Прогрессии (835796), страница 9
Текст из файла (страница 9)
суммы, с которой Гошепредстояло бы расстаться.Ответ: Гоша не должен соглашаться с предлагаемой схемойплатежей. 112Пример 84.Леша попросил у Гоши взаймы 200 000 руб.У Гоши необходимая сумма находилась на счету в сбербанке под 9 % годовых. Леша обещал расплатиться в течение5 лет по следующей схеме: 30 000 руб.
– через 1 год, 70 000– через 2 года, 100 000 – через 3 года, 30 000 – через 4 годаГЛАВА 3. ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ85и 40 000 руб. – через 5 лет. Следует ли Гоше согласиться напредложенную схему возврата долга?Решение. Гоше предлагают обменять сумму, приносящую9%⎧ -й годовой доход, на поток платежей:⎨{ } = {30 000, 70 000, 100 000, 30 000, 40 000};⎩{ } = {1, 2, 3, 4, 5}.5∑︁= 30 + 702 + 1003 + 304 + 405 =(1+)=11= 0.9174.= 210.909, где =1+Таким образом, 0 > 200. Современная стоимость потока0 =платежей больше 200 тыс. руб.Ответ: с точки зрения современной стоимости потока пла-тежей сделка выгодна Гоше.Далее рассмотрим поток фиксированных платежей. Для определенности пусть платежи производятся раз в год.
Тогда = для всех = 1, 2, . . . , и формула (16) принимаетвид0 = ∑︁ = ( + 2 + 3 + . . . + ) = =1Пример 85.1 − . (17)1−Леша хочет арендовать сроком на 6 лет по-мещение под офис, которое ему предложили за 300 000 руб.в год. Причем каждый платеж надо внести в конце года. Онрешил оплатить аренду сразу за 6 лет. О какой сумме ему 11386следует договариваться, если обе стороны считают справедливой ставку = 12 % годовых?Решение: = 12 % = 0.12 ⇒ =11== 0.8929.1+1 + 0.12Используя формулу (17), приведем поток платежей к моменту заключения договора аренды:0 = 1 − 1 − 6= 300 · ·= 1 233.422.1−1−Ответ: Леше следует предложить 1 233 422 руб.При выводе формул (16),(17) мы исходили из предположения, что платежи совершаются в конце некоторых периодов времени. Такие платежи называют постнумерандо.Но так бывает не всегда, и часто деньги требуют вперед.Соответствующие платежи называют пренумерандо. Дляприведенного значения их потока нам придется внести небольшое изменение в формулу (17):0 = −1∑︁ = (1 + + 2 + .
. . + −1 ) = =0 113Пример 86.1 − . (18)1−Леша хочет арендовать сроком на 6 лет по-мещение под офис, которое ему предложили за 300 000 руб.в год. Причем каждый платеж вносится в начале года.ГЛАВА 3. ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ87Он решил оплатить аренду сразу за 6 лет. О какой сумме ему следует договариваться, если обе стороны считаютсправедливой ставку = 12 % годовых?Решение:11== 0.8929.1+1 + 0.12Используя формулу (18), приведем поток платежей к мо- = 12 % = 0.12 ⇒ =менту заключения договора аренды:0 = 1 − 1 − 6= 300 ·= 1 381.433.1−1−Ответ: Леше следует предложить 1 381 433 руб.Если платежи могут продолжаться сколь угодно долго, полезно рассматривать бесконечные потоки.
Заметим, что1−=1−111+1=⇒=,= .1+1+1−1−В формулах (17), (18) устремим количество платежей кбесконечности. Тогда lim = 0 и→∞для случая пренумерандо 0 =(1 + )=+ ; (19)для случая постнумерандо 0 =Пример 87..(20)Леше предложили арендовать помещениепод офис за 300 000 руб. в год. Причем все платежи надо 11388вносить в конце года.
Он хочет сразу выкупить помещение.О какой сумме ему следует договариваться, если обе стороны считают справедливой ставку = 12 % годовых?Решение. Поток бесконечный постнумерандо.0 =300== 2 500.0.12Ответ: Леше следует предложить 2 500 000 руб. 113Пример 88. Леше предложили арендовать помещение подофис за 300 000 руб. в год. Причем все платежи надо вносить в начале года. Леша хочет сразу выкупить помещение.О какой сумме ему следует договариваться, если обе стороны считают справедливой процентную ставку = 12 %годовых?Решение: Поток бесконечный пренумерандо.0 =300+ =+ 300 = 2 800.0.12Ответ: Леше следует предложить 2 800 000 руб.Следующий пример финансового потока – инвестиционныйпроцесс.
Инвестиционный процесс предполагает затраты в начальный момент времени (отрицательный платеж),а затем поток доходов (положительные платежи): суммы{0 , 1 , . . . } относятся к моментам времени {0 , 1 , . . . },где 0 < 0 и ≥ 0 для = 1, 2, . . .
, . Для инвестицион-ГЛАВА 3. ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ89ного процесса современная стоимость потока определяетсятак же, как и для потока платежей, по формуле (16), нонумерация начинается с нуля, с момента инвестиции:0 =∑︁=0∑︁= .(1 + )=0(21)Однако значения 0 не всегда достаточно для принятия правильного решения. Например, если задачу на с.
