Прогрессии (835796), страница 8
Текст из файла (страница 8)
110Пример 75.За какое время удвоится сумма денег, ссу-женная под 20 годовых процентов?Решение: (1 + ) = 2 ⇒ 1 + = 2 ⇒ =Ответ: за 5 лет. 110Пример 76.11== 5.0.2За какое время сумма денег, ссуженнаяпод годовых процентов, возрастет в раз?11Здесь = ( − 1) , где = 1, 2, 3, . . ., – -й член арифмети1ческой прогрессии с первым членом 1 = 0 и разностью .1Ответ: за ( − 1) лет.Решение: (1 + ) = ⇒ 1 + = ⇒ = ( − 1) .§ 3.2. Сложные проценты65 ⇔ 83 А если бы кроме простых процентов никаких других не было? Тогда могла возникнуть следующая ситуация. Вы положили рублей в банк под годовых процентов. Сумма вклада каждый месяц увеличивается на величину , т. е.
по закону арифметической прогрессии. Ка12кое желание появится у вас через год? Конечно, желаниеснять деньги со счета и опять положить их на счет под теже проценты. В этом случае проценты будут начислятьсяс суммы 1 = (1 + ), т. е. вклад будет расти по законуГЛАВА 3. ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ75 (1 + )(1 + ), и уже в первый месяц нового года приростсоставит не , а (1 + )руб. Сложные процен1212ты позволяют избежать подобных ситуаций. Начислениепо сложным процентам описывается формулой = (1 + ) ,(10)где (1 + ) – множитель наращения. За год сумма вырастетдо (1 + ), за два года – до (1 + )2 и т. д. Таким образом, вклад растет по закону геометрической прогрессии,нумерацию членов которой удобней начинать не с единицы,а с нуля. Тогда моменту открытия счета = 0 соответствует первый член прогрессии 0 = , годовой множительнаращения (1 + ) будет знаменателем прогрессии.
Как видно на рис. 8, суммы, наращенные по простым и сложнымпроцентам, совпадают при = 0 и = 1. При ∈ (0; 1)сумма, наращенная по простым процентам, больше суммы,наращенной по сложным; при > 1 наоборот. Поэтому банки предпочитают давать краткосрочные кредиты (до года)под простые проценты, а долгосрочные – под сложные.Пример 77.Леша положил 10 000 руб.
в сбербанк под12 % годовых. Начисление процентов происходит 1 раз в год.Какая сумма будет на счету у Леши через 5 лет?Решение. Через 5 лет на счету будет = 10 000 · (1 + 0.12)5 = 17 623. 11076Рис. 8.Начисление по простым и сложным процентамОтвет: 17 623 руб. 111Пример 78.Земля Манхэттена в настоящее время стоитоколо 100 млрд дол. «Белые люди»400 лет назад выкупилиостров у индейцев за 24 дол. Под какие проценты индейцамнадо было положить эти 24 дол. в банк, чтобы сегодня получить 100 млрд?Решение:24(1 + )40011= 10Ответ: 5.7 %.(︂⇒=1011241)︂ 400− 1 = 0.057.Задача об изобретателе шахмат (см. с.
40) продемонстрировала, как быстро растет -й член геометрической прогрессии со знаменателем 2. Оказывается, не так уж медленнорастет и -й член прогрессии со знаменателем 1.057.ГЛАВА 3. ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ77В последней задаче мы упростили ситуацию. На самом деле Манхэттен купил в 1626 г. губернатор голландской колонии Питер Минунт за зеркала, стеклянные бусы и другие безделушки общей стоимостью 24 дол.Начисление по сложным процентам может производитьсяне только один, но и несколько раз в год: 4 раза (ежеквартально), 12 раз (ежемесячно), практикуют даже ежедневноеначисление.
