Прогрессии (835796), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Переберем все трехзначные числа, образующиевозрастающие геометрические прогрессии. Для этого будемрассматривать первые цифры, начиная с единицы, а знаменатель прогрессии – начиная с двух. Стационарную прогрессию сразу исключим, поскольку для нее не выполняется одно из условий задачи. Непосредственный перебор показывает, что таких чисел всего три: 124, 139 и 248. Каждому числусоответствует число, цифры которого образуют убывающуюгеометрическую прогрессию: 421, 931 и 842.
Вычесть число792 мы можем только из последних двух. Второе условиевыполняется лишь для числа 931.Ответ: 931. 107Пример 61.Пусть { } – геометрическая прогрессия.Найти произведение ее первых членов, если известны∑︁∑︁1= . = и=1=1Решение. Произведение первых членов прогрессии1 2 3 . . . =∏︁=1 = 1 (−1)2(см. с. 36).ГЛАВА 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ⎧ ∑︁⎪⎪⎪ = ⎪⎨=1∑︁ 1⎪⎪⎪=⎪⎩=155⎧ −1⎪⎪⎨ 1 − 1 = ⇒ 1 1 − 1⎪⎪=⎩1 1 − 1Разделив первое уравнение на второе, получим:(︂ )︂ 2∏︁(−1)2 .== 1 =1= 21 −1 ⇒(︂ )︂ 2Ответ: =.=1∏︁§ 2.3. Арифметико-геометрические прогрессии36 ⇔ 65 Последовательность { }, первый член которойвыбирается произвольно, а каждый следующий получается из предыдущего по формуле+1 = + , где = 1, 2, 3, .
. . , и – константы,называют арифметико-геометрической прогрессией.Такое определение корректно, поскольку при = 1 из прогрессии { } мы получаем арифметическую, а при = 0 –геометрическую прогрессию. Как и раньше, буквой будемобозначать разность прогрессии, а – знаменатель. Прогрессию однозначно определяют три параметра: 1 , и .Пример62.Являетсялипоследовательность 107563, 11, 27, 59, 123, .
. . арифметико-геометрической прогрессией? Если да, найдите значения и .Решение. Для арифметико-геометрической прогрессиидолжны выполняться условия:⎧⎨ 2 = + 1 ⎩ = + 32⎧⎨ + 3 = 11⇒⎩ + 11 = 27⇒⇒ 8 = 16 ⇒ = 2 ⇒ + 6 = 11 ⇒ = 5.Условие +1 = + выполняется и для = 3, 4, 5.Ответ: = 5, = 2. 107ПримерЯвляется63.липоследовательность4, 18, 60, 185, . . . арифметико-геометрической прогрессией?Решение. Запишем условия:⎧⎨ 2 = + 1 ⎩ = + 32⎧⎨ + 4 = 18⇒⎩ + 18 = 60⇒⇒ 14 = 42 ⇒ = 3 ⇒ + 12 = 18 ⇒ = 6.Однако 4 ̸= + 3 , т. е. 185 ̸= 6 + 60 · 3.Ответ: не является.Найдем формулы для -го члена и суммы первых членоварифметико-геометрической прогрессии. Для этого к обеимчастям равенства +1 = + прибавим:−1ГЛАВА 2.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ57(︂)︂+1 += + += += +.−1−1−1−1(︂)︂= +Таким образом, +1 +.−1−1Введем обозначение = +. Тогда +1 = · ,−1где = 1, 2, 3, . . . , последовательность { } является геометрической прогрессией и = 1 −1 . = 1 −1=⇒ +−1(︂1 +−1)︂ −1 ⇒(︂⇒ = 1 +)︂ −1 −⇒−1−1)︂ (︂∑︁ −1 = 1 +−.⇒ =−1−1−1=1Мы вывели две формулы:⎧(︁)︁⎨ = 1 + −1 − ;−1−1(︁)︁⎩ = + −1 − .1−1−1−1(1)Пример 64. Найти седьмой член прогрессии, первый членкоторой равен 5, разность = 3 и знаменателеь = 2.
