1625915144-a0b004e5d7d0e6e9b8f80b0c67f3317f (843874), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Ïóñòü X ⊂= F è F íåïðåðûâíà. Òîãäà Y = F (X) ⊂= U0,1 .Äîêàçàòåëüñòâî áóäåò ïðîñòûì, åñëè äîïîëíèòåëüíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî F ñòðîãîìîíîòîííà. Òîãäà îïðåäåëåíà îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ F −1 è äëÿ y ∈ (0, 1)P(F (X) < y) = P(X < F −1 (y)) = F (F −1 (y)) = y.(4)Åñëè æå F íå ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî ìîíîòîííîé, òî ìîæíî ïîëîæèòü F −1 (y) = qy . Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ïðè ýòîì ñîîòíîøåíèå (4) ïî-ïðåæíåìó ñîõðàíÿåòñÿ â ñèëå.Èç àíàëîãè÷íûõ ðàññóæäåíèé ñëåäóåò, ÷òî åñëè Y ⊂= U0,1 è F íåêîòîðàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, òî ìû ìîæåì ïîñòðîèòü íîâóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíóX ⊂= F , âçÿâ X = F −1 (Y ). Ýòîò ôàêò ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ ïðè ìîäåëèðîâàíèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ çàäàííîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ.Ïóñòü òåïåðü X è Y äâå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ èçâåñòíûìè ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ.
Ìîæíî ëè âûðàçèòü FX+Y ÷åðåç FX è FY ?Îòâåò îòðèöàòåëüíûé: åñëè áîëüøå íè÷åãî íå ïðåäïîëàãàòü ïðî X è Y , òî èíôîðìàöèè, çàëîæåííîé â FX è FY , íåäîñòàòî÷íî, ÷òîáû íàéòè FX+Y . Ïðè îäíèõ è òåõæå FX è FY ìîæíî ïîëó÷àòü ðàçíûå ðåçóëüòàòû.Ïðèìåð. Ïóñòü X ⊂= Φ0,1 , Y = X , òîãäà X + Y = 2X ⊂= Φ0,4 .Åñëè æå âçÿòü Y = −X , òî ïî-ïðåæíåìó Y ⊂= Φ0,1 , è ïîëó÷àåì, ÷òî X +Y = 0 ⊂= I0ïðè òåõ æå FX è FY .Åñëè äîïîëíèòåëüíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî X è Y íåçàâèñèìû, òî FX+Y ïîëíîñòüþîïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç FX è FY .
Ìû ïîêàæåì, êàê ýòî äåëàåòñÿ, îòäåëüíî äëÿ öåëî÷èñëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è äëÿ ðàñïðåäåëåíèé ñ ïëîòíîñòüþ.Èòàê, ïóñòü X è Y íåçàâèñèìû è êàæäàÿ èç íèõ ïðèíèìàåò öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ, ïðè ýòîìP(X = k) = pk ,P(Y = k) = qk ,47k = 0, 1, 2, . . . .Òîãäà, î÷åâèäíî, X + Y òàêæå áóäåò ïðèíèìàòü âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ k = 0, 1, 2, . . .,P(X + Y = k) = P({X = 0, Y = k} ∪ {X = 1, Y = k − 1} ∪ .
. . ∪ {X = k, Y = 0}) ==kXP(X = i, Y = k − i) =kXi=0P(X = i)P(Y = k − i) =i=0kXpi qk−i .i=0PÏîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë {rk = ki=0 pi qk−i , k = 0, 1, 2, . . .} íàçûâàåòñÿ ñâåðòêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {pk , k = 0, 1, 2, . . .} è {qk , k = 0, 1, 2, . . .}.. Ïóñòü X è Y íåçàâèñèìû, X ⊂= Πλ1 , Y ⊂= Πλ2 . ÒîãäàX +Y ⊂= Πλ1 +λ2 .Äîêàçàòåëüñòâî. Âîñïîëüçóåìñÿ ïîëó÷åííîé ôîðìóëîé:Òåîðåìà 4P(X +Y = k) =kkXe−(λ1 +λ2 ) X i i k−i (λ1 + λ2 )k −(λ1 +λ2 )λi1 −λ1 λk−i2ee−λ2 =Ck λ1 λ2 =e.i!(k−i)!k!k!i=0i=0Ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ ïëîòíîñòåé ñóìì íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.Ïóñòü X è Y íåçàâèñèìû è èìåþò ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ fX èfY ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà ñóùåñòâóåò ïëîòíîñòü fX+Y èÒåîðåìà 5.Z∞Z∞fX (u) fY (t − u) du =fX+Y (t) =−∞fY (v) fX (t − v) dv.−∞Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ïåðâîå ñîîòíîøåíèå, âòîðîå ïîëó÷àåòñÿ èçíåãî çàìåíîé v = t − u.
