Прогрессии (835796), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Если нет причин поступать иначе, мы и далее будем обозначать члены геометрической прогрессии буквой с соответствующим индексом. Сумму первых ее членов∑︁обозначим = = 1 + 2 + . . . + .=1Найдем сумму первых членов геометрической прогрессии = 1 + 1 + 1 2 + . . . + 1 −2 + 1 −1 .Для этого умножим левую и правую части последнегоравенства на знаменатель прогрессии : = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 −1 + 1 ,34вычтем полученное равенство из исходного: − = 1 − 1 ⇒ = 11 − − 1= 1.1−−1Если знаменатель геометрической прогрессии по модулю меньше 1, т.
е. ||< 1,lim = 0 ⇒ lim = 1→∞→∞1= .1−Таким образом, при ||< 1 существует lim , который→∞называют суммой бесконечно убывающей геометри1ческой прогрессии: = 1.1−Например, пусть дан прямоугольный равнобедренный треугольник площадью = 2 (рис. 4).Рис. 4.Площадь заштрихованной области стремится к 2ГЛАВА 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ351.
Опустим перпендикуляр из вершины прямого углана гипотенузу. Перпендикуляр разобьет треугольник на двапрямоугольных равнобедренных треугольника площадью 1.Заштрихуем тот, что слева. Площадь заштрихованной области 1 = 1 (рис. 4а).2. Из вершины прямого угла незаштрихованного треугольника снова опустим перпендикуляр на гипотенузу. Перпендикуляр разобьет треугольник на два треугольника площадью 12 .
Заштрихуем тот, что выше. Теперь площадь заштрихованной области 2 = 1 + 21 (рис. 4б).3. Продолжая дальше делить треугольник, на третьем шагеполучим заштрихованную область 3 = 1 +12+14(рис. 4в).На -м шаге площадь заштрихованной области будет = 1 +1 1 11+ + + . . . + −1 .2 4 82Поскольку площадь всего большого треугольника = 2,мы можем сделать величину сколь угодно близкой к 2,но никогда не достигнем этого предела.Пусть даны две геометрические прогрессии { } и { }, где = 1, 2, 3, .
. . c первыми членами 1 , 1 и знаменателями, соответственно. Выделим три операции над геометрическими прогрессиями, результатом выполнения которых являются геометрические прогрессии:1. Последовательность, составленная из произведений36членов прогрессии { } на константу , – геометрическаяпрогрессия со знаменателем и первым членом 1 .2. Последовательнось, составленная из членов { }, возведенных в степень , где – константа, – геометрическаяпрогрессия со знаменателем и первым членом 1 .3. Последовательность, составленная из произведений соответствующих членов прогрессий { } и { }, – геометрическая прогрессия с первым членом 1 1 и знаменателем .Произведение первых членов геометрической прогрессии{ }, где = 1, 2, 3, .
. ., находится из равенства1 2 3 . . . =∏︁ ==11∏︁ −1 = 1 1+2+...+−1 = 1 (−1)2.=1§ 2.2. Примеры32 ⇔ 55 102Пример 30.Дана прогрессия {3, 6, 12, . . .}. Найти 5 .Решение. Прежде всего убедимся в том, что речь действи-тельно идет о геометрической прогрессии:=612== 2. Тогда 5 = 1 4 = 3 · 24 = 48.36Ответ: 48. 102Пример 31.Является ли последовательность{5, 10, 19, . . .} геометрической прогрессией?ГЛАВА 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ371019̸= .510Ответ: не является.Решение:Задача из российской рукописи XVII столе-Пример 32.тия: «Было 40 градов, а во всяком граде по 40 улиц, а вовсякой улице по 40 домов, а во всяком доме по 40 столпов,а во всяком столпе по 40 колец, а у всякого кольца по 40 коней, а у всякого коня по 40 человек, а у всякого человекапо 40 плетей; ино много-ли поразнь всего будет?» [2, с.
