Прогрессии (835796), страница 7
Текст из файла (страница 7)
в час, то большинство сочтет справедливой плату в размере 200 руб. за 2 часа пользованияодной лодкой, а также 200 руб. за 1 час проката 2 лодок.66Тогда есть смысл величину вознаграждения сделать пропорциональной величине предоставленного актива и времени, на которое этот актив предоставлен:(5) = · · .Здесь – величина актива, – время, на которое он предоставлен, а коэффициент – процентная ставка.
Такойспособ определения вознаграждения называют простымипроцентами. Простые проценты обычно применяютсяв краткосрочных сделках на срок до года. Тем не менее время в финансовых вычислениях принято измерять в годахи под процентной ставкой, как правило, понимают годовуюпроцентную ставку. Первый и последний дни сделки счи-тают за один день. Поэтому при расчетах мы можем простоотбросить первый или последний день. Интервал временимежду датой начала сделки и датой окончания разбиваютна три части, соответствующие первому неполному месяцу,следующим полным месяцам, последнему неполному месяцу.
Количество дней сделки находится как количестводней в первом неполном месяце + количество дней в полных месяцах + количество дней в последнем неполном месяце. Время сделки определяется как отношение количествадней сделки к количеству дней в году. На первый взгляд, всепросто,ноделовтом,чтосуществуютГЛАВА 3. ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ67разные представления о количестве дней в месяце и в году.
В финансовых вычислениях часто оперируют понятиямикоммерческий месяц, который состоит ровно из 30 дней,и коммерческий год, который состоит ровно из 360 дней,т. е. из 12 коммерческих месяцев. Здесь уместно вспомнить,что угол в 1 определяется как центральный угол, опирающийся на1360длины окружности. Такой способ измеренияуглов заимствован из древних календарей, в которых годизображали как окружность, разбитую на сектора.
Каждому сектору соответствовал один день. У древних египтянгод состоял из 12 месяцев по 30 дней, а в конце к ним добавляли недостающие 5 дней. В финансовых вычисленияхсложились три способа определения времени сделки:I. Точные проценты с точным числом дней ссуды(365/365). Время – отношение календарного количестивадней к календарному году. Применяется банками Великобритании, США и др.II. Обыкновенные проценты с точным числом днейссуды (365/360).
Время – отношение календарного коли-чества дней к коммерческому году. Применяется во Франции, Бельгии, Швейцарии и др.III. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360). При расчете количества днейполные месяцы считаются коммерческими. Год – коммерческий. Применяется в Германии, Швеции, Дании и др.68 108Пример 69.Кредит выдан 21 апреля 2016 г. на срок до12 ноября 2016 г. Определить время сделки.Решение. Рассмотрим все три способа.1. Точные проценты с точным числом дней ссуды. Количеполные месяцы⏞⏟ство дней = 9 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 +12 = 205 ⇒⇒=365=205365= 0.562.2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды.полные месяцы⏞⏟ = 9 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 +12 = 205 ⇒⇒=360=205360= 0.569.3.
Обыкновенные проценты с приближенным числом днейполные месяцы⏞ ⏟ссуды. Количество дней = 9 +6 · 30+12 = 201 ⇒⇒=360=201360= 0.558.Ответ: 1) = 0.562; 2) = 0.569; 3) = 0.558.Итак, если сумма предоставлена на время , в конце срокакредитор (формулa (5) на с.
66) должен получить сумму = + = + = (1 + ).(6)Величину 1 + будем называть множителем наращения.Долг под простые проценты за равные промежутки времени∆ возрастает на одну и ту же величину ∆, т. е. растет позакону арифметической прогрессии. Теперь усложним условия задачи. 109Пример 70.21 апреля 2016 г. в кредит под 20 % годовыхГЛАВА 3. ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ69выдано 100 тыс.
руб. на срок до 12 ноября 2016 г. Какуюсумму должен получить кредитор 12 ноября?Решение. Мы знаем, что результат зависит от способа опре-деления времени сделки. Исходя из определенных в предыдущем примере значений времени сделки, найдем по формуле (6) значения конечной суммы :1. (365/365). = 205 ⇒ = 0.562 ⇒ = 100(1 + 0.2 · 0.562) = 111 233.2. (365/360). = 205 ⇒ = 0.569 ⇒ = 100(1 + 0.2 · 0.569) = 111 389.3. (360/360).
= 201 ⇒ = 0.558 ⇒ = 100(1 + 0.2 · 0.558) = 111 167.Ответ: 1) = 111 233 (руб.); 2) = 111 389 (руб.);3) = 111 167 (руб.).Иногда, наоборот, требуется по известной конечной суммеопределить исходную. В таком случае из (6) следует: =.(1 + )(7)Операцию, заданную равенством (7), называют дисконти1– дисконтным множитерованием, а величину(1 + )лем (англ. discount – скидка).Пример 71.Леша 3 марта 2017 г. получит 500 тыс.