Èìååì äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿZ ZfX,Y (u, v) dudvFX+Y (y) = P(X + Y < y) = P((X, Y ) ∈ {(u, v) : u + v < y}) =u+v<yy−uZZ∞=fY (v) dvdu =fX (u)−∞Zy=−∞−∞ ∞Z−∞ZyZ∞fY (t − u) dtdu =fX (u)−∞−∞fX (u)fY (t − u) du dt.Ìû çäåñü âîñïîëüçîâàëèñü ñâîéñòâîì fX,Y (u, v) = fX (u)fY (v) äëÿ íåçàâèñèìûõ Xè Y è çàìåíîé ïåðåìåííîé t = u + v . Âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ, èáóäåò èñêîìîé ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñóììû.
Òåîðåìà äîêàçàíà.Îáà èíòåãðàëà, ïðèñóòñòâóþùèå â ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû, íàçûâàþòñÿ ñâåðòêàìè ïëîòíîñòåé fX è fY .Çàìåòèì, ÷òî ìû ïîïóòíî óñòàíîâèëè ôîðìóëó ñâåðòêè è äëÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ:y−uZZ∞FX+Y (y) =fX (u)−∞Z∞FY (y − u)dFX (u).fY (v) dvdu =−∞−∞Ïðîäåìîíñòðèðóåì íà ïðèìåðàõ, êàê ðàáîòàåò îïåðàöèÿ ñâåðòêè.Ïóñòü X1 è X2 íåçàâèñèìû, X1 ⊂= Γα, λ1 , X2 ⊂= Γα, λ2 .X1 + X2 ⊂= Γα, λ1 +λ2 .Òåîðåìà 6.48ÒîãäàÄîêàçàòåëüñòâî.Z∞γα,λ1 (u) γα,λ2 (t − u) du.fX1 +X2 (t) =−∞Ïîñêîëüêó γα,λ (u) = 0 ïðè u ≤ 0, òî ñòîÿùèå ïîä èíòåãðàëîì ôóíêöèè îáå îòëè÷íûîò íóëÿ òîëüêî åñëè îäíîâðåìåííî u > 0 è t − u > 0.
Ïðè t ≤ 0 ýòè íåðàâåíñòâàíåñîâìåñòíû, ò. å. fX1 +X2 (t) = 0. Åñëè t > 0, òî ïîäûíòåãðàëüíûå ôóíêöèè îòëè÷íûîò íóëÿ ïðè 0 < u < t, ïîýòîìóZtfX1 +X2 (t) =αλ1 λ1 −1 −αu αλ2ue(t − u)λ2 −1 e−α(t−u) duΓ(λ1 )Γ(λ2 )0αλ1 +λ2=e−αtΓ(λ1 )Γ(λ2 )Ztuλ1 −1 (t − u)λ2 −1 du.0Ñäåëàåì çàìåíó u = vt. Òîãäàαλ1 +λ2tλ1 +λ2 −1 e−αtfX1 +X2 (t) =Γ(λ1 )Γ(λ2 )Z1v λ1 −1 (1 − v)λ2 −1 dv.0Ïîñëåäíèé èíòåãðàë îò t óæå íå çàâèñèò.