22].Решение. Количество градов 1 = 40, в каждом граде40 улиц, т. е. всего 2 = 1 · 40 = 1 600. На каждой улице 40 домов, т. е. всего 3 = 2 · 40 = 64 000 и т. д.Ответ представим в виде таблицы:Член прогрессииСущностьКоличество1грады402улицы1 6003дома4столпы2 560 0005кольца102 400 0006кони4 096 000 0007люди163 840 000 0008плети6 553 600 000 00064 000Результат впечатляет! Народу в этих 40 городах более163 миллиардов, а количество плетей выражается числом 102386 триллионов 553 миллиарда 600 миллионов. 102Четвертый член геометрической прогрессииПример 33.равен 3, а восьмой 48.
Найти первый член и знаменатель.Решение:⎧⎨ 3 = 3⎩ = 48⎧⎨1 3 = 3⇒⎩ 7 = 4817⇒ 4 =48= 16 ⇒ = ±2.31) = −2 ⇒ 1 (−8) = 3 ⇒ 1 = − 38 ;2) = 2 ⇒ 1 8 = 3 ⇒ 1 = 83 .Ответ: условиям задачи удовлетворяют две последователь-ности, заданные первым членом и знаменателем:⎧⎨ 1 = − 38⎩ = −2 102и⎧⎨ 1 = 38⎩ = 2Найти четыре числа, образующие геомет-Пример 34.рическую прогрессию, если сумма первого и третьего равна 35, а сумма второго и четвертого – (-70).Решение:⎧⎨1 + 3 = 35⎩ + = −7024⎧⎨1 + 1 2 = 35⇒⎩ + 3 = −7011(1 + 1 2 ) = −70 ⇒ · 35 = −70 ⇒ = −2.1 + 1 2 = 35 ⇒ 1 (1 + 2 ) = 35 ⇒ 1 5 = 35 ⇒ 1 = 7.ГЛАВА 2.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ392 = 1 = −14, 3 = 2 = 28, 4 = 3 = −56.Ответ: {7, −14, 28, −56}.Пример 35.Является ли геометрической прогрессией по- 103следовательность, заданная формулой = 2 · 3+1 + 3 ?Решение. Для = 1, 2, 3, . . .+12 · 3+2 + 3+12·9+3=== 3.+12·3+32·3+1Ответ: является прогрессией со знаменателем = 3.Пример 36.Является ли геометрической прогрессией по- 103следовательность, заданная формулой = 2 + 3−1 ?Решение:25311= ̸== .1225Ответ: не является.Пример 37.Числа 1 , 2 и 3 образуют арифметическуюпрогрессию, а числа 1 −1, 2 +1 и 3 +15 – геометрическую.Найти 1 и , если 1 + 2 + 3 = 24.Решение:⎧⎨31 + 3 = 24⇒⎩( + + 1)2 = ( − 1)( + 2 + 15)111⎧⎨1 + = 8⇒⎩2 + 4 + 16 − 12 = 01⎧⎨1 = 8 − ⇒⎩2 + 16 − 80 = 0 10340Ответ: 95⎧⎨1 = 281)⎩ = −20Пример 38.⎧⎨1 = 4и 2)⎩ = 4Сумма трех положительных чисел, со-ставляющих арифметическую прогрессию, равна 15.
Еслико второму из них прибавить 1, к третьему 5, а первое оставить без изменения, получится геометрическая прогрессия.Найти три исходных числа.Решение:⎧⎧⎨1 + 2 + 3 = 15⎨31 + 3 = 15⇒⇒⎩ 2 +1 = 3 +5⎩ 1 ++1 = 1 +2+512 +111 ++1⎧⎧⎨1 = 5 − ⎨1 = 5 − ⇒⇒⎩2 + 2 − 3 + 1 = 0⎩2 + 5 − 14 = 01Корни квадратного трехчлена 1 = −7 и 2 = 2.1) = −7 ⇒ 1 = 12:арифметическая прогрессиягеометрическая прогрессия2) = 2 ⇒ 1 = 3:арифметическая прогрессия 1041 = 12,2 = 5,3 = −2;1 = 12,2 = 6,3 = 3;1 = 3 2 = 53 = 7;геометрическая прогрессия1 = 3 2 = 6Ответ: 1) {12, 5, −2} и 2) {3, 5, 7}.3 = 12.Пример 39.Шахматы появились примерно 3 тыс.
