1625915144-a0b004e5d7d0e6e9b8f80b0c67f3317f (843874), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Äàëåå, âîñïîëüçîâàâøèñü ðàçëîæåíèåì â îêðåñòíîñòè íóëÿln(1 − x) = −x + o(x), ïîëó÷èìn λnλnλnλn= n ln 1 −=n − +o= −λn + o(1) → −λ,ln 1 −nnnnò. å.È íàêîíåö,nλn1−→ e−λ .n−kλn1−→ 1,nâ ñèëó òîãî ÷òî λn /n → 0. Òåîðåìà äîêàçàíà.Ýòà òåîðåìà èñïîëüçóåòñÿ ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïîñêîëüêóïðè n → ∞ è np → λλk −λeP(Sn = k) →k!è îäíîâðåìåííîλk −λ(np)k −npe→e ,k!k!òî(np)k −npP(Sn = k) 'e .k!Ýòèì ïðèáëèæåíèåì îáû÷íî è ïîëüçóþòñÿ. Íåñìîòðÿ íà òî ÷òî òåîðåìà äîêàçàíàïðè óñëîâèè, ÷òî ÷èñëî k ôèêñèðîâàíî, ñóììà ëåâûõ ÷àñòåé ïî ëþáîìó ìíîæåñòâóèíäåêñîâ ìîæåò áûòü ïðèáëèæåíà ñóììîé ïðàâûõ ÷àñòåé ïî òîìó æå ìíîæåñòâóèíäåêñîâ. Òî÷íîñòü ïðèáëèæåíèÿ õàðàêòåðèçóåòñÿ ñëåäóþùåé îöåíêîé.. Äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà A ⊂ {0, 1, 2, . .
. , n}X (np)k−npP(Sn ∈ A) − ≤ np2 .ek!Òåîðåìàk∈AÄîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû áóäåò ïðîâåäåíî ïîçæå.λk −λÑåìåéñòâî âåðîÿòíîñòåé âèäàe , k = 0, 1, . . . , ãäå λ > 0 ôèêñèðîâàík!Pλk −λíîå ÷èñëî, íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì Ïóàññîíà. Çäåñü, î÷åâèäíî, ∞= 1.k=0 k! eßñíî, ÷òî äàííîå ïðèáëèæåíèå îáåñïå÷èâàåò õîðîøóþ òî÷íîñòü â ñõåìå Áåðíóëëè ñíàñòîëüêî ìàëîé âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà p, ÷òîáû è ÷èñëî np2 òàêæå áûëî ìàëûì.Ïðèìåð. Èìååòñÿ ïðîèçâîäñòâî ñïè÷åê.
Êàæäàÿ ñïè÷êà íåçàâèñèìî îò äðóãèõ ñâåðîÿòíîñòüþ 0.015 ÿâëÿåòñÿ áðàêîâàííîé è ïðè óïîòðåáëåíèè íå âîçãîðàåòñÿ.  ñîîòâåòñòâèè ñ òðåáîâàíèÿìè ñòàíäàðòà ñïè÷êè äîëæíû ðàñôàñîâûâàòüñÿ â êîðîáêè ïî100 øòóê â êàæäóþ. ßñíî, ÷òî ïðè ýòîì â êàæäîé êîðîáêå ñ áîëüøîé âåðîÿòíîñòüþãîäíûõ ñïè÷åê îêàæåòñÿ ìåíüøå 100. ×òîáû èçáåæàòü ïðåòåíçèé ñî ñòîðîíû ïîòðåáèòåëåé, ðóêîâîäñòâî ðåøàåò êëàñòü â êàæäóþ êîðîáêó äîáàâî÷íî íåêîòîðîå ÷èñëî22x ñïè÷åê òàê, ÷òîáû ñ âåðîÿòíîñòüþ íå ìåíåå 0.95 ãîäíûõ ñïè÷åê òàì îêàçàëîñü íåìåíåå 100.Êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî x ñïè÷åê íóæíî äëÿ ýòîãî ïîëîæèòü â êîðîáêó?Ìû èìååì çäåñü ñõåìó Áåðíóëëè ñ ÷èñëîì èñïûòàíèé n = 100 + x è âåðîÿòíîñòüþóñïåõà 0.015. Îáîçíà÷èì ÷èñëî áðàêîâàííûõ ñïè÷åê Sn .