Ýòî êîíñòàíòà, êîòîðóþ ìîæíî îáúåäèíèòü ñ êîíñòàíòàìè, ñòîÿùèìè â íà÷àëå ôîðìóëû. Íà ýòîì äîêàçàòåëüñòâî ìîæíîçàâåðøèòü, ïîòîìó ÷òî ìû ïîëó÷èëè âûðàæåíèå âèäà C tλ1 +λ2 −1 e−αt , ò.å. ïëîòíîñòüãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìè (α, λ1 + λ2 ). Ìîæíî, âïðî÷åì, è óòî÷íèòü çíà÷åíèå êîíñòàíòû. Óêàçàííûé èíòåãðàë èçâåñòåí â òåîðèè êàê áåòà-ôóíêöèÿZ1B(λ1 , λ2 ) =v λ1 −1 (1 − v)λ2 −1 dv =Γ(λ1 )Γ(λ2 ).Γ(λ1 + λ2 )0Ïîñëåäíåå ìîæíî íàéòè â òàáëèöàõ èíòåãðàëîâ. Òåîðåìà äîêàçàíà.. Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , . . . , Xn íåçàâèñèìû è âñå Xi ⊂= Eα , òîX1 + .
. . + X n ⊂= Γα,n .Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî Eα = Γα,1 .Ïóñòü X1 è X2 íåçàâèñèìû, X1 ⊂= Φα1 , σ12 , X2 ⊂= Φα2 , σ22 . ÒîãäàX1 + X2 ⊂= Φα1 +α2 , σ12 +σ22 .Äîêàçàòåëüñòâî. Ââåäåì íîâûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûÑëåäñòâèåÒåîðåìà 7.Y1 =X1 − α1,σ1Y2 =ÒîãäàX2 − α2.σ1σ2 X2 − α2⊂= Φ0, σ22 /σ12 .σ1 σ2Åñëè ìû äîêàæåì, ÷òî Y1 + Y2 ⊂= Φ0, 1+σ22 /σ12 , òî ïî ñâîéñòâó ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèéX1 + X2 = σ1 (Y1 + Y2 ) + α1 + α2 ⊂= Φα1 +α2 , σ12 +σ22 .Y1 ⊂= Φ0, 1 ,Y2 =49Îáîçíà÷èì äëÿ êðàòêîñòè θ2 = σ22 /σ12 .
ÒîãäàZ∞1u21(t − u)2√ exp − 2 √ exp −du =2θ2θ 2π2πfY1 +Y2 (t) =−∞Z∞1=2πθ1 u222exp −du =+ u − 2tu + t2 θ2−∞1=2πθZ∞(1exp −21 + θ2u2 2 − 2uθr!)r221 + θ2θ2θtdu =t+ t2+θ21 + θ21 + θ2 1 + θ2−∞=2t1exp −2πθ2(1 + θ2 ) Z∞−∞ 1exp − 2ru1+θ2θ2r−tθ21 + θ2!2 du.Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîérv=ur1 + θ2θ2−t.θ21 + θ2Òîãäà Z∞ 2t2v1√exp −fY1 +Y2 (t) =exp −dv222(1 + θ )22π 1 + θ−∞21t= pexp −.2(1 + θ2 )2π(1 + θ2 )Òåîðåìà äîêàçàíà.. Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , . . .
, Xn íåçàâèñèìû è âñå Xi ⊂= Φα,σ2 ,òî X1 + . . . + Xn ⊂= Φnα, nσ2 , à òàêæåÑëåäñòâèåX=X1 + . . . + X n⊂= Φα, σ2 /n .nÏîñëåäíåå ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî Xi /n ⊂= Φα/n, σ2 /n2 .3.3.1.×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ðàñïðåäåëåíèéÈíòåãðàë ïî âåðîÿòíîñòíîé ìåðå. Ìàòåìàòè÷åñêîåîæèäàíèåÏóñòü èìååòñÿ íåêîòîðîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî < Ω, S, P > è ñëó÷àéíàÿâåëè÷èíà X , çàäàííàÿ íà íåì. Íàøà áëèæàéøàÿ öåëü ïîñòðîèòü êîíñòðóêöèþèíòåãðàëà îò ýòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïî âåðîÿòíîñòíîé ìåðå, êîòîðûé áóäåò îáîçíà÷àòüñÿZEX =X(ω)P(dω).Ω50è íàçûâàòüñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X .Ñäåëàåì ýòî â íåñêîëüêî ýòàïîâ.I.
