Lektsia_11 (842123), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Среднюю часть резонатора,образованнуюдвумяпараллельнымидисками,рассматриваюткакконденсатор с ёмкостьюC=ε02Параллельно ему включена индуктивность L, образованная стенкамирезонатора. Для этой конструкцииL=ℎµ0ln( )2Такимиобразом,считается,чтоквазистационарныйтороидальный резонатор эквивалентен колебательному контуру срезонансной частотойωрез = 1/√0 µ0 ℎ22∙Сферический резонаторСобственные колебания сферическойполости радиуса a могут быть исследованыспомощьюпотенциальныхскалярныхфункций U и V в сферической системекоординат.Emnp - типы колебаний(Hz=0)составляющие векторов в этом случае имеют вид: = = 1 2 , = −, = =2 2 1,2 ,+ 2 ,Hmnp - типы колебаний(Ez=0) = − =µ 1 2 ,, = =µ 1,2 , =2 2+ 2 ,При замене U = ru, U=rv потенциалы Дебая U и V удовлетворяютуравнениям ГельмгольцаΔU + k 2 U = 0, ΔV + k 2 V = 0,где Δ - оператора Лапласа в сферической системе координат.
Приразделении переменных в этих уравнениях получаем три дифференциальныхуравнения: по координате r - сферическое уравнение Бесселя, по координатеθ - присоединенное уравнение Лежандра, по координате φ - обыкновенноедифференциальное уравнение второго порядка. Таким образом частныерешения для потенциалов U и V имеют вид:UAcoskz ∙ () ()=VBmφsinгде () - сферические функции Бесселя 1-го рода n-го порядка,связанные с цилиндрическими функциями соотношением () = √12 +2(), n = 1,2,3,...; () - присоединенные полиномы Лежандра, причём m = 0,1,2,3..., но n≤mПри r = a на идеально проводящей стенке полости должнывыполняться граничные условия = = 0 при r = a или= 0, = 0 при r = aПоэтому электрических типов волн находятся из уравнения′ () = 0, = 1,2,3, …(*)а собственные частоты магнитных типов волн - из уравнения () = 0, = 1,2,3, …(**)По определению, р-ый положительный корень уравнения (*) даетсобственную частоту колебаний Emnp, а р-ый положительный кореньуравнения (**) - частоту колебания Hmnp в сферическом резонаторе.Собственные частоты сферического резонатора, получаемые изуравнений (*) и (**), не зависят от индекса m а зависят лишь от индексов n иp.
Поскольку при каждом m существует 2n+1 различных угловых функций ()cosmφи ()sinmφ, то каждая собственная частотаимеет кратность 2n+1. Это выражение вызвано высокой степенью симметриисферы. Выбор оси Z(θ = 0) для сферы произволен, при ином выбореполучаются новые колебания с одной и той же собственной частотой.Для грубой оценки корней уравнений (*) и (**) воспользуемсяасимптотическими выражениями. При больших ka имеем′ () = sin[ − ( + 1) ∙ /2] () = cos[ − ( + 1) ∙ /2]поэтому корни уравнения (*) приближенно равны =1+ ( − ) , = 1,2,3, …22а корни уравнения (**) =+ , = 1,2,3, …2Эти формулы дают тем лучшее приближение, чем меньше n и большеp. При небольших p (p = 1 или 2) эти формулы дают погрешность, но неочень большую.
Так, при n=1 наименьший корень уравнения (*) ka=2,75(λ=2,28a), в то время как по приближённой формуле при p=1 ka =π. Приn=1 наименьший корень уравнения (**) ka=4,50 (λ=1,40a) в то время каквторая формула (приближённая) дает ka=3π/4 при p=1.Согласно введённой выше классификации значения ka=2,75определяет частоту собственного колебания 011 , а значение ka=4,50 частоту колебаний 011 .
Как видно из приближённых выражений, всеостальные колебания имеют более высокие собственные частоты, так чтоколебание 011 является основным. Его частота является 3-х кратновырожденной, поскольку оба колебания 111 (функции U которыхпропорциональны cosφ или sinφ) имеют ту же собственную частоту.Собственному значению ka=4,50 соответствуют также ещё два колебания111 . Вырождение этих значений ka 3-х кратное, поскольку 2n+1=3 приn=1На рис.
представлены силовые линии колебаний 011 и 011 всферической полости. Можно показать, что поля колебаний 111 и 111получаются поворотом полей 011 и 011 на угол π/2 в плоскости XoZ илиYoZ.Остановимся на ещё одном классе колебательных систем.Открытые резонаторыРассмотренные выше резонаторы неприменимы на КВЧ, т.е. вмиллиметровых и ещё более коротковолновых диапазонах вплоть дооптического. В этом случае размеры их оказывается такими малыми чтоизготовление резонаторов невозможно. Кроме того, в малом объёмерезонатора можно запасти ничтожное количество энергии.