10858Решение. Применим первую из формул (1):(︂7 = 5 +32−1)︂26 −3= 509.2−1Ответ: 509. 108ПримерНайти сумму первых пяти членов65.прогрессии, первый член которой равен 5, = 3 и = 6.Решение. Применим вторую из формул (1):(︂5 =35+2−1)︂25 − 13·5−= 233.2−12−1Ответ: 233.Параметры и арифметико-геометрической прогрессииможно выразить из равенств:⎧⎨ = −1 + ⎩= ++1⇒ +1 = ⇒=+1 − ⇒ − −1+1 − 2 − +1 −1+ ⇒ = ⇒ − −1 − −1⎧2 − +1 −1⎪⎨ = − −1⇒− +1⎪⎩ = − −1(2)Два важных замечания: при = 1 (1 − ) прогрессия стационарна, т. е. 1 = 2 = 3 = . .
. =; при ||< 11−ГЛАВА 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ59(︂lim = lim→∞→∞Пример 66.)︂1 + −1 −=.−1−11−Дана трапеция 1 1 , у которой ||= и |1 1 |= 1 . Пусть 2 – точка пересечения диагонали 1со средней линией трапеции 2 2 , 2 – точка пересечения диагонали 1 со средней линией трапеции. Основаниетрапеции 2 2 равно |2 2 |= 2 (рис. 6а). В трапеции2 2 также найдем точки пересечения средней линиис диагоналями 2 и 2 : соответственно 3 и 3 . Основание трапеции 3 3 равно |3 3 |= 3 (рис. 6б).
Продолжив этот процесс, получим последовательность , где = 1, 2, 3, . . . . Найти lim , т. е. предел последовательно→∞сти верхних оснований трапеций.Решение. Положим 1 < . Так как 2 2 – средняя ли-Рис. 6.Последовательность трапецийния трапеции, 2 2 – средняя линия треугольника 1 ,а 2 2 – средняя линия треугольника 1 1 , следовательно,|2 2 |= 12 и|2 2 |= 21 1 .|2 2 |= |2 2 |−|2 2 |.
10860Аналогично для трапеций 2 2 , 3 3 и т. д. Последовательность⎧⎪2 = 21 − 12 1 ;⎪⎪⎪⎪⎪⎨ 3 = 1 − 1 2 ;22⎪1⎪4 = 2 − 12 3 ;⎪⎪⎪⎪⎩...(3)определяется первым членом 1 и рекурентным отношением +1 = 21 − 12 . Таким образом, последовательность { }является арифметико-геометрической прогрессией с первымчленом 1 , разностью = 21 и знаменателем (− 12 ).
Применив формулу -го члена (1), получим:(︂ )︂−1 )︁1 = 1 −+ .−323(︂ )︂−1(︁ )︁1−+ = .lim = lim 1 −→∞→∞3233(︁До сих пор мы исходили из предположения 1 < .А если окажется 1 > ? Тогда изменится только первоеиз равенств (3): 2 = 12 1 − 12 . На каждом следующем шагебудет иметь место отношение < , т. е. верхнее основаниетрапеции будет меньше нижнего. Если нижнее основаниевтрое больше верхнего, т. е. = 31 , то = = 1, 2, 3, .
. . .Ответ: .33= 1 для всехГЛАВА 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ61Следующий пример покажет, как формальное применениеинструмента может привести к нелепому результату.Пример 67.Дан остроугольный треугольник 1 1 1 ,вписанный в некоторую окружность (рис. 7). Из вершиныРис. 7.Последовательность треугольниковугла 1 опустим высоту на противоположную сторону и обозначим точку пересечения с окружностью продолжения высоты как 2 . Аналогично точки пересечений с окружностьюпродолжений высот, опущенных из точек 1 и 1 , обозначимкак 2 и 2 . Таким образом, получим новый треугольник2 2 2 . Как видно на рис. 7, он тоже остроугольный, т.
е.все его углы острые. Рассмотрим ̸ 2 = ̸ 2 2 1 + ̸ 1 2 2 .Поскольку углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, ̸ 2 2 1 = ̸ 2 1 1 и ̸ 1 2 2 = ̸ 1 1 2 . Основания 10862высот отмечены буквами , и . ̸ 2 1 1 – острыйугол прямоугольного треугольника 1 1 , другой острыйугол которого ̸ 1 . Следовательно, ̸ 2 2 1 = ̸ 2 1 1 == 2 − ̸ 1 . Аналогично ̸ 1 1 2 – острый угол прямоугольного треугольника 1 1 , другой острый угол которого̸ 1 , и ̸ 1 2 2 = ̸ 1 1 2 =− ̸ 1 . Следовательно,2̸ 2 = −2̸ 1 .
