Lektsia_11 (842123), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Исследуемаянами совокупность колебаний может быть обозначена как H10P. Такаясимволика показывает, что поле объёмного резонатора порождаетсяволноводным типом колебаний H10, причем вдоль продольной оси Zукладывается з стоячих полуволн. Например для простейшего типа вол H101имеем:Ey=sin() ∙ sin()(6)где амплитудный множитель для удобства приняли равным единице.Магнитное поле в резонаторе находится на основании второгоуравнения Максвелла⃗rot ⃗ = -iωµ0откудаHx=−ωµ0sin ( ) ∙ cos()(7)Следует обратить внимание на очень важный факт наличиямнимых единиц в амплитудных множителях при составляющих магнитноговектора.
Их присутствие говорит о том, что между мгновенными значениямиэлектрического и магнитного полей в резонаторе постоянно существуетсдвиг по времени на величину2. Это является следствием того, что вобъёмном резонаторе, как и в любой другой, колебательной системепроисходит непрерывный процесс обмена энергий между электрическими имагнитными полями. Также, как и в обычном колебательном контуре,дважды за период энергия электрического поля переходит в энергиюмагнитного поля и наоборот. При этом, вектор Пойтинга, образованныйполями вида (6) и (7), имеет тождественно равное нулю среднее значение.Это значит, что объёмный резонатор, с энергетической точки зрения подобенколебательному контуру.Рассмотрим важный для практики вопрос о поверхностных токах,протекающихпостенкамрезонатора.Таккаквекторплотностиповерхностного тока на идеальномпроводнике перпендикулярен тангенциальнойсоставляющей магнитного поля, то приходим ккартине, показанной на рисунке для некоторогофиксированного момента времени.
Здесь токапроводимостистекаются к центру верхнейкрышкирезонатора,смыкаютсявнутринегопосредством токов смещения. Они в свою очередь,охватываются кольцевыми линиями магнитного поля в соответствии сзаконом полного тока.Общая задача о колебаниях в прямоугольномрезонаторе, классификация типов колебаний.Анализполейврезонаторепроизводятпосредствомрешенияуравнений Гельмгольца для составляющих Ez HzΔ Ez + k2 Ez = 0; Δ Hz + k2 Hz = 0при равенстве нулю тангенциальной составляющей электрическогополя на стенках резонатора.
В результате получаются выражения длярезонансной частоты и для составляющих векторов поля в резонаторе.Определим всю совокупность резонансных частот,которыесоответствуютколебаниямразличныхтиповвзамкнутойметаллической полости прямоугольной формы. Пусть ось Z является, как иранее, осью стоячей волны, а в поперечной плоскости XoY устанавливаетсяраспределение поля, отвечающее колебаниям типа Emn прямоугольноговолновода.Emnp - типы колебаний(Hz=0)Составляющие векторов поля в этом случае :Hx=iωεaC∙ sin(Hy=-iωεaC∙Ex=-C∙Ey=-C∙ ∙ ∙ 2)Ez=C∙[(cos(cos()cos(sin()cos()sin()sin()cos()cos()sin())sin(+ ( )2 ]∙sin()))sin())cos()Как было показано, условие резонанса приобретает видλ0Величина λсрез=2l/p.резсвязана с λ0рездисперсионнымсоотношением1/ λ0 рез2 = 1/ λс рез2 + 1/ λкр2(8)Поскольку кр = 2/√(/)2 + (/)2то из (8) получим:λ0 рез =2/ √(/)2 + (/)2 + (/)2(9)лаяКругωрез =1√ µ 2)√(+ ( )2 для Emnp1ωрез =√ µµ 2)+ ( )2 для Hmnp√(Прямоугольная:ωрез =1√(√ µ 22 2) +( ) +( )Если полагать, что по волноводу распространяется волна типа Hmn, тоформула для резонансных длин волн будет полностью аналогична (9), акомпоненты поля будут иметь видHmnp - типы колебаний(Ez=0)Ex=iωµaC∙ cos(Ey=-iωµaC∙Hx=-C∙Hy=-C∙Hz=C∙[(∗ 2)sin(∗)sin()cos(sin(cos()sin()cos()sin())cos())cos(+ ( )2 ]∙cos()sin()))cos()sin().
Заметим, что в формулу (9) размеры a, b и l, относящиеся к осям X,Yи Z соответственно, входят совершенно равноправно. Поскольку известно,сто некоторые из индексов типа колебаний могут равняться нулю, покрайней мере для вол Hmn, естественен вопрос о том, возможны лирезонаторные типы колебаний с индексом р=0. Согласно условию р=0 полене меняется на всем протяжении оси Z, вдоль которой распространяютсястенки длиной l.Если рассмотреть волноводную волну типа Emn то здесь силовыелинии электрического вектора располагаются так, как показано на рисунке(при m=1, n=1). Этот рисунок соответствуетслучаю,прикоторомтипколебанийявляется распространяющимся, т.е.
при λ0 <λкрλ0 →λкр=>если же λ0 стремиться к λкр то длина волны в волноводе устремляется кбесконечности и силовые линии электрического поля приобретают вид"нитей", параллельных оси Z. В пределе, при λ0 = λкр электрическое полеобладает единственной Z-ой составляющей, в силу чего гничные условия надвухидеальнопроводящихторцевыхстенкахбудутвыполнятьсяавтоматически независимо от расстояния l между ними.Таким образом, колебания типа Emn0 в прямоугольном резонаторесуществуют, если в (9) подставить значение р=0, то будем иметьλ0рез (Emn0)=2/√(/)2 + (/)2 , что в точности совпадает свыражением для критической длины волны колебания типа Emn впрямоугольном волноводе с размерами сечения a×b.
