1625915144-a0b004e5d7d0e6e9b8f80b0c67f3317f (843874), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Èç áîëüøîé ãðóïïû ëþäåé, ãäå ïîðîâíó ìóæ÷èí è æåíùèí, âûáðàëèíàóãàä ÷åëîâåêà. Ïóñòü ñîáûòèå A îçíà÷àåò, ÷òî âûáðàíà æåíùèíà. Òàê êàê æåíùèí ïîëîâèíà, òî P(A) = 1/2. Òåïåðü âûáåðåì ñîáûòèå B , íèêàê íå ñâÿçàííîå ñ ïîëîì, íàïðèìåð òàêîå: ôàìèëèÿ âûáðàííîãî ÷åëîâåêà íà÷èíàåòñÿ íà áóêâó¾Ê¿. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ëþäåé ñ ôàìèëèåé íà áóêâó ¾Ê¿ âñåãî 5 %, îòêóäà ñëåäóåòP(B) = 5/100 = 1/20. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ P(AB) ìû äîëæíû âçÿòü 1/20 äîëþ îò ïîëîâèíû âñåé ãðóïïû, ò. å. P(AB) = 1/20·1/2 = P(B)·P(A). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âûáåðåìñîáûòèå C , çàâèñÿùåå îò ïîëà âûáðàííîãî ÷åëîâåêà, íàïðèìåð òàêîå: âûáðàííûé ÷åëîâåê íîñèò æåíñêîå èìÿ.
Ñîáûòèÿ A è C ïðàêòè÷åñêè íå ðàçëè÷àþòñÿ, âåðîÿòíîñòèP(C) è P(AC) ðàâíû ïðèìåðíî 1/2. Îäíàêî äëÿ âû÷èñëåíèÿ P(AC) âðÿä ëè ñòîèòáðàòü ïîëîâèíó îò ïîëîâèíû âñåé ãðóïïû ëþäåé, ò. å. P(AC) 6= 1/2 · 1/2.Çàìå÷àíèÿ181. Íå ïóòàòü íåçàâèñèìûå è íåñîâìåñòíûå ñîáûòèÿ! Íåñîâìåñòíûå ñîáûòèÿ ýòîòå, êîòîðûå íå èìåþò îáùèõ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ. Íåñîâìåñòíîñòü ÿâëÿåòñÿ âñåãîëèøü ñâîéñòâîì âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ìíîæåñòâ. Íåçàâèñèìîñòü ýòî ñâîéñòâîíå òîëüêî ìíîæåñòâ, íî è, ãëàâíûì îáðàçîì, âåðîÿòíîñòè, ò. å. çàäàííîé íà ýòèõìíîæåñòâàõ ôóíêöèè. Áîëåå òîãî, åñëè ñîáûòèÿ A è B íåñîâìåñòíû, òî îíè ÷àùåâñåãî çàâèñèìû, òàê êàê èç AB = ∅ ñëåäóåò P(AB) = 0, ÷òî ìîæåò ñîâïàäàòü ñP(A) P(B) òîëüêî åñëè õîòÿ áû îäíî èç ðàññìàòðèâàåìûõ ñîáûòèé èìååò íóëåâóþâåðîÿòíîñòü.2.
Åñëè A è B íåçàâèñèìû, òî íåçàâèñèìû òàêæå A è B̄ , Ā è B , Ā è B̄ (ò. å.ïåðåõîä ê äîïîëíåíèþ íå ïîðòèò íåçàâèñèìîñòè).Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü òîëüêî ïåðâîå èç ýòèõ óòâåðæäåíèé. Îíî ñëåäóåò èç ïðîñòûõñîîòíîøåíèé:P(AB̄) = P(A \ AB) = P(A) − P(AB) = P(A) − P(A)P(B) == P(A)(1 − P(B)) = P(A)P(B̄).Äàííîå âûøå îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü íà ñëó÷àé ëþáîãî êîëè÷åñòâà n ñîáûòèé.. Ñîáûòèÿ A1 , A2 , . . . , An íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè â ñîâîêóïíîñòè, åñëè äëÿ ëþáîãî ïîäìíîæåñòâà èíäåêñîâÎïðåäåëåíèå{i1 , i2 , . .
