Прогрессии (835796), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Арифметической прогрессией n-го порядка, где > 1, называют последовательность чисел, раз-ности которых образуют прогрессию порядка − 1. Такиепрогрессии иногда называют арифметическими рядами.Их рассматривали еще в школе Пифагора. Чтобы получить -й член прогрессии порядка + 1, достаточно найти сумму первых членов прогрессии порядка .12Ниже в таблице представлены прогрессии, порожденные натуральным рядом чисел:Арифметическая прогрессияПорядок12345678...1-й1361015212836...2-й141020355684120...3-й15153570126210330...4-й162156126252462792...5-й1728842104629241716...6-йЛюбой прогрессии порядка соответствует многочлен () = + .
. . + 1 + 0 , такой, что -й член прогрессииравен (). В частности, для прогрессии первого порядкамногочлен имеет вид1 () = + (1 − ) ⇒ 1 (1) = 1 , 1 (2) = 1 + , . . . ;второго порядка(︂ –)︂ 22 () = + 1 − ⇒ 2 (1) = 1 , 2 (2) = 21 +, . . . .22§ 1.2. Фигурные числа7 ⇔ 14 С незапамятных времен люди, оперируя с числами, выстраивали на земле замысловатые фигуры из камешков. С какой целью? Ответить на этот вопрос непросто.Наблюдали ли вы, как ласково раскладывает кошка на пороге хозяйского дома свои ночные трофеи? Она не только аккуратно уложит мышек в ряд, но и отсортирует ихГЛАВА 1.
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ13по размеру. А как паук плетет такие идеально симметричные узоры? Снова загадка. Однако вернемся к числам. Пифагорийцы считали, что фигурные числа скрывают тайнымироздания. К ним проявляли интерес Эратосфен, Гипсикл,Диофант Александрийский и другие математики античности. В средние века фигурные числа занимали Пачоли, Кардано, Фибоначчи и др., а в Новое время – Ферма, Коши иЭйлера. Мы же ограничимся только одним классом фигурных чисел – многоугольными (рис. 1).Любая арифметическая прогрессия с = 1 + ( − 1),Фигурные числа: а) треугольные, б) квадратные,в) пятиугольные, г) шестиугольныеРис. 1.где = 1, 2, . .
., а – целое число, порождает прогрессиювторого порядка – последовательность ( + 2)-угольных чисел. Если количество углов многоугольника обозначить ,тоисходнуюпрогрессиюможнозадатьформулой = 1 + ( − 1)( − 2), а соответствующую прогрессию 2-го1 + [2 + ( − 1)( − 2)]порядка – =·=. Ниже в22таблице представлены числа, соответствующие = 3, 4, 5, 6.14ФигураЧислаТреугольник1,3,6,10,15,...Четырехугольник1,4,9,16,25,...Пятиугольник1,5,12,22,35,...Шестиугольник1,6,15,28,48,...( + 1)22(3 − 1)2(2 − 1)§ 1.3.
Примеры12 ⇔ 32Арифметическую прогрессию однозначно опре-деляют значения 1 и . 95Пример 1.Дана прогрессия 1.2, 1.5, 1.8 . . . . Найти 5 .Решение. Разность прогрессии = 1.5 − 1.2 = 0.3. Пятыйчлен 5 = 1 + 4 = 1.2 + 4 · 0.3 = 2.4.Ответ: 2.4.Зная любые два члена прогрессии, можно найти 1 и . 95Пример 2.Пусть 10 = 10, 14 = 2. Найти 1 и .Решение:⎧⎨10 = 10⎩ = 214⇒⎧⎨1 + 9 = 10⎩ + 13 = 21⇒ 4 = −8 ⇒ = −2.ГЛАВА 1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ15Тогда 1 − 18 = 10 ⇒ 1 = 28.Ответ: 1 = 28, = −2.Седьмой член арифметической прогрессииПример 3.
