Прогрессии (835796)
Текст из файла
Министерство образования и науки Российской ФедерацииФедеральное государственное бюджетное образовательноеучреждение высшего образованияПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТЕ. К. БелыйМатематика не для ЕГЭПрогрессииУчебное пособие для абитуриентови студентов первого курсаПетрозаводскИздательство ПетрГУ2016УДК 512.1ББК 22.14Б439Рецензенты:С.С.Платонов, доктор физико-математических наук, профессоркафедры геометрии и топологии ПетрГУ;Н. А. Киль, учитель первой категории СОШ № 42;Е.
С. Лоцман, кандидат педагогических наук, директор СОШ № 42Белый, Евгений Константинович.Б439 Прогрессии : учебное пособие для абитуриентов и студентовпервого курса / Е. К. Белый ; М-во образования и наукиРос. Федерации, Федер. бюджет. образоват. учреждение высш.образования Петрозавод. гос. ун-т. – Петрозаводск : ИздательствоПетрГУ, 2016. – 132 с. – (Математика не для ЕГЭ).ISBN 978-5-8021-2964-7Учебное пособие ориентировано на широкий круг читателей: учащихсястарших классов, абитуриентов, студентов, а также учителей математики средней школы.ISBN 978-5-8021-2964-7УДК 512.1ББК 22.14c Белый Е. К., 2016○c Петрозаводский государственный университет, 2016○СодержаниеПредисловие4Глава 1.
Арифметические прогрессии7§ 1.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . .7§ 1.2. Фигурные числа . . . . . . . . . . . . . . . . .12§ 1.3. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14Глава 2. Геометрические прогрессии32§ 2.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . .32§ 2.2.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36§ 2.3. Арифметико-геометрические прогрессии . . .55Глава 3. Финансовые вычисления65§ 3.1. Простые проценты . . . . . . . . . . . . . . .65§ 3.2. Сложные проценты . . . . . . . . . . . . . . .74§ 3.3. Финансовые потоки . . . . . . .
. . . . . . . .83Задачи95Ответы116Биографические справки125Список литературы128Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чемчерепаха, и находится позади нее на расстоянии в тысячушагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит эторасстояние, черепаха в ту же сторону проползет сто шагов.Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползет ещедесять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться добесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.Зенон ЭлейскийПредисловие⇒7Дорогой читатель! В новой книге серии «Математи-ка не для ЕГЭ» получили дальнейшее развитие принципы,заложенные в «Алгебраических уравнениях»: доступноеизложение материала, плавный переход от программысредней школы к вузовской и развитая навигация.Предлагаемая книга ориентирована на самостоятельнуюработу.
В середине прошлого века эксперименты психологовкогнитологов ряда стран подтвердили тот факт, чтонаиболееэффективнообучениеидетнагранице«известного» и «неизвестного». Процесс приобретенияновых знаний замедляется, если почти все непонятно илипочти все понятно.
Поэтому при обучении в группев незавидном положении оказываются как те, кто безнадежно отстал, так и те, кто ушел далеко вперед. НавыкиПРЕДИСЛОВИЕ5самостоятельной работы с книгой дают человеку возможность самому выбирать маршруты в бескрайнем океане знаний, делают его менее зависимым от среды обучения.Книгапосвященаарифметическимигеометрическимпрогрессиям: первые две главы собственно прогрессиям,а третья – их приложениям в финансовых вычислениях.Не каждый школьник может ответить на вопрос: зачем столько времени надо уделять прогрессиям? Тем не менее с этими замечательными последовательностями нам приходится сталкиваться довольно часто. Так, взбегая по лестнице, вы, если, конечно, не имеете обыкновения перепрыгивать через ступеньки, поднимаетесь с каждым шагом на постоянную величину по закону арифметической прогрессии.В записи числа веса его разрядов образуют геометрическуюпрогрессию со знаменателем 10, т.
е. {1, 10, 100, 1000 . . .}.Термин «прогрессия» происходит от латинского progressio,что значит движение, рост. Прогрессии интересовали людейс тех пор, как возникли первые цивилизации. Ещев клинописных текстах Древнего Вавилона, относящихсяко II тысячелетию до н. э., были обнаружены задачи на финансовые вычисления, решение которых предполагает умение обращаться с такими последовательностями, например:«За какое время удвоится денежная сумма, ссуженная под20 годовых процентов?». Другая задача зафиксирована нанайденном в Египте папирусе (XVII–XVIII вв. до н. э.):6«Тебе сказано: раздели 10 мер хлеба на 10 человек, еслиразность между каждым человеком и следующим составит1меры».
В Древней Греции III в. н. э. формула8суммы первых членов арифметической прогрессиибыла известна Архимеду и Диофанту, а в Индии V в. н. э.астроному и математику Ариабхате. В средневековойЕвропе формула впервые появилась в «Книге абака»Леонардо Фибоначчи (XII в.).
И по сей деньна ариф-метических и геометрических прогрессиях строитсявся классическая теория финансовых вычислений.А согласитесь, трудно найти сферу деятельности, в которой знакомство с основами финансовых вычислений былобы лишним. Надеемся, нам удалось убедить сомневающихсяв том, что изучение прогрессий отнюдь не праздное занятие.Тогда в путь!Автор благодарит всех, кого заинтересовала первая книга«Алгебраические уравнения», кто высказал свои замечанияи пожелания, а также коллектив школы № 42 и директора НОУ «Орбита» Г. А. Крылову за поддержку во времяработы над книгой.