. , ik } ⊂ {1, 2, . . . , n}, 2 ≤ k ≤ n,âûïîëíÿåòñÿP(Ai1 Ai2 . . . Aik ) = P(Ai1 )P(Ai2 ) . . . P(Aik ).Ê ñîæàëåíèþ, ïîïàðíîé íåçàâèñèìîñòè ñîáûòèé íåäîñòàòî÷íî äëÿ òîãî, ÷òîáûóêàçàííîå ñâîéñòâî âûïîëíÿëîñü ïðè k > 2.Ïðèìåð Áåðíøòåéíà. Íà ïëîñêîñòü áðîñàåòñÿ òåòðàýäð, òðè ãðàíè êîòîðîãî îêðàøåíû ñîîòâåòñòâåííî â êðàñíûé, çåëåíûé è ñèíèé öâåòà, à íà ÷åòâåðòóþ ãðàíü íàíåñåíû âñå òðè ýòè öâåòà. Îáîçíà÷èì R, G è B ñîáûòèÿ, îçíà÷àþùèå, ÷òî íà âûïàâøåéêíèçó ãðàíè ïðèñóòñòâóåò ñîîòâåòñòâåííî êðàñíûé, çåëåíûé èëè ñèíèé öâåò. Ïîñêîëüêó êàæäûé öâåò ïðèñóòñòâóåò íà äâóõ ãðàíÿõ èç ÷åòûðåõ, òî P(R) = P(G) = P(B) =1/2. Î÷åâèäíî, ïîïàðíàÿ íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé èìååò ìåñòî, P(RG) = P(GB) =P(RB) = 1/4, îäíàêî P(RGB) = 1/4 6= P(R)P(G)P(B).1.6.Ñõåìà ÁåðíóëëèÐàññìîòðèì íåñêîëüêî çàäà÷, ïðèâîäÿùèõ ê îäíîé è òîé æå ìîäåëè.Çàäà÷à 1.
Èçâåñòíî, ÷òî âåðîÿòíîñòü ðîæäåíèÿ ìàëü÷èêà ðàâíà 0.515, äåâî÷êè 0.485. Íåêîòîðàÿ ñóïðóæåñêàÿ ïàðà çàïëàíèðîâàëà èìåòü 10 äåòåé. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ìàëü÷èêîâ è äåâî÷åê ðîäèòñÿ ïîðîâíó?Çàäà÷à 2. Ñòðåëîê â òèðå ïîïàäàåò â öåëü ñ âåðîÿòíîñòüþ p è ïðîìàõèâàåòñÿ ñâåðîÿòíîñòüþ q = 1 − p. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ïðîèçîéäåò ðîâíî k ïîïàäàíèé çàn âûñòðåëîâ? Çäåñü k ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáûå çíà÷åíèÿ îò 0 äî n.Çàäà÷à 3.
Èçãîòîâëåíî n èçäåëèé, ïðè÷åì êàæäîå èç íèõ íåçàâèñèìî îò äðóãèõîêàçûâàåòñÿ áðàêîâàííûì ñ âåðîÿòíîñòüþ p. Ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ ïðè ïðîâåðêå íàïðèãîäíîñòü áóäåò îáíàðóæåíî k áðàêîâàííûõ èçäåëèé?Âûäåëèì îáùèå ÷åðòû ýòèõ çàäà÷:1) â êàæäîé èç íèõ èìååòñÿ íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé;192) êàæäîå èñïûòàíèå ìîæåò çàâåðøèòüñÿ îäíèì èç äâóõ âîçìîæíûõ èñõîäîâ, íàçîâåì èõ óñëîâíî ¾óñïåõ¿ è ¾íåóñïåõ¿;3) âåðîÿòíîñòü ¾óñïåõà¿ íå ìåíÿåòñÿ îò èñïûòàíèÿ ê èñïûòàíèþ è ðàâíà p.Îáîçíà÷èì Sn ÷èñëî óñïåõîâ, ðåàëèçîâàâøèõñÿ â n èñïûòàíèÿõ.
Âîïðîñ ñòîèò îáîòûñêàíèè P(Sn = k) ïðè 0 ≤ k ≤ n.×òîáû ðåøèòü ýòó çàäà÷ó, íóæíî ñíà÷àëà ïîñòðîèòü âåðîÿòíîñòíóþ ìîäåëü.Íà÷íåì ñ îïèñàíèÿ ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ. Áóäåì ïèñàòü ¾Ó¿, åñëèïðîèçîøåë óñïåõ â èñïûòàíèè, è ¾Í¿ â ñëó÷àå íåóñïåõà. Òîãäà èñõîäàìè ýêñïåðèìåíòà, ñîñòîÿùåãî èç n èñïûòàíèé, áóäóò âñåâîçìîæíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äëèíûn, ó êîòîðûõ íà êàæäîì ìåñòå ñòîèò îäèí èç ýòèõ äâóõ ñèìâîëîâ. Âñåãî òàêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé 2n . Òàêèì îáðàçîì, ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ÿâëÿåòñÿäèñêðåòíûì; áîëåå òîãî, îíî êîíå÷íî.