Точно такое же равенство имеет место и для̸ 2 и ̸ 2 . Вернемся к рис. 7. Если повторить все указанные выше построения для треугольника 2 2 2 , то придемк треугольнику 3 3 3 . Причем⎧⎪̸ 2 = − 2̸ 1⎪⎪⎨̸⎪⎪⎪⎩̸2 = − 2̸ 12 = − 2̸ 1и⎧⎪̸ 3 = − 2 ̸ 2⎪⎪⎨̸3 = − 2̸ 2⎪⎪⎪⎩̸3 = − 2̸ 2Можно подумать, что мы имеем дело с арифметикогеометрической прогрессией, разность которой = , а знаменатель = −2.
Тогда углы любого треугольника из последовательности находятся по первой из формул (1) на с. 57:⎧(︁ )︁−1⎪̸ = ̸ 1 −⎪(−2)+;⎪⎪3 )︁3⎨(︁̸ = ̸ 1 −(−2)−1 + ;⎪3 )︁3⎪(︁⎪⎪−1⎩̸ = ̸ 1 −(−2)+ .33(4)Так ли это?Решение. Если все углы исходного треугольника 1 1 1ГЛАВА 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ63, т. е. треугольник правильный, в последовательно3сти будут бесконечно чередоваться два правильныхравнытреугольника, при наложении образующих «звезду Давида»(гексаграмму). Если же хотя бы один угол окажется отличным от , то соответствующее выражение в круглых скоб3ках перед (−2)−1 в равенствах (4) будет отлично от нуляи его произведение на (−2)−1 будет принимать сколь угодно большие по модулю поочередно положительные и отрицательные значения. Но все приведенные в формулировкезадачи рассуждения справедливы только для остроугольного треугольника.
А кто сказал, что для некоторого треугольник не окажется тупоугольным? Например,если углы треугольника 1 1 1 равны соответственно 50 ,60 и 70 , то углы треугольника 2 2 2 – 80 , 60 и 40 ,а углы 3 3 3 – 20 , 60 и 100 . Здесь ̸ 3 тупой.Ответ: на некотором этапе вычислений по первой из фор-мул (1) треугольник перестанет быть остроугольным и равенства (4) не будут выполняться.Пример 68.
Углы шестиугольника образуют арифметико-геометрическую прогрессию со знаменателем = 2. Найтивсе углы шестиугольника, если наибольший угол равен 160 .Решение. Поскольку сумма углов шестиугольника равна 10864(6 − 2) · 180 = 720 , из формул (1) на с. 57 следует:⎧⎨6 = 160⎩ = 7206⇒⇒⎧⎨(1 + )32 − = 160⇒⎩( + )63 − 6 = 7201⎧⎨321 + 31 = 160⎧⎨1 = 440043⇒⎩ = − 5600⎩63 + 57 = 720143При известных значениях 1 , и значения углов 2 , 3 , 4 , 5можно найти непосредственно по формуле(︂ = 1 +где −1)︂ −1 −,−1= 2, 3, 4, 5, или через реккурентное отношение = −1 + .Ответ:{︂}︂4 400 4 480 4 640 4 960 5 600,,,,, 160 .4343434343Задачи на применение арифметико-геометрических прогрессий в финансовых вычислениях вы найдете на с.
94.Глава 3. Финансовые вычисленияВ этой главе речь пойдет об одной из важнейших областейприложения теории прогрессий, историческое название которой финансовые вычисления. Но сначала мы должны познакомиться с некоторыми основными понятиями финансовой математики. Кредитор, предоставляя кому-либо во временное пользование деньги или другую собственность, нанекоторое время лишается возможности использовать этиактивы в личных интересах. К тому же средства труда подвержены износу, а деньги обесцениваются по причине инфляции. Наконец, кредит всегда связан с риском несвоевременного возврата и даже невозврата.
Поэтому услуги кредитора нуждаются в вознаграждении в виде процентов. Пусть – первоначальная сумма долга, тогда в конце срока сделки кредитор должен получить некоторую сумму = + ,где – проценты. Ниже мы рассмотрим методы начисленияпроцентов.§ 3.1. Простые проценты36 ⇔ 65 Как определить размер причитающегося кредитору вознаграждения? Если прокат одной лодки на лодочнойстанции стоит 100 руб.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