84 рассматривать как инвестиционный процесс, в начале которого Гоша инвестирует 200 000руб., то возникает вопрос:10 909 руб., которые заработал Гоша, – это много или мало? Другая проблема состоит в том, что, инвестировав деньги, Гоша на время теряет право распоряжаться ими.
Покаденьги лежали на счету в сбербанке, Гоша в любой моментмог вложить их в более выгодное дело. Теперь нет! Значит, помимо дохода, важно знать, как скоро деньги вернутсяк инвестору. Для этого существует такая характеристикаинвестиционного процесса, как период окупаемости.Рассмотрим последовательность приведенных значений =∑︁=0, где = 1, 2, . . .
, .(1 + )Если существует такое , что (−1 < 0)&( > 0), то запериод окупаемости инвестиционного процесса принимается90значение = . Рассмотрим функцию (рис. 9)() =∑︁=0Рис. 9..(1 + )(22)Современное значение потока как функция rСледующая важная характеристика потока – внутренняядоходность, которая позволяет выразить доходность инвестиционного процесса в годовых процентах и сравнить его,например, с доходностью ценных бумаг или вкладов в банках. Внутренняя доходность инвестиционного процесса находится как решение * уравнения () = 0, т.
е. кактакое значение , при котором для инвестора безразлично, вложить деньги в инвестиционный процесс или поместить их на счет в банке под годовых процентов. Естественно возникает вопрос: всегда ли уравнение () = 0имеет решение? По смыслу задачи функция () определена на интервале от [0; +∞) и убывает на этом интервале,ГЛАВА 3. ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ91в формуле (22), где(1 + )∑︁ = 1, 2, .
. ., – убывающая функция. (0) = > 0, такпоскольку каждое слагаемое=0как в противном случае инвестирование было бы лишеносмысла. lim () = 0 < 0. Функция () является сум→+∞мой непрерывных на интервале [0; +∞) функций и, значит,непрерывна. Таким образом, в области определения существует единственное решение уравнения () = 0. Задачутакже можно свести к решению уравнения∑︁ = 0, где ==01∈ (0; 1].1+В общем случае подобное уравнение мы будем решать численно, т.
е. будем искать приближенное значение * с точностью до нужного количество знаков после точки.Теперь сформулируем условия задачи на с. 84 в терминахинвестиционного процесса.Пример 89.Гоша инвестировал 200 тыс. руб. в процесс,который даст 30 тыс. руб. дохода через 1 год, 70 тыс. – через 2 года, 100 тыс. – через 3 года, 30 тыс. – через 4 годаи 40 тыс. руб. – через 5 лет. Найти современную стоимость,период окупаемости и внутреннюю доходность инвестиционного процесса. 11492Решение. Поток можно представить в виде⎧⎨{ } = {−200, 30, 70, 100, 30, 40};⎩{ } = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.Последовательность современных стоимостей{ } = {−200.000, −172.477, −113.559,− 36.341, −15.088, 10.909}, где = 1, 2, .
. . .Таким образом, положительное значение появляется только через 5 лет. Это и есть период окупаемости. Современнаястоимость потока совпадает с последним членом последовательности { }, т. е. с 5 = 10.909 тыс. руб. Внутреннююдоходность можно получить только численно как решение* уравнения () = 0. В соответствии с формулой (22),−200 +30701003040++++= 0.1 + (1 + )2 (1 + )3 (1 + )4 (1 + )5График функции () для данного примера изображен нарис. 9 (с.
90). Значение * с точностью до 4 значащих цифрравно 0.1109 = 11.09 %.Ответ: cовременная стоимость инвестиционного процесса5 = 10.909 тыс. руб., период окупаемости = 5 лет, внутренняя доходность * = 11.09 %.ГЛАВА 3. ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ93В совокупности характеристики потока дают следующуюкартину: Гоша надолго теряет возможность пользоватьсясвоими денежными активами и берет на себя риск. Решение зависит от ставок, предлагаемых банками.А сейчас займемся реструктуризацией долга.Пример 90.Леша должен заплатить 100 тыс.
руб.в настоящее время и 500 тыс. руб. через 4 года. Но Леша хотел бы реструктурировать долг: выплатить его разом через2 года (рис. 10). О какой сумме платежа через 2 года имеетсмысл договариваться, если обе стороны считают справедливой процентную ставку = 11 % годовых?Решение. В соответствии с условием задачи, 100 тыс. руб.Рис. 10.Схема реструктуризации долгаследует нарастить на 2 года, а 500 тыс. дисконтировать на2 года. (1 + ) = 1.11. Тогда сумма платежа через 2 годадолжна составить100 · (1 + )2 +500= 529.021.(1 + )2Ответ: поток платежей эквивалентен одному платежу на 11494сумму 529 021 руб.
через 2 года. 114Пример 91. Гоша положил 10 тыс. руб. на счет в сбербан-ке. В соответствии с договором ежемесячно в установленныйдень на текущую сумму счета начисляются проценты. Одновременно в этот же день на счет зачисляется дополнительно 10 тыс. руб. из Гошиной заработной платы. Какая суммабудет на счету через 2 года, если процентная ставка = 8 %?Решение. В течение первого месяца на счету находиласьсумма 1 = 10 тыс. руб. Начиная со второго месяца суммаизменяется по формуле = −1 +, где = 1+ , = 10 и12 = 0.08. Таким образом, она растет по закону арифметикогеометрической прогрессии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