Ìû çíàåì îáùåå ïðàâèëî íàõîæäåíèÿ âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ â äèñêðåòíîì ïðîñòðàíñòâå; ÷òîáû âîñïîëüçîâàòüñÿ èì, íàì íåîáõîäèìî ñíà÷àëà äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòàðíîãî èñõîäà çàäàòü åãî âåðîÿòíîñòü.Âîçüìåì êîíêðåòíûé ýëåìåíòàðíûé èñõîä, ò. å. öåïî÷êó äëèíû n, ñîñòîÿùóþ èçñèìâîëîâ ¾Ó¿ è ¾Í¿, ïðè÷åì áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ¾Ó¿ âñòðå÷àåòñÿ â íåé k ðàç.Èìåííî òàêèå èñõîäû ôîðìèðóþò èíòåðåñóþùåå íàñ ñîáûòèå â çàäà÷å.
Íàïðèìåð,âîçüìåì òàêóþ öåïî÷êó: ω =<ÓÍÍ...Í>.Äëÿ ïîíèìàíèÿ òîãî, êàêîé äîëæíà áûòü âåðîÿòíîñòü òàêîãî ýëåìåíòàðíîãî èñõîäà, ââåäåì n âñïîìîãàòåëüíûõ ñîáûòèé B1 , B2 , . . . , Bn , ïðè÷åì ìû èõ áóäåì ñòðîèòü,ãëÿäÿ íà âûáðàííóþ íàìè êîíêðåòíóþ öåïî÷êó. Ïóñòü B1 ñîñòîèò èç öåïî÷åê, ó êîòîðûõ íà ïåðâîì ìåñòå ñòîèò ¾Ó¿, à íà îñòàëüíûõ ìåñòàõ ìîæåò ñòîÿòü ÷òî óãîäíî, B2ñîñòîèò èç öåïî÷åê, ó êîòîðûõ íà âòîðîì ìåñòå ñòîèò ¾Í¿, B3 èç öåïî÷åê, ó êîòîðûõ íà òðåòüåì ìåñòå ñòîèò ¾Í¿, è ò. ä.
âñå, êàê ó âûáðàííîãî íàìè ýëåìåíòàðíîãîèñõîäà ω .Ââåäåííûå ñîáûòèÿ äîëæíû áûòü íåçàâèñèìûìè â íàøåé ìîäåëè, ïîòîìó, ÷òî îíèíåçàâèñèìû ïî óñëîâèþ ýêñïåðèìåíòà, òàê êàê B1 îòíîñèòñÿ òîëüêî ê ïåðâîìó èñïûòàíèþ, B2 òîëüêî êî âòîðîìó è ò. ä., à ðàçíûå èñïûòàíèÿ íå âëèÿþò äðóã íà äðóãà.Òàêèì îáðàçîì, â íàøåé ìîäåëè äîëæíî âûïîëíÿòüñÿP(B1 B2 . . . Bn ) = P(B1 )P(B2 ) . . . P(Bn ).Íî, ñëåäóÿ ïîñòðîåíèþ, ñîáûòèå B1 B2 .
. . Bn ñîñòîèò èç îäíîãî åäèíñòâåííîãî ýëåìåíòàðíîãî èñõîäà ω =<ÓÍÍ...Í>. Ñ äðóãîé ñòîðîíû,P(B1 ) = p, P(B2 ) = 1 − p, P(B3 ) = 1 − pè ò. ä. Ïîýòîìó äëÿ äàííîãî ýëåìåíòàðíîãî èñõîäà ω äîëæíî âûïîëíÿòüñÿP(ω) = P(B1 ) . . . P(Bn ) = pk q n−k ,ãäå q = 1 − p, k ÷èñëî óñïåõîâ.Çàäàâ âåðîÿòíîñòè ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, ìû çàâåðøèëè ïîñòðîåíèå âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëè. Îíà è íàçûâàåòñÿ ñõåìîé Áåðíóëëè.ßñíî, ÷òî ýëåìåíòàðíûå èñõîäû áóäóò ðàâíîâåðîÿòíûìè òîëüêî ïðè p = q = 1/2. ýòîì ñëó÷àå êàæäûé ýëåìåíòàðíûé èñõîä áóäåò èìåòü âåðîÿòíîñòü 1/2n , è òîëüêîâ ýòîì ñëó÷àå ìû âïðàâå èñïîëüçîâàòü êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè.Äëÿ íàõîæäåíèÿ âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî óñïåõîâ áóäåò ðîâíî k â n èñïûòàíèÿõ, ìûäîëæíû ïðîñóììèðîâàòü âåðîÿòíîñòè âñåõ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, ó êîòîðûõ óñïåõâñòðå÷àåòñÿ k ðàç, à òàêèõ èñõîäîâ, êàê íåòðóäíî âèäåòü, Cnk .
