Прогрессии (835796), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Каждый чин представлен группой казаков. Вес -й группы, каки в аналогичной задаче из первой главы, обозначим .Тогда веса групп в порядке возрастания чинов образуютпоследовательность { } = {90, 20, 12, 1, 3, 2, 1}. Взвешенная сумма членов прогрессии:7∑︁1 1 + 2 2 + . . . + 7 7 = ==1= 90 · 1 + 20 · 2 + 12 · 4 + 1 · 8 + 3 · 16 + 2 · 32 + 1 · 64 = 362. 10444Ответ: 362 руб. 104Пример 44.При каких величины√ − 5,√4√ + 2 образуют геометрическую прогрессию?10 + 4 иРешение.
Область допустимых значений ≥ 5.√10 + 4 =√√ − 5 + 2 ⇒ 10 + 4 = 2 − 3 − 10 ⇒⇒ 2 − 13 − 14 = 0 ⇒ 1 = −1 и 2 = 14.В область допустимых значений входит только = 14.Ответ: при = 14. 105Пример 45.В возрастающей геометрической прогрес-сии сумма первого и последнего членов равна 66, произведение второго и предпоследнего 128, а сумма всех членов 126.Найти количество членов прогрессии.Решение:⎧⎨1 + = 66⎩ = 1282 −1⎧⎨1 + = 66⇒⎩ = 128, так как 2 −1 = 1 .1 По теореме Виета 1 и являются корнями квадратного трехчлена 2 − 66 + 128. Его корни 1 = 2 и 2 = 64.Поскольку по условию задачи прогрессия возрастающая,рассмотрим только случай, когда 1 = 2, = 64.ГЛАВА 2.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ451 + = 66 ⇒ 1 (1 + −1 ) = 66 ⇒ −1 = 32 ⇒ = 32.1 − 321 − = 1= 126 ⇒= 63 ⇒ = 2.1−1− −1 = 32 ⇒ 2−1 = 32 ⇒ = 6.Ответ: 6.Пример 46. Какие 3 числа надо поставить между 1 и 256, 105чтобы все 5 чиселсоставили геометрическую прогрессию?⎧⎨1 = 1;Решение:⎩ = 256 ⇒ 4 = 256 ⇒ = ±4.51) = −4 ⇒ {1, −4, 16, −64, 256};2) = 4 ⇒ {1, 4, 16, 64, 256}.Ответ: −4, 16, −64 или 4, 16, 64.Теперь рассмотрим задачу из экономической теории.Пример 47.Пусть в распоряжении коммерческого банкаимеется 1 млн руб. Вопрос: на какую сумму банк может выдать кредиты за короткий срок? Под «коротким сроком» мыпонимаем время, за которое ни один из клиентов не успеетвернуть долг. Для простоты допустим, что в нашем городеработает только один коммерческий банк.Решение.
Разумеется, вначале банк выдаст кредиты на1 млн руб. Зададимся вопросом: зачем человек берет деньгив долг? Конечно, только для того, чтобы тут же с ними расстаться. Деньги в долг на хранение не берут. В таком случае 10546после того как деньги будут потрачены, например на приобретение какого-то товара, они снова окажутся на чьемто счету в коммерческом банке. Миллион возвращается вбанк, но банк не может снова одолжить кому-нибудь весьмиллион, поскольку существует обязательный резерв, величину которого устанавливает Центральный банк.
В нашей стране он составляет 20 % = 0.2. Таким образом, 0.2млн зарезервированы и банк выдаст новые кредиты толькоиз оставшихся 0.8 млн. Эти деньги также вернутся в банк,и он сможет выдать лишь 0.8 · 0.8 = (0.8)2 . Продолжая процесс далее, мы придем к бесконечной сумме:11 + 0.8 + (0.8)2 + (0.8)3 + . . . == 5.1 − 0.8Ответ: 5 млн руб.Однако следует признать, что выдать кредиты на суммув 5 млн руб.
банку не удастся, поскольку за конечное времяденьги не успеют совершить бесконечное число оборотов. Ноесли за короткий срок деньги обернутся 20 раз, банк сможет выдать кредиты на 4 млн 954 тыс. руб. Итак, 5 – этопредел, к которому можно подойти сколь угодно близко, нодостичь который нельзя. 105Пример 48. Жук движется со скоростью 1 см/с по следу-ющей траектории (рис. 5): сначала обходит квадрат со стороной в 1 см 1 1 1 1 , затем по отрезку 1 2 переходит наквадрат с вдвое меньшей стороной 2 2 2 2 , обходит его,по отрезку 2 3 переходит на следующий квадрат и такГЛАВА 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ47до бесконечности. Сторона каждого следующего квадратавдвое меньше предыдущего.