руб.за сданное в аренду помещение. Но 22 сентября 2016 г. емусрочно понадобились деньги. Какую сумму он может взять 10970в кредит под 18 % годовых, чтобы 3 марта полностью погасить долг? Время сделки определить по схеме 360/360.Решение. Количество дней = 18 + 5 · 30 + 3 = 171 ⇒⇒==171= 0.475 ⇒ ==3601 + 500= 460.617.1 + 0.18 · 0.475Ответ: Леша может взять в кредит не более 460 617 руб.В любой экономической деятельности приходится оперировать активами, относящимися к разным периодом времени.
Но даже очень далекий от экономики человек обычнопонимает, что «сегодняшняя» тысяча и «завтрашняя» тысяча – разные деньги. Процентная ставка через формулы = (1 + ) и =задает соответствие между «се1 + годняшними» и «завтрашними» деньгами. В случае дисконтирования иногда удобней работать не с процентной, а с такназываемой дисконтной ставкой, которую также называют учетной. Пусть – конечная сумма, а – соответствующая ей начальная сумма. Тогда = − = − = (1 − ),(8)где – дисконт (скидка), – дисконтная ставка,а (1 − ) – дисконтный множитель.
Одну и ту же сделку можно осуществить, отталкиваясь как от процентной,ГЛАВА 3. ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ71так и от дисконтной ставки:ФормулаОперацияСтавка = (1 + )наращениепроцентная =дисконтирование процентная1 + = (1 − ) дисконтирование дисконтная=наращениедисконтная1 − Если в двух сделках совпадают значения , и , будемговорить, что они эквивалентны. Пусть в одной из двухэквивалентных сделок мы использовали процентную ставку, а в другой – дисконтную ставку :⎧⎨ = (1 + )⎩ = (1 − )⎧⎪⎨ = (1 + )⇒⎪⎩ =1 − 1 1⇒ − =⇒ (︂=1 + )︂⇒ 1+ =(︂& =1⇒1 − 1 − )︂.(9)Если выполнены условия (9), процентная и дисконтная ставки обеспечивают эквивалентные сделки и мы будем говорить, что процентная и дисконтная ставки эквивалентны: ∼ .
Как видно из формул (9), чтобы, зная про-центную ставку, найти эквивалентную ей дисконтную, надопродисконтировать процентную ставку по этой же процентной ставке, а чтобы, зная диконтную ставку, найти эквивалентную ей процентную, надо нарастить дисконтную ставку72по этой же дисконтной ставке. Заметим также, что отношение ∼ зависит от времени .
При стремлении к нулю, стремится к , а при стремлении к бесконечности – к нулю: lim = ;→0 109Пример 72.lim = 0.→+∞Найти учетную ставку, эквивалентную про-центной 20 % годовых, если время сделки = 0.5 года.0.2Решение: = 0.2 ⇒ == 0.182.1 + 0.2 · 0.5Ответ: 18.2 %. 109Пример 73.Найти процентную ставку, эквивалентнуюдисконтной 18 % годовых, если время сделки = 0.3 года.0.18Решение: = 0.18 ⇒ == 0.19.1 − 0.18 · 0.3Ответ: 19 %.Учетная (дисконтная) ставка используется при проведенииопераций с векселями. В этом случае время сделки обычнорассчитывается по схеме 360/360.
Вексель – это долговаярасписка. Тот, кто выписывает вексель, – векселедатель,а тот, кто получает, – векселедержатель. Иногда векселедержатель может передать вексель третьему лицу как средство платежа за товар или услугу. Тогда вексель выполняет функцию денег (разумеется, если партнер готов принятьплатеж в виде векселя). 110Пример 74.Леше не хватило 1 млн руб. на покупкуоборудования, и продавец Гоша согласился принять от неговексель по учетной ставке 24 % годовых. Леша обязалсязаплатить предъявителю векселя некоторую сумму денегГЛАВА 3.
ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ735 июня 2016 г. Какая сумма должна быть проставлена навекселе, если вексель выписан 25 ноября 2015 г.? Векселедержателю 14 февраля 2016 г. понадобились деньги, и одинкоммерческий банк согласился принять вексель по учетнойставке 22 % годовых. Какую сумму получит на руки Леша?Решение. Продолжительность «жизни» векселя190 = 5 + 6 · 30 + 5 = 190 (дней) ⇒ == 0.528 (г.).360 = (1 − ) ⇒ == 1 145.108 (тыс. руб.).1 − 14 февраля 2016 г. до даты платежа оставалось110= 0.306 (г.).3601 = 1 145.108(1 − 0.22 · 0.306) = 1 068.019 (тыс.
руб.). = 15 + 3 · 30 + 5 = 110 (дней) ⇒ =Ответ: векселедатель Леша должен выписать вексель на1 млн 145 тыс. 108 руб. Векселедержатель Гоша 14 февраля 2016 г. сможет учесть в банке этот вексель и получить1 млн 68 тыс. 19 руб.В этой задаче мы сначала нарастили исходную сумму, затемдисконтировали конечную. Разумеется, опустив целый ряднюансов. В частности, вексель примут только от надежноговекселедателя.Иначе может возникнуть такая схема: Леша банкрот, егодруг Гоша тоже. Леша выписывает Гоше вексель на 1 млн,а Гоша точно такой же вексель Леше. Затем оба идутв разные коммерческие банки, где учитывают свои векселя.74Вечером два новоиспеченных миллионера совместно отмечают удачную сделку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