95равен 1 и равен 4 − 2 . Найти 1 и .Решение:⎧⎨7 = 1⎩ = − 742⇒⇒⎧⎨1 + 6 = 1⇒⎩ + 3 − ( + ) = 111⎧⎨1 + 6 = 1⎩2 = 11⇒ = , 1 = −2.21, 1 = −2.2Пример 4.Последовательность задана формулойОтвет: = 95 = −2 + 3. Является ли эта последовательность арифметической прогрессией?Решение. Для любого = 1, 2, 3, . . . выполняется условие+1 = −2+3(+1) = −2+3+3 = +3, т. е. +1 = +3.Ответ: последовательность является арифметической про-грессией с разностью = 3.ПримерПоследовательность задана формулой5.
= −2 + 3 . Является ли эта последовательность ариф2метической прогрессией?Решение. Для любого = 1, 2, 3, . . . выполняется условие+1 = −2 + 3( + 1)2 = −2 + 32 + 6 + 3 = + 6 + 3, т. е. 9516+1 = + 6 + 3. Таким образом, 2 = 1 + 9, 3 = 2 + 15.Ответ: поскольку 2 − 1 ̸= 3 − 2 , последовательностьне является арифметической прогрессией. 96Пример 6.Даны величины 1 = lg 2, 2 = lg(3 − 3),3 = lg(3 + 9).
При каких числа 1 , 2 , 3 , взятые в указанном порядке, образуют арифметическую прогрессию?Решение. Воспользуемся известным отношением междутремя соседними членами арифметической прогрессии:22 = 1 + 3 ⇒ 2 · lg(3 − 3) = lg 2 + lg(3 + 9) ⇒⇒ lg(3 − 3)2 = lg[2(3 + 9)] ⇒ 32 − 6 · 3 + 9 = 2 · 3 + 18 ⇒⇒ 32 − 8 · 3 − 9 = 0. Пусть 3 = .Уравнение 2 − 8 − 9 = 0 имеет решения: 1 = −1 и 2 = 9.1) Уравнение 3 = −1 не имеет решения;2) 3 = 9 ⇒ 3 = 32 ⇒ = 2.Ответ: при = 2. 96Пример 7.1 = 2, 10 = 20.
Найти сумму первых десятичленов арифметической прогрессии.1 + 102 + 20Решение: 10 =· 10 =· 10 = 110.22Ответ: 110.Справка о чинах в казачьих войсках. Приказной соответствует ефрейтору в современной армии, урядник – сержанту, вахмистр – ротному старшине, подхорунжий –прапорщику, хорунжий – лейтенанту, а сотенный есаулГЛАВА 1.
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ17– капитану, командиру роты. Еще одно замечание: сейчасвознаграждение в 1 руб. может показаться смехотворным, но когда-то за 1 руб. можно было купить корову, аза 2 руб. вполне приличную избу.Казачья сотня отличилась в бою, и атаманПример 8. 96решил наградить одного рядового казака, одного приказного, одного урядника, вахмистра, одного подхорунжия, одного хорунжия и сотенного есаула. Рядовому дал 1 руб.,и далее каждому следующему чину – на 2 руб. больше предыдущего.
Какова общая сумма вознаграждения?Решение. Всего перечислено 7 чинов. Вознаграждениерядового казака 1 = 1, далее от чина к чину оно увеличивается на величину = 2, т. е. по закону арифметическойпрогрессии. Таким образом,7 =21 + 62+6·2·7=· 7 = 49.22Ответ: 49 руб.Пример 9.Изменим условия примера № 8. Атаманрешил наградить всю сотню и выдать рядовым казакам по1 руб., приказным по 3, урядникам по 5, вахмистру 7, подхорунжиям по 9, хорунжиям по 11 и сотенному есаулу 13 рублей. Всего в сотне было 90 рядовых казаков, 20 приказных,12 урядников, 1 вахмистр, 3 подхорунжия, 2 хорунжия и1 есаул. Найти общую сумму вознаграждения.
9618Решение. Награды по-прежнему образуют арифметическуюпрогрессию { } = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}. Но теперь формуласуммы членов прогрессии нам не поможет. Каждый чинпредставлен группой казаков. Численность группы в статистике называют весом группы. Вес -й группы обозначим . Тогда веса групп в порядке возрастания чинов образуютпоследовательность { } = {90, 20, 12, 1, 3, 2, 1}.