Òîãäà ãîäíûõ ñïè÷åê áóäåòâ êîðîáêå íå ìåíåå 100, åñëè Sn ≤ x. Èç ïðèâåäåííîé âûøå îöåíêè çàêëþ÷àåì, ÷òîïðèáëèæåíèå Ïóàññîíà äàåò â íàøåì ñëó÷àå âïîëíå óäîâëåòâîðèòåëüíóþ òî÷íîñòü.Ñ÷èòàÿ äëÿ ïðîñòîòû, ÷òî np = (100 + x)0.015 ' 1.5, ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèåP(Sn ≤ x) =xXP(Sn = k) ' e−1.5k=01.5x1.52+ ... +.1 + 1.5 +2x!Òðåáóåòñÿ, ÷òîáû ýòà âåðîÿòíîñòü áûëà íå ìåíåå 0.95. Íåòðóäíî âû÷èñëèòü, ÷òî äëÿýòîãî äîñòàòî÷íî âçÿòü x = 4 â ïðàâîé ÷àñòè.1.8.Ëîêàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà î íîðìàëüíîì ïðèáëèæåíèè ýòîì ðàçäåëå áóäåò ïðåäëîæåíà äðóãàÿ ôîðìóëà äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé â ñõåìå Áåðíóëëè.an→ 1 ïðè n → ∞.Ìû áóäåì ïèñàòü an ∼ bn , åñëèbn(ëîêàëüíàÿ òåîðåìà Ìóàâðà).
Ïóñòü Sn ÷èñëî óñïåõîâ â ñõåìå Áåðk − npíóëëè, è ïóñòü k = np + o(n2/3 ) ïðè n → ∞. Îáîçíà÷èì xk = √. Òîãäà ïðènpqn→∞x2kSn − np1= xk ∼ √exp −.P(Sn = k) = P √npq22πnpqÒåîðåìàÄîêàçàòåëüñòâî. Ñíà÷àëà äîêàæåì âñïîìîãàòåëüíîå óòâåðæäåíèå.Åñëè k → ∞ è n − k → ∞, òîSn1∗P(Sn = k) = P=p ∼ pexp{−nH(p∗ )},∗∗n2πnp (1 − p )Ëåììà.ãäåH(x) = x lnx1−x+ (1 − x) ln,p1−pp∗ =k.nÄîêàçàòåëüñòâî. Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé Ñòèðëèíãà, ñîãëàñíî êîòîðîé n√nn! ∼ 2πneïðè n → ∞.
ÈìååìP(Sn = k) =1=pexp2πnp∗ (1 − p∗ )Cnk pk q n−k∼rnnnpk q n−k =kn−k2πk(n − k) k (n − k)kn−k− k ln − (n − k) ln+ k ln p + (n − k) ln(1 − p) =nn231exp=p2πnp∗ (1 − p∗ ) ∗∗∗∗∗∗− n p ln p + (1 − p ) ln(1 − p ) − p ln p − (1 − p ) ln(1 − p)1=pexp{−nH(p∗ )}.2πnp∗ (1 − p∗ )Ëåììà äîêàçàíà.Ïðèñòóïèì òåïåðü ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû. Èìååì ïðè x ∈ (0, 1)H 0 (x) = ln1−xx− ln,p1−pH 00 (x) =11+,x 1−xH(p) = H 0 (p) = 0.Ðàçëàãàÿ H(p∗ ) â ðÿä â îêðåñòíîñòè òî÷êè p, ïîëó÷èì ïðè p∗ − p → 01 1 1∗+(p∗ − p)2 + O |p∗ − p|3 .H(p ) =2 p qÏî óñëîâèþ òåîðåìû p∗ =k= p + o(n−1/3 ). Çíà÷èò, p∗ − p → 0, n(p∗ − p)3 → 0 ènnH(p∗ ) =ò.