Если начисление производится раз в год, тоставка за период равна и формула расчета суммы, наращенной за время , принимает вид(︁ )︁ = 1+.(11)Иначе говоря, значения накопленнойсуммыобразуют гео(︁ )︁метрическую прогрессию = 1 +, где = 0, 1, 2, . . .)︀(︀– период начисления, 0 = – первый член и 1 + – знаменатель прогрессии. При одной и той же годовой процентной ставке наибольший рост даст схема, при которой начислений в году больше. Так, если мы положим 100 000 руб. под12 % годовых, то через 1 год получим, в случае начисленияпроцентов 1 раз в год, 112 000 руб., а в случае ежемесячногоначисления – 112 683 руб. Еще заметней станет расхождение через 3 года: 140 493 руб.
по первой схеме и 143 077 руб.по второй. Чтобы иметь возможность сравнить разные схемы начисления, введем и для сложных процентов понятие78эквивалентных ставок. Пусть 1 – ставка при начислениипроцентов 1 раз в год, а – при начислении раз в год.Будем говорить, что эти ставки эквивалентны, если в концегода обе схемы приведут к одинаковомув том(︁ результату )︁смысле, что ∼ 1 ⇒ (1 + 1 ) = 1 +⇒⎧(︁)︁⎨1 = 1 + − 1;⇒)︀⎩ = (︀ √1 + 1 − 1 . 111Пример 79.(12)Гоша хочет открыть счет в банке. Емупредложили на выбор одну из двух схем: 2 = 12 % годовыхпри начислении процентов 1 раз в полгода или 12 = 11.8 %годовых при начислении 1 раз в месяц. На каком вариантеему следует остановиться?Решение:2 )︁22 = 12 % ∼ 1 = 1 +− 1 = 0.1236 = 12.36 %;(︁ 2 )︁121212 = 11.8 % ∼ 1 = 1 +− 1 = 0.1246 = 12.46 %.12Ответ: Гоше следует выбрать вторую схему: 11.8 % годовых(︁при ежемесячном начислении процентов.А что произойдет, если устремить количество начисленийв году к бесконечности? Используя известный предел(︂)︂1lim 1 += ,→+∞ГЛАВА 3.
ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ79где ≈ 2.73 – постоянная Эйлера, найдем )︁lim 1 += · lim→∞→∞(︁[︃(︂1+1)︂ ]︃= · .Мы пришли к еще одному виду процентов – непрерывнымпроцентам. Процентную ставку непрерывных процентовназывают силой роста. Обозначим силу роста греческойбуквой . Таким образом, непрерывные проценты начисляются по формуле = · .(13)Непрерывные проценты часто применяют в математическихмоделях экономических процессов. Простые и сложные проценты в этом случае можно рассматривать как приближение непрерывных.
Действительно, − 1= 1 ⇒ при малых значениях −1 ≈ . Тогда:→0lim1) при малых = (1 + − 1) ≈ (1 + );2) при малых = [(1 + − 1)] ≈ (1 + ) .Если не оговорено противное, в дальнейшем, называя процентную ставку, будем подразумевать схему начисления посложным процентам один раз в год. Для сложных процентов также определена операция дисконтирования, обратная80наращению: = (1 + ) ⇒ = 111Пример 80..(1 + )Гоша расчитывает через 3 года получить300 000 руб. Какую сумму он может занять сегодня под 21 %годовых, чтобы через 3 года полностью погасить долг?Решение:300 000 = · (1 + 0.21)3 ⇒ =Ответ: 169 342 руб.300 000= 169 342.(1 + 0.21)3Операция дисконтирования также может проводиться с использованием дисконтной ставки, которая определяется из11 1соотношения= (1 − ) ⇒− = 1.
В этом слу(1 + ) чае дисконтная ставка эквивалентна процентной : ∼ .В отличие от случая простых процентов, дисконтная ставкапо сложным процентам, эквивалентная заданной процентной, не зависит от времени сделки:(︂∼ ⇒ =1+)︂(︂& =1−)︂(14).Когда начисление по процентной ставке выполняется разв год, эквивалентные ставки получаются из равенства1(︀1+)︀ (︂)︂111= 1−⇒−= ⇒ (︂⇒ =1 + /)︂(︂& =1 − /)︂.(15)ГЛАВА 3. ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ81Чтобы получить эквивалентную дисконтную ставку, надопроцентную продисконтировать по той же процентной ставке. Чтобы получить эквивалентную процентную ставку, надо дисконтную нарастить по той же дисконтной ставке.Составим таблицу, аналогичную приведенной на с. 71:ФормулаОперацияСтавка = (1 + ) =(1 + ) = (1 − )=(1 − ) = наращениепроцентнаядисконтированиепроцентнаядисконтированиедисконтнаянаращениедисконтнаянаращениенепрерывнаядисконтированиенепрерывная = −Процентная ставка при двух начисленияхПример 81.в году 2 = 12 %.