летназад в Индии. Согласно одной из легенд, царю настолькоГЛАВА 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ41понравилась новая игра, что он немедленно вызвалк себе изобретателя и спросил, какую награду он хочетполучить. Изобретатель попросил за первую клетку однопшеничное зерно, за вторую – два, за третью – четыре идалее за каждую следующую клетку вдвое больше, чем запредыдущую. Столь ничтожная просьба разгневала царя.Он прогнал изобретателя и приказал казначею отсчитатьзатребованное количество зерен. За обедом между прочимцарь поинтересовался, выполнен ли его приказ. Казначейответил, что нет, поскольку награда слишком велика.
Царьи слушать не хотел столь нелепых оправданий. Наградадолжна быть выплачена! Придворные математики трудились всю ночь, и к утру казначей вновь предстал перед царем, чтобы сообщить, что для выплаты вознаграждения нехватит зерен, хранящихся во всех амбарах царя, в житницах всего государства и даже всей Земли. Что это за число?Решение. Поскольку шахматная доска разбита на 64 клет-ки, за последнюю клетку изобретатель должен получить 263зерна, а общее количество зерен составит:64 = 1 + 2 + 22 + 23 + . . .
+ 263 =64∑︁2−1 ==1264 − 1== 18 446 744 073 709 551 615.2−1Ответ: 18 446 744 073 709 551 615, т. е. 18 квинтиллионов446 квадриллионов 744 триллиона 73 миллиарда 709 миллионов 551 тысяча 615 зерен.42Если считать вес одного зерна равным 0.065 г, доска совсеми зернами весила бы около 1.2 триллиона тонн. Интересно, что в санскрите (древний индо-арийский язык) былислова для именования чисел до 1053 .На с. 76 мы рассмотрим пример геометрической прогрессиисо знаменателем, немного большим 1.В геометрической прогрессии первый член1равен 486, знаменатель. Найти сумму первых четырех3членов прогрессии.(︀ )︀41 − 311 − Решение: 4 = 1= 486= 720.1−1 − 13Ответ: 720. 104Пример 40.
104Пример 41.Знаменатель геометрической прогрессии =−2, сумма первых пяти членов 5 = 5.5. Найти пятый членпрогрессии.Решение:5 = 1331 − 5= 1 = 1 11 ⇒ 1 11 = 5.5 ⇒ 1 = 0.5.1−3Тогда5 = 1 4 = 0.5 · 16 = 8.Ответ: 8.Изменим условия двух задач из первой главы (с. 17). 104Пример 42.Казачья сотня отличилась в бою, и атаманрешил наградить одного рядового, одного приказного, одного урядника, вахмистра, одного подхорунжия, одного хо-ГЛАВА 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ43рунжия и сотенного есаула. Рядовому казаку был выдан 1руб.
и далее каждому следующему чину в два раза большепредыдущего. Какова общая сумма вознаграждения?Решение. Всего перечислено 7 чинов. Вознаграждение ря-дового казака 1 = 1, далее от чина к чину вознаграждение1 − 27удваивается, т. е. = 2. Таким образом, 7 == 127.1−2Ответ: 127 руб.Пример 43.Какова общая сумма вознаграждения, еслиатаман наградит всю сотню казаков и выдаст рядовым по1 руб., приказным по 2 руб., урядникам по 4 руб., вахмистру 8 руб., подхорунжиям по 16 руб., хорунжиям по32 руб. и сотенному есаулу 64 руб.? Пусть в сотне 90 рядовых казаков, 20 приказных, 12 урядников, 1 вахмистр,3 подхорунжия, 2 хорунжия и 1 сотенный есаул.Решение. Награды по возрастанию чинов образуют гео-метрическую прогрессию { } = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64}.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