Как и прежде, замечания и пожеланиявы можете направлять по адресу:belyi@petrsu.ru.Евгений БелыйФевраль 2016Глава 1. Арифметические прогрессии§ 1.1. Основные понятия4 ⇔ 12 Арифметическая прогрессия – это последовательность вещественных чисел, каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего путем прибавления к нему некоторой фиксированной величины :еслипервый член прогрессии равен 1 , то для натуральных > 1справедливо равенство = −1 + .
Формулу, выражающую -й член последовательности через один или несколькопредыдущих, называют рекуррентной (от лат. recurrentis– возвращающийся). По индукции из заданной выше рекуррентной формулы получим формулу -го члена арифметической прогрессии: = 1 + ( − 1), где = 1, 2, 3, . . .,и запишем прогрессию в виде1 , 1 + , 1 + 2, 1 + 3 . . .
.Величину называют разностью прогрессии, или шагомпрогрессии. Арифметическая прогрессия при > 0 строгомонотонно возрастает, при < 0 строго монотонно убывает, при = 0 стационарна. Так, ряд натуральных чисел{1, 2, 3, 4, . . .} – прогрессия с первым членом и разностью,равными 1. Для любого члена арифметической прогрессии,8начиная со второго, выполняется равенство =−1 + +1⇔ 2 = −1 + +1 .
Действительно,2−1 + +11 + ( − 2) + 1 + ==2221 + 2( − 1)== 1 + ( − 1) = .2И наоборот, если – среднее арифметическое и , т. е.+=, то числа , и образуют арифметическую про2грессию. Если нет причин поступить иначе, мы и дальшебудем обозначать буквой a с индексом члены арифметической прогрессии, а сумму первых ее членов : =∑︁ = 1 + 2 + . . . + .=1Знак суммыввел в XVIII веке Леонард Эйлер.
В даль∏︀нейшем мы встретим знак , которым в XIX веке Карл∑︀Гаусс стал обозначать произведение множества индекси∏︁рованных переменных: = 1 · 2 · . . . · .=1Найдем формулу для . Для этого запишем сумму первых членов прогрессии в порядке возрастания индексов,а ниже ту же сумму в порядке убывания индексов и сложим величины, попавшие в один столбец:ГЛАВА 1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ9 =1+ 2+ ...+ −1+ =+ −1+ ...+ 2+ 1+ 2 + −1+ ...2 = 1 + В первой строке каждое слагаемое больше предыдущегона величину . Во второй, наоборот, каждое следующее слагаемое меньше предыдущего на . Таким образом, суммыэлементов соответствующих столбцов не меняются и всегдаравны1 + .Поскольку у нас1 + 2 = (1 + ) · ⇒ =· .2Из равенства = 1 + ( − 1) следует: =столбцов,1 + 21 + ( − 1)·=· .22Иногда под арифметической прогрессией подразумевают конечное число ее первых членов.
Используют даже термин«конечная арифметическая прогрессия». Обычно такое«вольнодумство» не приводит к недоразумениям. Часто приопределении арифметической прогрессии полагают ̸= 0,т.е.исключаютслучайстационарнойпрогрессии.Последнее непринципиально, но в некоторых случаях можетвынудить нас делать лишние оговорки, например, в приведенном ниже утверждении о сумме двух арифметическихпрогрессий.(1)Определим сумму двух последовательностей { } и(2){ } как последовательность { }, для членов которой10(1)(2)имеет место равенство = + .
Произведение по(1)следовательности { } на число определим как после-довательность произведений соответствующих ее членов наэто число. Линейной комбинацией двух последовательностей(1){ }и(1)(2){ }назовемпоследовательность(2){ } = { } + { }, для членов которой имеет место(1)(2)равенство = + , где и – константы. Тогда:(1)(2)1) сумма двух арифметических прогрессий { } и { } –арифметическая прогрессия(2)(1)(2){ } = {(1) } + { } = { + }, где = 1, 2, .
. . ,(1)(2)у которой 1 = 1 + 1 , а = (1) + (2) ;2)произведениеарифметическойпрогрессии(1){ }на число – арифметическая прогрессия(1){ } = · {(1) } = { · }, где = 1, 2, . . . ,(1)у которой 1 = 1 , а = (1) ;3) любая линейная комбинация двух арифметических(1)(2)прогрессий { } и { } – арифметическая прогрессия(2){ } = {·(1) +· }, где = 1, 2, 3, .
. . , и – константы.Заметим, сумма первых членов линейной комбинации двухарифметических прогрессий будет линейной комбинациейГЛАВА 1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИсумм прогрессий:(1)(2) = · + · ⇒∑︁ = =1∑︁(1) + =1Определим две прогрессии { } и { }:⎧⎨{ } = {1, 1, 1, 1, . . .}⎩{ } = {0, 1, 2, 3 . . .}∑︁11(2) .=1, где = 1, 2, 3, . . . .Первая прогрессия стационарная, вторая – последовательность неотрицательных целых чисел. Тогда арифметическуюпрогрессию { } с первым членом 1 и разностью можнопредставить как { } = 1 { } + { }.Рассматривают также арифметические прогрессии второго порядка – последовательности чисел, разности кото-рых образуют обычную арифметическую прогрессию (прогрессию первого порядка); арифметические прогрессиитретьего порядка – последовательности чисел, разностикоторых образуют арифметическую прогрессию второго порядка и т. д.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