ÏîýòîìóP(Sn = k) = pk q n−k + pk q n−k + . . . + pk q n−k = Cnk pk q n−k .20Ñîâîêóïíîñòü ÷èñåë {Cnk pk q n−k , k = 0, P1, . . . , n} íàçûâàåòñÿ áèíîìèàëüíûì ðàñnnk k n−k ðàçëîæåíèå ïî áèíîìóïðåäåëåíèåì (ïîñêîëüêó (p + q) = 1 =k=0 Cn p qÍüþòîíà). çàêëþ÷åíèå ýòîãî ïàðàãðàôà âûÿñíèì, ïðè êàêîì k âåðîÿòíîñòü P(Sn = k)ìàêñèìàëüíà.
Äëÿ ýòèõ öåëåé ðàññìîòðèì îòíîøåíèåαk =P(Sn = k + 1)P(Sn = k)è âûÿñíèì, ïðè êàêèõ k èìååò ìåñòî αk ≥ 1 (ýòî áóäåò îçíà÷àòü íåóáûâàíèå P(Sn = k)ïðè âîçðàñòàíèè k ) è ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ k âûïîëíÿåòñÿ αk ≤ 1, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò íåâîçðàñòàíèþ âåðîÿòíîñòåé. Íà ýòîì ïóòè è îòûùåì òî÷êó ìàêñèìóìà. Èòàê,çàïèøåì íåðàâåíñòâîαk =Cnk+1 pk+1 q n−k−1(n − k)p≥ 1,=kkn−kCn p q(k + 1)q÷òî ýêâèâàëåíòíî np − q ≥ k(p + q) = k. Òàêèì îáðàçîì, åñëè k ≤ np − q, òîP(Sn = k + 1) ≥ P(Sn = k),ò. å. âåðîÿòíîñòè âîçðàñòàþò (âåðíåå, íå óáûâàþò), è, íàîáîðîò, ïðè k ≥ np − q âåðîÿòíîñòè íå âîçðàñòàþò.
Ïîñêîëüêó ÷èñëî np − q íå îáÿçàíî áûòü öåëûì, òî íåòðóäíîâèäåòü, ÷òî ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå äëÿ P(Sn = k) áóäåò äîñòèãàòüñÿ ïðèk = [np − q] + 1 = [(n + 1)p].1.7.Ïðèáëèæåíèå Ïóàññîíà â ñõåìå ÁåðíóëëèÏóñòü ïî-ïðåæíåìó Sn ÷èñëî óñïåõîâ â ñõåìå Áåðíóëëè. Ìû çíàåì òî÷íûåôîðìóëû äëÿ âåðîÿòíîñòåé âèäàP(a ≤ Sn ≤ b) =bXCnk pk (1 − p)n−k .k=aÎäíàêî íà ïðàêòèêå âîçíèêàþò ñèòóàöèè, êîãäà ïðèìåíåíèå òî÷íûõ ôîðìóë çàòðóäíèòåëüíî èç-çà òîãî, ÷òî n î÷åíü âåëèêî.  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëàìè ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ, åñëè âîçíèêàþùàÿ ïðè ýòîì ïîãðåøíîñòü ïðåíåáðåæèìî ìàëà ïðè áîëüøèõ n. Îäíî èç âîçìîæíûõ ïðèáëèæåíèé îáåñïå÷èâàåòñÿòåîðåìîé Ïóàññîíà, êîòîðîé ïîëüçóþòñÿ â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà âåðîÿòíîñòü óñïåõà pî÷åíü ìàëà, ò.
å. óñïåõ ïîÿâëÿåòñÿ â èñïûòàíèÿõ Áåðíóëëè êðàéíå ðåäêî.. Ïóñòü â ñõåìå Áåðíóëëè n → ∞ è ïðè ýòîì p = p(n) → 0òàê, ÷òî np(n) → λ, ãäå λ íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Òîãäà äëÿ ëþáîãîk = 0, 1, 2, . . . , nλkP(Sn = k) = Cnk pk (1 − p)n−k → e−λ .k!Òåîðåìà ÏóàññîíàÄîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì λn = np(n), òîãäà p = λn /n è k n−kn(n − 1) . . . (n − k + 1) λnλnk kn−kCn p (1 − p)=1−=k!nnn −kn n−1n − k + 1 λknλnλn=...1−1−.n nnk!nn21Âûÿñíèì, ê ÷åìó ñòðåìÿòñÿ îòäåëüíûå âûðàæåíèÿ èç ïðàâîé ÷àñòè. n n−1n−k+112k−1...= 1−1−... 1 −→ 1,n nnnnnïîñêîëüêó êàæäûé ìíîæèòåëü ñòðåìèòñÿ ê åäèíèöå, à èõ ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî. Ïîóñëîâèþ λkn → λk .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