Èíòåãðàë îò ïðîñòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ïî îïðåäåëåíèþ, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ ïðîñòîé, åñëè îíà äèñêðåòíà è ìíîæåñòâî åå çíà÷åíèé êîíå÷íî.Èíäèêàòîð ñîáûòèÿ(1, ω ∈ A,IA (ω) =0, èíà÷å ïðîñòàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. Ïðîèçâîëüíóþ ïðîñòóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ìîæíîçàïèñàòü â âèäånXX(ω) =yk IAk (ω),(5)k=1Sãäå Ak = {ω : X(ω) = yk }.
Ìíîæåñòâà A1 , . . . , An íå ïåðåñåêàþòñÿ è nk=1 Ak = Ω.Èíòåãðàëîì îò ïðîñòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (5) íàçûâàåòñÿÎïðåäåëåíèå.ZX(ω)P(dω) =EX =nXyk P(Ak )k=1ΩRR(èíîãäà òàêæå èñïîëüçóþòñÿ îáîçíà÷åíèÿ E X = XdP = X(ω)dP(ω)).Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå åñòü ñðåäíåå âçâåøåííîå çíà÷åíèéñëó÷àéíîé âåëè÷èíû; âåðîÿòíîñòè çíà÷åíèé âûñòóïàþò â ðîëè âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ è ïîýòîìó áîëåå âåðîÿòíûå çíà÷åíèÿ âíîñÿò áîëüøèé âêëàä â ñóììó.Ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ïðîñòûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ëåãêî ñëåäóþò èç îïðåäåëåíèÿ.1. Åñëè P(X = C) = 1, òî EX = C , ò.
å. ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êîíñòàíòûðàâíî ýòîé êîíñòàíòå. Ñâîéñòâî î÷åâèäíî.2. Ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ìîæíî âûíîñèòü çà çíàê ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ:E(αX) = αEX .3. Åñëè X ≤ Y , òî E X ≤ E Y .4. |E X| ≤ E |X|.5. E(X + Y ) = EX + EY .Äîêàæåì ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå. Åñëè X ïðèíèìàåò âîçìîæíûå çíà÷åíèÿx1 , x2 , . . . , xm , à Y âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ y1 , y2 , . . . , yn , òî X + Y áóäåò ïðèíèìàòüâîçìîæíûå çíà÷åíèÿ âèäà xi + yj , íà ìíîæåñòâå {X = xi , Y = yj }, i = 1, 2, . .
. , m,j = 1, 2, . . . , n, èE(X + Y ) =m XnX(xi + yj )P(X = xi , Y = yj ) =i=1 j=1+nXj=1yjmXmXxii=1P(X = xi , Y = yj ) =i=1mXnXP(X = xi , Y = yj ) +j=1xi P(X = xi ) +i=1nXyj P(Y = yj ) =j=1= EX + EY.Îïðåäåëåíèå. Èíòåãðàëîì ïî ìíîæåñòâó A ∈ S îò ïðîñòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûX íàçûâàåòñÿZZX(ω)P(dω) =E (X; A) =AX(ω)IA (ω)P(dω) =nXk=1Ω51yk P(X = yk , A).Íàïîìíèì, ÷òî ïåðå÷èñëåíèå ñîáûòèé ÷åðåç çàïÿòóþ ñîîòâåòñòâóåò èõ ïåðåñå÷åíèþ.II.
Ñëåäóþùèì øàãîì ìû áóäåì ñòðîèòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå äëÿ ïðîèçâîëüíîé íåîòðèöàòåëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ≥ 0.. Ïóñòü X ≥ 0. Òîãäà ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Xn } íåîòðèöàòåëüíûõ ïðîñòûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí òàêàÿ, ÷òî Xn (ω) % X(ω) äëÿ ëþáîãî ωïðè n → ∞.Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàçîáüåì îòðåçîê [0, n] íà n2n ðàâíûõ îòðåçêîâ. Ïóñòüy0 = 0, . .