В оптическомдиапазоне волн применяют открытые резонаторы с высшими типамиколебаний. В открытых резонаторах с плоскими зеркалами(см. рисунок)укладывается по длине резонатора l большое число полуволн. Собственныеколебания (типы волн) Tmnp, где m,n - число вариаций поля в поперечныхнаправлениях, p вдоль оси. Основной тип T00pВ резонаторе без боковыхстенок стоячие волны образуютсятолько из-за отражения от торцевыхстенок.
Другие типы колебаний,обусловленныебоковыхотражениямистенок,исчезнут.отВрезультате спектр открытого резонаторабудет более "редким", чем спектр подобногозакрытогорезонатора.Однако,такойрезонатор весьма чувствителен к перекосамотражающихзеркал,чтоувеличиваетизлучение и снижает добротность.Конфокальныесферические резонаторы.
у которых фокусы обоих отражающих зеркал лежатв одной точке, имеют меньший уровень потерь на излучение, чем резонатор сплоскими зеркалами.Некоторыеспособывозбужденияивключенияобъёмныхштыреваяантеннарезонаторов.Возбуждение при помощи штыря.Небольшаявводится внутрь объёмного резонатора.Такой антенной может служить, например,отрезоквнутреннегопроводникакоаксиального кабеля. Для эффективноговозбуждения резонатора необходимо, знаяструктурувозбуждаемогополя,расположить штырь параллельно силовымлиниям электрического вектора. Подобное⃗.
Врасположение позволяет максимизировать скалярное произведение ст соответствии с теоремой Пойтинга поток мощности от источника внутрьрезонатора будет наибольшим.Возбуждение при помощи щели.Узкая щель , прорезанная в стенке резонатораявляется излучающей, если она перерезает линииповерхностного тока. Этот принцип позволяетвозбуждать резонатор при помощи щели, как виднона рисунке применительно к колебанию типа010 вкруглом резонаторе.Рассмотрим два характерных способавключенияобъёмныхрезонаторов. При первом, такназываемомспособе,частотеадсорбционномнарезонанснойпроисходитинтенсивный отбор мощности из основной линии передачи.
Как следствие, вчастотной характеристике коэффициента передачи наблюдается провал.Привтором,такназываемомпроходномспособевключения,резонаторимеетдвавозбуждающих устройстваииспользуетсякакчетырёхполюсник. Частотная характеристика системы имеет максимум нарезонансной частоте используемого типа колебаний.Добротность объёмных резонаторовДобротность объёмного резонатора равна умноженному на 2πотношению запасенной в объёмном резонаторе энергии W к энергии потерьΔW=Pпср∙Tрасходуемой за период электромагнитных колебаний T.Q = ωW/ Pпср = 2πW/( Pпср∙T) = 2πW/ΔWгде Pпср - средняя мощность потерь в колебательной системе.
Этовыражение позволяет получить известную формулу для добротностиобъёмного колебательного контура1 2 ==2=1 2пср 2Потериэлектромагнитнойэнергиивобъёмномрезонаторескладываются из Δ1 - потерь в неидеально проводящих стенках; Δ2 потерь в среде, заполняющий резонатор; Δсв - потерь связи с другимиустройствами и Δ - потерь на излучение в открытых объёмныхрезонаторах.Δ = Δ1 + Δ2 + Δсв + ΔДобротность объёмного резонатора с учётом перечисленных потерьопределяется по формуле:1/Q = 1/Q1 + 1/Q2 + 1/Qсв + 1/QΣи называется нагруженной добротностью.
ВеличиныQΣ, Qсв, Q2, Q1являются частичными добротностями. Они соответственно равны:1 = 212 = 2;Добротностьне2св = 2;связанногоссв; = 2внешними;устройствамирезонатора (св = 0)0 =Называется1 2 (1 2 + 1 + 2 )собственной,ненагруженнойилинесвязаннойдобротностью. Тогда нагруженная добротность равна:=СтрогиерасчётыQ0 св0 + сввызываютбольшиетрудности,поэтомуограничиваются приближёнными расчётами, в которых полагают, чтонебольшие потери в объёмных резонаторах не влияют на структуру поля внём: она остаётся одинаковой с учётом и без учёта потерь. Кроме того, всевиды потерь рассчитывают независимо друг от друга однако, следует меть ввиду, что при наличии вырожденных колебаний в резонаторе без потерьвырождение может исчезнуть, если учесть потери, и структура поля врезонаторе измениться.В качестве примера определим добротность ненагруженного Q0закрытого ( = 0) объёмного резонатора, не заполненного диэлектриком(2 = 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
