàåòñÿ â òîæäåñòâî z = z , íàèìåíüøèì ðåøåíèåì êîòîðîãî íà[0,1] ÿâëÿåòñÿ íóëü.(1)Ïóñòü òåïåðü P(X1 = 1) < 1.
Âûÿñíèì, êàê âûãëÿäèò ãðàôèêôóíêöèè g(z) íàP00[0,1]. Ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé âíèç, ïîñêîëüêó g (z) =k(k − 1)z k−2 pk ≥ 0.P(1)Êðîìå òîãî, g(1) = 1. Îáîçíà÷èì a = E X1 è çàìåòèì, ÷òî a =k pk = g 0 (1).Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ.(1)1) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî a ≤ 1. Åñëè P(X1 > 1) = 0, òî ãðàôèêîì ôóíêöèè g(z)áóäåò ïðÿìàÿ g(z) = p0 + zp1 (Ðèñ. 1à), ïðè÷åì p0 > 0.
Ïîñêîëüêó g(1) = 1 è g 0 (1) < 1,òî åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (11) íà [0,1] áóäåò ÷èñëî z = 1, òî åñòü â ýòîì(1)ñëó÷àå r = 1. Åñëè æå P(X1 > 1) > 0, òî êðèâàÿ y = g(z) òàêæå áóäåò ïåðåñåêàòüïðÿìóþ y = z òîëüêî ïðè z = 1 (Ðèñ. 1á), òî åñòü è â ýòîì ñëó÷àå r = 1.1061 61 6y = g(z)0Ðèñ. 1ày = g(z)-1z0Ðèñ. 1á1-z(1)2) Ïóñòü òåïåðü a > 1. Òîãäà, ðàçóìååòñÿ, P(X1 > 1) > 0, è óðàâíåíèå (11) èìååòðîâíî äâà êîðíÿ r1 < 1 è r2 = 1 (Ñì. Ðèñ. 2).1 6y = g(z)0r1Ðèñ. 21-zÏðåäïîëîæèì, ÷òî r = r2 = 1.
Òîãäà δn = 1 − gn (0) → 1 − r = 0 ïðè n → ∞ è,ñëåäîâàòåëüíî, g(1 − δn ) < 1 − δn ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n.  ýòîì ñëó÷àåδn+1 = 1 − gn+1 (0) = 1 − g(gn (0)) = 1 − g(1 − δn ) > 1 − (1 − δn ) = δn ,÷òî ïðîòèâîðå÷èò ñõîäèìîñòè δn → 0. Çíà÷èò, r = r1 . Òåîðåìà äîêàçàíà.Èòàê, ìû âèäèì, ÷òî âîçìîæíîñòü âûðîæäåíèÿ ïðîöåññà îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèåìñðåäíåãî ÷èñëà ïîòîìêîâ îäíîé ÷àñòèöû. Åñëè èñêëþ÷èòü èç ðàññìîòðåíèÿ óïîìÿíóòûé âûøå òðèâèàëüíûé ñëó÷àé, òî ïðè a ≤ 1 ïðîöåññ âûðîæäàåòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþåäèíèöà, à ïðè a > 1 âåðîÿòíîñòü âûðîæäåíèÿ ìåíüøå åäèíèöû (îíà îáðàùàåòñÿ â(1)íóëü ïðè g(0) = 0 = P(X1 = 0)).Âåòâÿùèéñÿ ïðîöåññ ïðèíÿòî íàçûâàòü äîêðèòè÷åñêèì, åñëè a < 1, êðèòè÷åñêèìïðè a = 1, è íàäêðèòè÷åñêèì, åñëè a > 1.7.Ñëó÷àéíûå ïðîöåññû ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì7.1.Îáùèå îïðåäåëåíèÿ.