å.1P(Sn = k) ∼ √exp2πnpqn(p∗ − p)2+ o(1),2pqn ∗−(p − p)22pq1=√exp2πnpqx2− k2(çäåñü òàêæå èñïîëüçîâàëîñü ñâîéñòâî p∗ (1 − p∗ ) ∼ p(1 − p)). Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.Èñïîëüçóÿ ëîêàëüíóþ òåîðåìó, ìîæíî áûëî áû äîêàçàòü èíòåãðàëüíóþ òåîðåìóÌóàâðà Ëàïëàñà, ñîñòîÿùóþ â ñëåäóþùåì. Äëÿ ëþáûõ ÷èñåë a < bZbSn − np1x2lim P a < √<b = √exp −dx.n→∞npq22πaÌû äîêàæåì âïîñëåäñòâèè òàê íàçûâàåìóþ öåíòðàëüíóþ ïðåäåëüíóþ òåîðåìó,ïî îòíîøåíèþ ê êîòîðîé èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Ìóàâðà Ëàïëàñà áóäåò ÿâëÿòüñÿ÷àñòíûì ñëó÷àåì.1.9.Ïîëèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèåÏîëèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì áèíîìèàëüíîãî. Ïóñòü ïðîèçâîäèòñÿ n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé, êàæäîå èç êîòîðûõ ìîæåò çàâåðøèòüñÿ îäíèìèç èñõîäîâ A1 , A2 , .
. . , Ak ñ âåðîÿòíîñòÿìè p1 , p2 , . . . , pk ñîîòâåòñòâåííî, p1 +. . .+pk = 1.Î÷åâèäíî, â ñëó÷àå ñõåìû Áåðíóëëè èìååì k = 2. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ân èñïûòàíèÿõ èñõîä A1 ïðîèçîéäåò n1 ðàç , èñõîä A2 n2 ðàç , è ò. ä., èñõîä Akïðîèçîéäåò nk ðàç ? ýòîé çàäà÷å ýëåìåíòàðíûé èñõîä ýêñïåðèìåíòà ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü ñåáå êàêóïîðÿäî÷åííóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âèäà Ai1 Ai2 . . .
Ain , ãäå 1 ≤ ij ≤ k . Âñåãî â ïðîñòðàíñòâå k n èñõîäîâ. Êàæäîìó áëàãîïðèÿòíîìó èñõîäó ïðèïèøåì âåðîÿòíîñòüpn1 1 . . . pnk k , âñåãî òàêèõ èñõîäîân2Cnn1 Cn−n. . . Cnnkk =124n!.n1 ! . . . nk !Ïîëó÷àåì â èòîãå, ÷òî èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíàn!pn1 . . . pnk k .n1 ! . . . nk ! 1Ñîâîêóïíîñòü âåðîÿòíîñòåé òàêîãî âèäà, ãäå ni ≥ 0 è n1 + . . . + nk = n, íàçûâàåòñÿïîëèíîìèàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì. Îáîáùåíèåì áèíîìà Íüþòîíà ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìèàëüíàÿ ôîðìóëàX(x1 + .
. . + xk )n =n1 ≥0,...,nk ≥0n!xn1 . . . xnk k .n1 ! . . . nk ! 1n1 +...+nk =n1.10.Óñëîâíûå âåðîÿòíîñòèÏóñòü A ñîáûòèå, âåðîÿòíîñòüþ êîòîðîãî ìû èíòåðåñóåìñÿ. Îíî ìîæåò ïðîèçîéòè â ðåçóëüòàòå íåêîòîðîãî ýêñïåðèìåíòà; ìû íå çíàåì òî÷íî, êàê ýêñïåðèìåíòçàâåðøèëñÿ, îäíàêî îïðåäåëåííîé èíôîðìàöèåé óæå ðàñïîëàãàåì: íàì ñîîáùèëè, ÷òîíåêîòîðîå äðóãîå ñîáûòèå B óæå ïðîèçîøëî.Êàêîâà æå òåïåðü âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A?ßñíî, ÷òî çíàíèå òîãî, ÷òî B ïðîèçîøëî, ìîæåò ñèëüíî ïîâëèÿòü íà ðåçóëüòàò.Íàïðèìåð, ïðè áðîñàíèè èãðàëüíîé êîñòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âûïàëà øåñòåðêà(ñîáûòèå A), ðàâíà 1/6. Îäíàêî åñëè çàðàíåå èçâåñòíî, ÷òî âûïàëî ÷åòíîå ÷èñëîî÷êîâ (ñîáûòèå B ), òî ñëåäóåò îæèäàòü, ÷òî øåñòåðêà âûïàäàåò óæå ñ âåðîÿòíîñòüþ1/3.Òåì ñàìûì ìû ïðèõîäèì ê íåîáõîäèìîñòè ââåäåíèÿ íîâîãî ïîíÿòèÿ.. Óñëîâíîé âåðîÿòíîñòüþ (èëè: âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ A ïðè óñëîâèè, ÷òî B ïðîèçîøëî) íàçûâàåòñÿÎïðåäåëåíèåP(A/B) =P(AB).P(B)Âåðí¼ìñÿ ê ïðèìåðó ñ èãðàëüíîé êîñòüþ.