Это значит, что вобъёмном резонаторе с колебаниями типа Emn0 существует резонанс впоперечном ходу сечении.Рассмотрим теперь колебания типа Hmnp в прямоугольномобъёмном резонаторе.Здесь исходное волноводное колебаниетипаHmn(Ez=0)по определению, обладает только поперечным распределениемэлектрического поля. Если составляющие поля не будут меняться вдоль осиZ , как это должно быть в случае колебания Hmn0, то поле в любой точкерезонатора должно быть тождественно равно нулю, поскольку граничныеусловия на торцевых стенках выполнены быть не могут.
Таким образомколебания типа Hmn0 физически не существуют.Итак,классификациятиповколебанийвпрямоугольномобъёмном резонаторе проводится следующим образом:1) одна из осей резонатора принимается за ось стоячей волны;2) определяется, какой волноводный тип колебаний Emn или Hmnраспространяется в регулярном волноводе из которого оборудован объёмныйрезонатор;3)определяетсявеличинарчисло-стоячихполуволн,укладывающихся между торцевыми стенками.В результате приходим к колебаниям типа Emnр или Hmnр.Следует отметить, что данная классификация в значительной мере условная,поскольку она полностью определяется начальным выбором оси стоячейволны.Объёмный резонатор на основе круглого волновода.Рассмотрим цилиндрический объём, представляющий собойотрезок круглого металлического волновода, радиуса а, ограниченного с двухсторон проводящими торцевыми поверхностями.
Такая система получиланазвание объёмного резонатора.Внутрибесконечногокруглоговолноводамогутраспространяться волны типа Emn и Hmn. Тогда порождаемые колебанияEmnр и Hmnр имеют следующие компоненты электромагнитного поля:Emnp - типы колебаний(Hz=0)Hρ=− (Ez=( 2) ′ () cos sin∙1Eφ= ∙ ′ () cos cosHφ=−Eρ=−) sin cos () sin sin ∙ () cos cosгде - n-ный корень уравнения Бесселя ( (х) = 0), штрихозначает производную по всему аргументу.Hmnp - типы колебаний(Ez=0)Eρ=µµ (Eφ=µHρ=µ∙µ ′ µ () cos sin ′ µ () cos cos1 Hφ=− ∙µ 2)Hz=() sin sinµ (µ ∙ () sin cos) cos sin′ ( )где µ - n-ный корень уравнения (х = 0).Длина волны в волноводе (системе) с связана с длиной волны всвободном пространстве 0 при помощи дисперсионного уравнения1⁄ = 1⁄ + 1⁄2с2кр20независимо от типа волны.Критические длины волн вычисляются следующим образом:кр = 2⁄кр = 2⁄µР(10)Если теперь воспользоваться известным условием резонансаλсрез=2l/p, то из дисперсионного уравнения вытекают формулы, определяющиерезонансные длины для любого типа колебаний в круглом резонаторе:0рез= 1/√( /2)2 + (/2)2(11)0рез= 1/√(µ /2)2 + (/2)2(12)Вопрос о том, имеет ли физический смысл значение p=0 решаетсятаким же образом, как и в случае прямоугольного объёмного резонатора.
Вчастности, колебания Emn0 возможны. Примером может служить частоиспользуемое на практике колебание типа E010, структура поля которогоимеет вид:Важным свойством этого типа колебания является независимостьдлины волны от осевого размера l, что непосредственно вытекает изструктуры поля. Это же подтверждается и расчётом по формуле (11):0100рез= 2πa/01 = кр01Итак, данная система резонирует на длине волны котораяявляется критической для порождающего волноводного типа волны E01.Физически это означает что стоячие волны в рассматриваемом резонатореустанавливаются не по оси Z, а по радиальной координате p.Так же, как и в прямоугольном резонаторе, колебания типа Hmn0 вкруглом резонаторе существовать не могут.В качестве примеров приведены картины электромагнитногополя в круглом объёмном резонаторе, работающем на типах колебаний H011 иH111 соответственно.Данныеполя построены на основе сведений о структуреполя в волноводе и относятся к какому-либофиксированному моменту времени.Вобщемслучае,когдарезонаторпредставляет собой закороченный с обоих концовотрезок волновода произвольного поперечного сечения, резонансную длинуволны определяют из условия (4), откуда формула для резонансной частотыполучается следующейрез = фгде Vф - фазовая скорость волны в линии передачи, на базе которойвыполнен резонатор.В частности, для основного колебания типа Т1 объёмногорезонатора, представляющего собой закороченный с обоих концов отрезоккоаксиальнойпередачи.линииωрез =В √ µдециметровомдиапазоневолннаходятприменениекоаксиальные резонаторы, нагруженные на конденсатор.Резонансные частотытакогорезонатораопределяют как решенияуравненияZttg(рез )=1рез нгде Zt - волновоесопротивление коаксиальной линии передачи; c - скорость света; Cн - ёмкостьконденсатора, на который нагружена линия.Еслилиниюпередачисвернуть в кольцо, то образуетсярезонатор бегущей волны.
Резонансздесь наблюдается при условии, чтодлина резонатора l равна целому числудлин волн в линии, откударез = 2 ф, n = 1,2,3,...В некоторых электронныхприборахСВЧиспользуютсяквазистационарныетороидальныерезонаторы.Их расчёт проводят приближённо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