Âèíåðîâñêèé ïðîöåññÄî ñèõ ïîð ìû ðàññìàòðèâàëè ñåìåéñòâà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ó êîòîðûõ ìíîæåñòâî èíäåêñîâ êîíå÷íî èëè ñ÷åòíî, òî åñòü ìû ðàññìàòðèâàëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòèñëó÷àéíûõ âåëè÷èí {Xn , n ≥ 1}. Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ çíà÷åíèÿ èíäåêñà n èíòåðïðåòèðîâàëèñü êàê äèñêðåòíûå ìîìåíòû âðåìåíè.. Ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíîå ñåìåéñòâî ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí {Xt , t ∈ T ⊂ R}, çàäàííûõ íà îäíîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå. îòëè÷èå îò ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ïðè ðàññìîòðåíèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ÷àùå âñåãî ïðåäïîëàãàþò, ÷òî T = [a, b] èëè T = [0, ∞). Ïàðàìåòð tèíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê âðåìÿ.Îïðåäåëåíèå107Îòìåòèì, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîì t ìû èìååì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó Xt (ω), à ïðèôèêñèðîâàííîì ω ïîëó÷àåì ôóíêöèþ {Xt , t ∈ T }, íàçûâàåìóþ îáû÷íî òðàåêòîðèåéïðîöåññà.Åñëè çàôèêñèðóåì t1 , . . .
, tn íåêîòîðûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà t, òî èì áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü ñëó÷àéíûé âåêòîð (Xt1 , Xt2 , . . . , Xtn ). Ðàñïðåäåëåíèÿ âñåâîçìîæíûõ òàêèõ âåêòîðîâ, êîãäà t1 ∈ T, . . . , tn ∈ T , íàçûâàþòñÿ êîíå÷íîìåðíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè ïðîöåññà.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî X0 (ω) = 0.. Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ {Xt , t ≥ 0} íàçûâàåòñÿ ïðîöåññîì ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè, åñëè äëÿ ëþáûõ 0 ≤ t0 < t1 < . . . < tn ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûXt0 , Xt1 − Xt0 , . . . , Xtn − Xtn−1 íåçàâèñèìû.. Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè íàçûâàåòñÿîäíîðîäíûì, åñëè ïðè ëþáûõ t0 < t1 ðàñïðåäåëåíèå Xt1 − Xt0 îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêîäëèíîé èíòåðâàëà t1 − t0 è íå çàâèñèò îò t0 .Ñðåäè îäíîðîäíûõ ïðîöåññîâ ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè îñîáóþ ðîëü èãðàåò âèíåðîâñêèé ïðîöåññ.
Äåòàëüíîå èçó÷åíèå åãî ñâîéñòâ òðåáóåò ïðèâëå÷åíèÿ âåñüìàñëîæíîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåõíèêè, ÷òî âûõîäèò çà ðàìêè íàøåãî êóðñà. Ìû îãðàíè÷èìñÿ îïèñàíèåì êà÷åñòâåííîé êàðòèíû.Èòàê, îäíîðîäíûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ Xt ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè íàçûâàåòñÿ âèíåðîâñêèì (ïî èìåíè èçâåñòíîãî ìàòåìàòèêà Í. Âèíåðà), åñëè Xt ⊂= Φ0,t . Ýòîòïðîöåññ íàçûâàþò òàêæå ïðîöåññîì áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ, ïîòîìó ÷òî åãî òðàåêòîðèè íàèëó÷øèì îáðàçîì îïèñûâàþò äâèæåíèå áðîóíîâñêîé ÷àñòèöû.
Çäåñü èìååòñÿ ââèäó îäíîìåðíîå äâèæåíèå ÷àñòèöû âäîëü îñè îðäèíàò, à ïî îñè àáñöèññ ïî-ïðåæíåìóîòêëàäûâàåòñÿ âðåìÿ. Ðàçóìååòñÿ, äëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ áðîóíîâñêîé ÷àñòèöû íàïëîñêîñòè ïîòðåáóåòñÿ ââîäèòü äâóìåðíûé âèíåðîâñêèé ïðîöåññ, ÷åãî ìû äåëàòü íåáóäåì.Òðàåêòîðèè âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà óñòðîåíû âåñüìà ñëîæíûì îáðàçîì. Êàæäàÿòðàåêòîðèÿ ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé ïåðåìåííîé t, îäíàêî íè â îäíîé òî÷êåïðîèçâîäíàÿ ýòîé ôóíêöèè íå ñóùåñòâóåò.