Èìååì çäåñüA = {6}, B = {2, 4, 6}, AB = {6},1/ 61= ,1/ 23÷òî ñîîòâåòñòâóåò íàøèì èíòóèòèâíûì ïðåäñòàâëåíèÿì.Ñäåëàåì íåñêîëüêî çàìå÷àíèé â ñâÿçè ñ äàííûì îïðåäåëåíèåì.1. Ïîñêîëüêó P(B) ñòîèò â çíàìåíàòåëå, òî íåîáõîäèìî âñåãäà òðåáîâàòü, ÷òîáûP(B) > 0. Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü íå ââîäèòñÿ, åñëè P(B) = 0.2. Åñëè P(B) > 0, òî íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé A è B ýêâèâàëåíòíà óñëîâèþ P(A) =P(A/B) ýòî î÷åâèäíî.  îáùåì, òàê îíî è äîëæíî áûòü: ñîáûòèå B (óñëîâèå) íèêàêíå äîëæíî âëèÿòü íà A, åñëè A è B íåçàâèñèìû.3. Åñëè â ðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòà ñîáûòèå B óæå ïðîèçîøëî, òî íè îäèí èç ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ èç äîïîëíèòåëüíîãî ìíîæåñòâà B̄ óæå ðåàëèçîâàòüñÿ íå ìîæåò.Òàêèì îáðàçîì, ïðîñòðàíñòâî âîçìîæíûõ èñõîäîâ ýêñïåðèìåíòà ñóæàåòñÿ äî ðàçìåðîâ ìíîæåñòâà B .
Îòðàæåíèåì ýòîãî ôàêòà è ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëà äëÿ P(A/B).  íåéìíîæèòåëü 1/P(B) âûïîëíÿåò íîðìèðóþùóþ ðîëü: ñóììàðíàÿ âåðîÿòíîñòü âñåõ âîçìîæíûõ òåïåðü èñõîäîâ äîëæíà ðàâíÿòüñÿ åäèíèöå. À èñïîëüçîâàíèå â ÷èñëèòåëåP(A/B) =25âåðîÿòíîñòè ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ A è B ñîîòâåòñòâóåò òîìó, ÷òî èç ýëåìåíòàðíûõèñõîäîâ, âõîäÿùèõ â A, ïðîèçîéòè òåïåðü ìîãóò òîëüêî òå, êîòîðûå âõîäÿò îäíîâðåìåííî è â B .Ñêàçàííîå ìîæíî ïðîñëåäèòü íà ïðèìåðå áðîñàíèÿ íàóãàä òî÷êè, ñêàæåì, â êâàäðàò Ω. Ïóñòü λ(A) ïëîùàäü ìíîæåñòâà A ⊂ Ω. ÒîãäàP(A) =λ(A)λ(Ω) îòíîøåíèå ïëîùàäåé. Äëÿ óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè èìååìP(A/B) =λ(AB)/ λ(Ω)λ(AB)P(AB)==,P(B)λ(B)/ λ(Ω)λ(B)ýòî òîæå îòíîøåíèå ïëîùàäåé, íî òîëüêî ðîëü âñåãî ïðîñòðàíñòâà èñõîäîâ âûïîëíÿåòñîáûòèå B .1.11.Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòèÏóñòü íàñ èíòåðåñóåò âåðîÿòíîñòü íåêîòîðîãî ñîáûòèÿ A è ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàðÿäó ñ A åñòü íåêèé íàáîð âñïîìîãàòåëüíûõ ñîáûòèé H1 , H2 , .