Осталосьнайти взвешенную сумму членов прогрессии:7∑︁1 1 + 2 2 + . . . + 7 7 = ==1= 90 · 1 + 20 · 3 + 12 · 5 + 1 · 7 + 3 · 9 + 2 · 11 + 1 · 13 = 279.Ответ: 279 руб. 97Пример 10. Пусть 1 = 4, = −20, = −2. Найти сумму первых членов прогрессии.Решение: = 1 + ( − 1) ⇒ =13 = − 1+ 1 = 13.1 + 134 − 20· 13 =· 13 = −104.22Ответ: −104.Следующий пример связан с проектированием лестницы.Плоскость ступени лестницы называют проступью,а длину проступи в направлении подъема шагом лестницы.Обозначим высоту ступени, т. е.
расстояние повертикали между двумя соседними проступями, буквой ,а шаг лестницы – (рис. 2). Архитекторы XVII века уста-ГЛАВА 1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИРис. 2.новили19Лестница, ведущая к тронуоптимальныеотношениямеждушагом лестницы и высотой ступени:⎧⎨ + = 45 (формула безопасности лестницы);⎩ − = 12 (формула удобства лестницы).За триста с лишним лет появилось много новых нормативов. Но если вы замерите параметры ступеней лестничного пролета в своем доме, то убедитесь, что с тех пормало что изменилось. Выходит, параметры и не такиеуж произвольные.
Введем еще один параметр – ширину20лестницы,т. е. длину проступи в направлении, перпен-дикулярном плоскости (см. рис. 2). 97Пример 11.Царь повелел установить трон на возвышен-ном месте и подвести к нему мраморную лестницу с заданными параметрами: – количество ступеней, – высотаступени, – шаг лестницы, – ширина.
Какой объем мрамора потребуется для строительства лестницы?Решение. Высота первой ступени 1 = , на нее потребу-ется мрамора 1 = · · . Высота следующей ступени отземли 2 = 2, на нее потребуется мрамора 2 = 2 · · .Продолжая рассуждать по индукции, заметим, что под -йступенью должен располагаться мраморный блок объемом = · · , где = . Таким образом, высоты ступенейот основания лестницы образуют арифметическую прогрессию.
Суммарный объем всех мраморных блоков( + 1) = 1 + 2 + . . . + = (1 + . . . + ) · · =· · · .2( + 1)Ответ: =· · · .2 97Пусть 1 = 1.2, ⎧4 = 1.8. Найти 6 .⎨1 = 1.2⎨1 = 1.2⇒Решение:⇒⎩ + 3 = 1.8⎩ = 0.2Пример 12.⎧1⇒ 6 =21 + 52.4 + 1·6=· 6 = 10.2.22ГЛАВА 1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ21Ответ: 10.2.Пример 13.Вычислить 7.5 + 9.8 + 12.1 + . . . + 53.5.
97Решение: 1 = 7.5, = 53.5, = 9.8 − 7, 5 = 2.3. = 1 + ( − 1) ⇒ =21 = − 153.5 − 7.5+1 =+ 1 = 21.2.37.5 + 53.51 + 21· 21 =· 21 = 640.5.22Ответ: 640.5.5. Найти сумму первых семи членов14арифметической прогрессии.Пример 14.4 =Решение: 4 =⇒ 1 + 3 =⇒7 = (1 + 3) · 7 =7 =51421 +6·2514 98⇒514· 7 = 2.5.Ответ: 2.5.Пример 15.Сумма четвертого и шестого членов арифме- 95тической прогрессии равна 14. Найти сумму первых девятичленов этой прогрессии.Решение: 4 + 6 = 14 ⇒ 1 + 3 + 1 + 5 = 14 ⇒⇒ 21 + 8 = 14 ⇒ 9 =Ответ: 63.Пример 16.21 + 814·9=· 9 = 63.22Требуется разделить 10 мер хлеба на10 человек так, чтобы разность между каждым человеком1и следующим составила меры.8 9822Решение. У нас десять членов прогрессии с шагом =010 = 10 ⇒1.81 + 1021 + 9· 10 = 10 ⇒=1⇒22⇒ 21 + 9 = 2 ⇒ 21 +97= 2 ⇒ 1 = .816Ответ: требование задачи будет выполнено, если первый7человек получитмеры хлеба, а каждый следующий161на меры больше предыдущего.8 98Пример 17.Сумма первых пяти членов арифметическойпрогрессии равна 30.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