Ãðóáî ãîâîðÿ, òðàåêòîðèÿ èìååò èçëîìûâ êàæäîé òî÷êå. Ýòî ÿâëÿåòñÿ îòðàæåíèåì òîãî ôàêòà, ÷òî áðîóíîâñêàÿ ÷àñòèöà âêàæäûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè èñïûòûâàåò îãðîìíîå ÷èñëî ñòîëêíîâåíèé, ìåíÿþùèõíàïðàâëåíèå åå äâèæåíèÿ.Îòìåòèì åùå îäíî íåîáû÷íîå ñâîéñòâî òðàåêòîðèé. Åñëè ïðîëîæèòü âäîëü òðàåêòîðèè áðîóíîâñêîé ÷àñòèöû (ñêàæåì, ïðè 0 ≤ t ≤ 1) íèòî÷êó, êîòîðàÿ ïîâòîðÿåòâñå èçëîìû è èçãèáû òðàåêòîðèè, òî äëèíà ýòîé íèòî÷êè îêàæåòñÿ áåñêîíå÷íîé.Âåðíåìñÿ ê ðàññìîòðåíèþ ñóìì íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Sn = X1 +.
. .+Xn . Ïðåäïîëîæèì äëÿ ïðîñòîòû, ÷òî E X1 = 0, E X12 = 1,è ïóñòü S0 = 0. Åñëè íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè ñîåäèíèòü îòðåçêàìè ïðÿìûõ òî÷êèñ êîîðäèíàòàìè (k, Sk ), k = 0, 1, . . . , n, òî ïîëó÷èòñÿ ëîìàíàÿ, íàçûâàåìàÿ òðàåêòîðèåé ñëó÷àéíîãî áëóæäàíèÿ.ÎïðåäåëåíèåÎïðåäåëåíèå6Sk@@0A1A 2 3AAHH@ @108n-kÈçâåñòíûå ïðåäåëüíûå òåîðåìû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé (çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë, öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà) èçó÷àþò ïðåäåëüíîå ïîâåäåíèå ïðè n → ∞ ðàñïðåäåëåíèÿ Sn , òî åñòü îðäèíàòû êîíöà ýòîé ëîìàíîé. Îäíàêî ìîæíî èçó÷àòü ïðåäåëüíîåïîâåäåíèåâñåé ëîìàíîé. Åñëè ñæàòü åå ïî îñè àáñöèññ â n ðàç, à ïî îñè îðäèíàò√â n ðàç, òî ïîëó÷èì ëîìàíóþ, çàäàííóþ óæå íà îòðåçêå [0,1], ïðè ýòîì åå çâåíüÿóìåíüøàòñÿ â ðàçìåðàõ. Îêàçûâàåòñÿ, ïðè n → ∞ ýòà ñæàòàÿ ëîìàíàÿ áóäåò âñå áîëåå ïîõîäèòü íà òðàåêòîðèþ âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà.
Äðóãèìè ñëîâàìè, âèíåðîâñêèéïðîöåññ ÿâëÿåòñÿ â íåêîòîðîì ñìûñëå ïðåäåëüíûì äëÿ òðàåêòîðèé ñëó÷àéíîãî áëóæäàíèÿ è â ýòîì çàêëþ÷àåòñÿ åãî äîïîëíèòåëüíàÿ öåííîñòü. Ìû ìîæåì èçó÷àòüñâîéñòâà òðàåêòîðèé âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà, èçó÷èâ èõ ñíà÷àëà äëÿ êàêîãî-íèáóäüâåñüìà ïðîñòîãî ñëó÷àéíîãî áëóæäàíèÿ, à çàòåì îñóùåñòâèâ ïðåäåëüíûé ïåðåõîä, èíàîáîðîò, çíàÿ ñâîéñòâà âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà, ìîæåì äåëàòü ñîîòâåòñòâóþùèå âûâîäû äëÿ áëèçêèõ ê íåìó òðàåêòîðèé ñëó÷àéíîãî áëóæäàíèÿ.Íèæå ìû ðàññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî îäèí èç íàèáîëåå ïðîñòûõ è â òî æå âðåìÿäîñòàòî÷íî âàæíûõ äëÿ ïðèëîæåíèé ïðîöåññîâ ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè ïóàññîíîâñêèé.7.2.Ïðîöåññ ÏóàññîíàÏðåäïîëîæèì, ÷òî â ñëó÷àéíûå ìîìåíòû âðåìåíè îäíî çà äðóãèì ïðîèñõîäÿòíåêîòîðûå ñîáûòèÿ.