., yn2n = n òî÷êè äåëåíèÿ, yi+1 − yi = 1/2n . ÏîëîæèìËåììà 1Ai = {ω : yi ≤ X(ω) < yi+1 },i = 1, . . . , n2n − 1,A0 = {ω : 0 ≤ X(ω) < y1 } ∪ {ω : X(ω) ≥ n}.ÒîãäàXn (ω) ≡n −1n2Xyi IAi (ω) ≤ X(ω).i=0Î÷åâèäíî, Xn èçìåðèìûå ôóíêöèè, ò. å. ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè, Xn (ω)íå óáûâàåò ïî n è äëÿ ëþáîãî ω ïðè n > X(ω) èìååò ìåñòî0 ≤ X(ω) − Xn (ω) ≤1.2nËåììà äîêàçàíà.. Ïóñòü X ≥ 0, Xn % X è Yn % X ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåîòðèöàòåëüíûõ ïðîñòûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. ÒîãäàËåììà 2lim EXn = lim EYn .n→∞n→∞Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó òîãî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Xn , Yn íå óáûâàþò ïî n, òî æåñàìîå âåðíî è äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé EXn , EYn , çíà÷èò îáà ïðåäåëà â ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû ñóùåñòâóþò, õîòÿ è ìîãóò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ +∞.Äîêàçàòåëüñòâî. Óáåäèìñÿ, ÷òî äëÿ ëþáîãî mEXm ≤ lim EYn .n→∞Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Xm ïðîñòàÿ, ïîýòîìó ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 îíà îãðàíè÷åíà: Xm ≤cm .
Òîãäà äëÿ ëþáîãî ε > 0 è äëÿ ëþáîãî nXm − Yn = (Xm − Yn )I{Xm −Yn <ε} + (Xm − Yn )I{Xm −Yn ≥ε} ≤ ε + cm I{Xm −Yn ≥ε} .ÎòñþäàEXm ≤ ε + cm P(Xm − Yn ≥ ε) + EYn ,P(Xm − Yn ≥ ε) ≤ P(X − Yn ≥ ε) → 0,ïîñêîëüêó, îáîçíà÷èâ Bn = {X − Yn ≥ ε}, áóäåì èìåòü B1 ⊃ B2 ⊃ . . . è ïî ñâîéñòâóíåïðåðûâíîñòè âåðîÿòíîñòèlim P(Bn ) = P(∩Bn ) = P(∅) = 0.Ìíîæåñòâî ∩Bn ïóñòî, òàê êàê åñëè ω ∈ ∩Bn , òî X(ω) − Yn (ω) ≥ ε äëÿ ëþáîãî n, ÷òîíåâîçìîæíî.52Óñòðåìëÿÿ òåïåðü n → ∞, ïîëó÷èìEXm ≤ ε + lim EYn .n→∞Òàê êàê ε ïðîèçâîëüíî, òîEXm ≤ lim EYn ,n→∞èlim EXm ≤ lim EYn .m→∞n→∞Ìåíÿÿ ìåñòàìè Xm è Yn , ïîëó÷èì ïðîòèâîïîëîæíîå íåðàâåíñòâî.
Ëåììà äîêàçàíà.Òàêèì îáðàçîì, äëÿ X ≥ 0 ìîæíî ïîëîæèòü ïî îïðåäåëåíèþZE X = X dP = lim EXn ,n→∞Ωïðè÷åì áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî èíòåãðàë ñóùåñòâóåò, åñëè E X < ∞.III. Åñëè X ïðîèçâîëüíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, òî X = X + − X − , ãäåX + = max(0, X),X − = max(0, −X),è ïî îïðåäåëåíèþ ïîëîæèì E X = E X + −E X − . Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî E X ñóùåñòâóåò,åñëè E |X| = E X + + E X − < ∞.Åñëè ñóùåñòâóåò E X , òî äëÿ ëþáîãî A ∈ S ñóùåñòâóåò òàêæå èZZE (X; A) =X(ω)P(dω) =X(ω)IA (ω)P(dω).AΩÇàêîí÷èâ ñ îïðåäåëåíèÿìè, ìû äîëæíû ïîäðîáíî ðàññìîòðåòü îñíîâíûå ñâîéñòâàèíòåãðàëà. Ñðàçó îòìåòèì, ÷òî ïðèâåäåííàÿ êîíñòðóêöèÿ îòëè÷àåòñÿ îò õîðîøî èçâåñòíîãî èíòåãðàëà Ðèìàíà òåì, ÷òî èíòåãðàëüíûå ñóììû ôîðìèðóþòñÿ ðàçáèåíèåìíà ìåëêèå êóñî÷êè íå îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ, à îáëàñòè çíà÷åíèé èíòåãðèðóåìîéôóíêöèè.Îñíîâíûå ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ1. E(αX) = αEX .2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