Найти эквивалентную ей дисконтную ставку для случая четырех начислений в году 4 .Решение. По формулам (12) на с. 78(︁2 )︁21 = 1 +− 1 = 0.1236,2(︀√)︀4 = 4 4 1 + 1 − 1 = 0.1183.Из (15) следует, что 4 =Ответ: 11.49 %.4 · 44 · 0.1183== 0.1149.4 + 44 + 0.1183Мы последовательно определили 2 ∼ 1 ∼ 4 ∼ 4 , но могли 11182бы сразу выразить 4 через 2 . 112Пример 82.Известна дисконтная ставка 12 = 11 % при12 начислениях в году. Найти эквивалентную ей процентную ставку для случая четырех начислений в году 4 .Решение:⎧(︂)︂12⎪⎨ = 1 − 1212)︁(︁⎪⎩ = 1 + 4 44⇒(︁1+14 )︁4= (︀)︀12 ⇒41 − 1212(︃)︃141⇒1+= (︀)︀3 ⇒ 4 = 4 (︀)︀3 − 1 ⇒41 − 12121 − 1212(︃)︃1⇒ 4 = 4 (︀)︀3 − 1 = 0.1120.1 − 0.1112Ответ: 11.2 %.Множество эквивалентных ставок линейно упорядочено:1 < . . .
< < . . . < < . . . < < . . . < 1 .Для непрерывных процентов дисконтная и процентная ставки совпадают и называются силой роста (), при этомlim = lim = .→∞→∞ГЛАВА 3. ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ83§ 3.3. Финансовые потоки74 ⇔ 95 Финансово-банковские операции часто предполагают не только отдельные платежи, но и последовательности платежей, разделенных во времени. Каждый платеж характеризуется денежной суммой и временем. Однако, какправило, для человека «сегодняшний» рубль и «завтрашний» рубль не одно и то же.
Поэтому возникает необходимость приведения всех платежей к некоторому заданномумоменту времени. Мы ограничимся случаем, когда этот момент – начало сделки, базовый период. В таком случае приведенное значение потока платежей называют такжесовременнойстоимостьюпотока.Пусть платежи{1 , 2 , . . .
} произведены в моменты {1 , 2 , . . . } и соответствие между «сегодняшними» и «завтрашними» деньгами определяется годовой процентной ставкой . Тогда платеж , произведенный в момент , эквивалентен величинев начальный момент. «Завтрашние» деньги дешев(1 + )ле «сегодняшних». Коэффициентами приведения «будущих»денег к базовому периоду являются дисконтные множите1ли, величины , где =. Приведенное значение1+потока платежей равно сумме приведенных значений отдельных платежей:0 =∑︁=1∑︁= .(1 + )=1(16)84 112Пример 83. Леша попросил у Гоши взаймы 200 000 руб.У Гоши необходимая сумма находилась на счету в сбербанке под 9 % годовых.
Леша обещал расплатиться в течение 5 лет по следующей схеме: 30 000 – руб. через 1 год,50 000 – через 2 года, 10 000 – через 3 года и последние двагода – по 30 000 руб. Следует ли Гоше согласиться на предложенную схему возврата долга?Решение. Гоше предлагают обменять сумму, приносящую9%⎧ -й годовой доход, на поток платежей:⎨{ } = {30 000, 50 000, 100 000, 30 000, 30 000};⎩{ } = {1, 2, 3, 4, 5}.5∑︁= 30 + 502 + 1003 + 304 + 305 =(1+)=11= 187.576, где == 0.9174.1+Таким образом, 0 < 200. Современная стоимость потока0 =платежей меньше 200 тыс. руб., т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