Íàñ èíòåðåñóåò ÷èñëî òàêèõ ñîáûòèé, ïðîèçîøåäøèõ â ïðîìåæóòêå âðåìåíè [0, t]. Îáîçíà÷èì Xt ýòî ÷èñëî.Ïðèìåðàìè òàêèõ ñèòóàöèé ìîãóò áûòü ÷èñëî ÷àñòèö, çàôèêñèðîâàííûõ ïðèáîðîì, ÷èñëî ñòàíêîâ, âûøåäøèõ èç ñòðîÿ, ÷èñëî ñóäîâ, ïðèáûâøèõ â ïîðò è ò.ä.Îòíîñèòåëüíî ïðîöåññà ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèé áóäåì ïðåäïîëàãàòü ñëåäóþùåå.I. Xt îäíîðîäíûé ïðîöåññ ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè.Ýòî îçíà÷àåò, âî-ïåðâûõ, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ k ñîáûòèé â ëþáîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè [τ, τ + t] çàâèñèò òîëüêî îò t è íå çàâèñèò îò τ ; âî-âòîðûõ, ýòî âñåïðîèñõîäèò âíå çàâèñèìîñòè îò òîãî, ñêîëüêî ñîáûòèé è êàê ïîÿâëÿëèñü äî ìîìåíòà τ .II.
Îáîçíà÷èì Pk (t) = P(Xt = k), k = 0, 1, . . ., è áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïðèh→0∞XP(Xh ≥ 2) =Pk (h) = o(h).k=2Ýòî óñëîâèå îçíà÷àåò ïðàêòè÷åñêóþ íåâîçìîæíîñòü ïîÿâëåíèÿ äâóõ èëè áîëåå ñîáûòèé çà ìàëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè h.Íàøà çàäà÷à íàéòè â ýòèõ óñëîâèÿõ âåðîÿòíîñòè Pk (t). Ìû ïîêàæåì, ÷òî çàèñêëþ÷åíèåì íåêîòîðûõ òðèâèàëüíûõ ñëó÷àåâ èìååò ìåñòîPk (t) =(λt)k −λte ,k!k = 0, 1, . . .
,ïðè íåêîòîðîì λ > 0.Íàøè äåéñòâèÿ ðàçîáüåì íà íåñêîëüêî ýòàïîâ.1. Ïîêàæåì, ÷òî çà èñêëþ÷åíèåì íåêîòîðûõ ïðîñòûõ ñèòóàöèé ïðè íåêîòîðîìλ > 0 âûïîëíÿåòñÿ P0 (t) = e−λt .Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü p = P0 (1). Ðàçîáüåì îòðåçîê âðåìåíè [0,1] íà n ðàâíûõ ÷àñòåé; îòñóòñòâèå ñîáûòèé çà åäèíèöó âðåìåíè îçíà÷àåò, ÷òî íà êàæäîì èç ìàëåíüêèõ109ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè äëèíû 1/n ïðîèñõîäèò 0 ñîáûòèé.  ñèëó íåçàâèñèìîñòè ïîëó÷àåì p = (P0 (1/n))n , îòêóäà P0 (1/n) = p1/n . Îòñþäà ñðàçó æå ñëåäóåò P0 (k/n) = pk/nïðè ëþáîì k ≥ 1.Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî âîîáùå P0 (t) = pt ïðè âñåõ t ≥ 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