. . , Hn , êîòîðûå ïðèíÿòî íàçûâàòü ãèïîòåçàìè è êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì äâóì òðåáîâàíèÿì.1) Hi Hj = ∅ (i 6= j);nS2) A ⊂Hi .i=1Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòèP(A) =nXP(A/Hi )P(Hi ).i=1Äîêàçàòåëüñòâî.P(A) = P A ∩n[!Hi=Pi=1n[i=1!AHi=nXP(AHi ).i=1Ïîñêîëüêó P(A/Hi ) = P(AHi )/P(Hi ) (ïðåäïîëàãàåì, ÷òî P(Hi ) > 0, íåò ñìûñëà èñïîëüçîâàòü ãèïîòåçû ñ íóëåâîé âåðîÿòíîñòüþ), òî îñòàåòñÿ âûðàçèòü îòñþäà P(AHi )è ïîäñòàâèòü â ôîðìóëó.×èñëî èñïîëüçóåìûõ ãèïîòåç ìîæåò áûòü è áåñêîíå÷íûì ýòî íè÷åìó íå ïðîòèâîðå÷èò.Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè îáû÷íî áûâàåò ïîëåçíà ïðè ðåøåíèè çàäà÷, ãäå èìååò ìåñòî ¾äâîéíàÿ¿ (èëè ¾äâóõóðîâíåâàÿ¿) ñëó÷àéíîñòü.
Ñ ïîìîùüþ ýòîé ôîðìóëûìû ôèêñèðóåì ñíà÷àëà ñèòóàöèþ íà îäíîì óðîâíå (ò. å. ñ÷èòàåì, ÷òî îäíà èç ãèïîòåç ðåàëèçîâàëàñü) è ïåðåáèðàåì âñå âîçíèêàþùèå ïðè ýòîì âîçìîæíîñòè íà äðóãîìóðîâíå; çàòåì âåäåì ïåðåáîð âîçìîæíîñòåé ïåðâîãî óðîâíÿ ýòî ñîîòâåòñòâóåò ñóììèðîâàíèþ ïî ïåðåìåííîé i.Ïðèìåð. Íà ïðåäïðèÿòèè ðàáîòàåò n ðàáî÷èõ, êîòîðûå äåëàþò îäèíàêîâûå èçäåëèÿ. Çà ñìåíó ïåðâûé èçãîòîâèë k1 èçäåëèé, âòîðîé k2 , . .
. , n-é ðàáî÷èé èçãîòîâèëkn èçäåëèé. Îáîçíà÷èì k = k1 + k2 + . . . + kn îáùåå êîëè÷åñòâî èçäåëèé, èçãîòîâëåííûõ çà ñìåíó.26Èçâåñòíî, ÷òî èçäåëèå, èçãîòîâëåííîå ïåðâûì ðàáî÷èì, ñ âåðîÿòíîñòüþ p1 îêàçûâàåòñÿ áðàêîâàííûì, äëÿ âòîðîãî ðàáî÷åãî âåðîÿòíîñòü áðàêà ðàâíà p2 è ò. ä. êîíöå ñìåíû âñå èçäåëèÿ ññûïàëè â îäèí áóíêåð. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî íàóãàäâûáðàííîå èç áóíêåðà èçäåëèå îêàæåòñÿ áðàêîâàííûì?Îáîçíà÷èì ÷åðåç A ñîáûòèå, âåðîÿòíîñòüþ êîòîðîãî ìû èíòåðåñóåìñÿ. Çàäà÷àáûëà áû òðèâèàëüíîé, åñëè áû ìû çíàëè, êåì âûáðàííîå èçäåëèå èçãîòîâëåíî. À òàêêàê ìû íå çíàåì, òî ñòðîèì îáëåã÷àþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ (ãèïîòåçû).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