За какое время жук обойдетвсе квадраты?Решение. Длина участка 1 1 1 1 1 2 равна 4 +√2.4Рис. 5. Кривая 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 . . . совершает бесконечноечисло оборотов вокруг центраДлина каждого следующего участка маршрута вдвое меньше предыдущего. Вынеся за скобки общий множитель 4+√2,4получим длину всего маршрута:(︃√ )︃ (︂√)︂21 1 124+1 + + + + ... = 8 +.42 4 82Ответ: жук обойдет все квадраты за 8 +√22с (при этом онсовершит бесконечное число оборотов вокруг точки пересечения диагоналей всех квадратов).Пример 49.Вычислить: 432 + 72 + 12 + 2 + .
. . .Решение. По виду последовательности можно заключить, 10548что это бесконечная геометрическая прогрессия со знамена1телем 61 . = 432= 518.4.1 − 61Ответ: 518.4. 105Найти сумму членов бесконечно убываю-Пример 50.щей геометрической прогрессии, если третий ее член 3 = 3,а шестой 6 = 19 .Решение:61 511== 3 =⇒ = ⇒ 1231 273 = 2711−13(︂ )︂21= 3 ⇒ 1 = 27.3= 40.5.Ответ: 40.5. 105Пример 51.Сумма первых пяти членов геометрическойпрогрессии 5 = 31, а сумма всей прогрессии = 32.
Найтипервый член⎧ и знаменатель⎧прогрессии.⎨5 = 31⎨1 1−5 = 311−Решение:⇒⎩ = 32⎩ 1 = 321 1−Разделим левую и правую части первого уравнения соответ- 105ственно на левую и правую части второго:311111− 5 =⇒ 5 =⇒ = ⇒ 1= 32 ⇒ 1 = 16.323221 − 21Ответ: 1 = 16 и = 12 .√︂ √︁√︀ √Пример 52. Найти 5 3 5 3 5 . . . .ГЛАВА 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ49Решение:√︃ √︂√︁√11115 3 5 3 5 . . . = 5 · 3 2 · 5 4 · 3 8 5 16 . . . =√11111423= 51+ 4 + 16 ... · 3 2 + 8 + 32 ...
= 5 3 · 3 3 = 5 45.√3Ответ: 5 45.Сумма бесконечно убывающей геометриче-Пример 53.ской прогрессии равна 9, а сумма квадратов ее членов 40.5.Найти первый член и знаменатель прогрессии.Решение. Последовательность, составленная из квадратовчленов геометрической прогрессии также будет геометрической прогрессией, первый член которой равен квадратупервого члена исходной, а знаменатель – квадрату знаменателя. Поэтому равенства для их сумм будут иметь вид⎧⎨⎩11−211− 2=9⇒= 40.5⎧⎨21(1−)2⎩2211− 2= 81= 81Разделим левую и правую части второго уравнения соответственно на левую и правую части первого:221 (1 − )22(1 − )1=1⇒= 1 ⇒ 2−2 = 1+ ⇒ = .21 (1 − )(1 + )1+311−13= 9 ⇒ 1 = 6. 10550Ответ: 1 = 6, = 31 .
105Пример 54. Можно ли в геометрической прогрессии меж-ду каждыми двумя последовательными членами вставитьпо чисел так, чтобы новая последовательность также была геометрической прогрессией?Решение. Надо взять прогрессию с тем же первым членом1 и знаменателем, равным√+1.Ответ: можно.Например, если в исходной прогрессии 1 = 3, = 16 итребуется между каждыми соседними членами вставить по3 числа, то в новой прогрессии следует положить знамена√4тель 16 = 2.
Также последовательность членов прогрессии с номерами , + , + 2, + 3, . . ., где и –натуральные числа, является геометрической прогрессиейс первым членом = 1 −1 и знаменателем . Интересно,что номера выбранных членов исходной прогрессии образуют арифметическую прогрессию.
Так, если в прогрессии3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, 1 536, 3 072, 12 288, 24 576, . . .с первым членом 1 = 3 и знаменателем = 2 взять членыс номерами 2, 6, 10, . . ., мы получим прогрессию с первымчленом 6 и знаменателем 4 = 16: 6, 96, 1 536, . . . . 104Пример 55.Решение:⏞ ⏟Найти сумму: 7 + 77 + 777 + . . . + 77 . . .
7.⏞ ⏟⏞ ⏟7 + 77 + 777 + . . . + 77 . . . 7 = 79 (9 + 99 + 999 + . . . + 99 . . . 9) =ГЛАВА 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ51⏞ ⏟7= (10 + 100 + 1000 + . . . + 1 00 . . . 0 −) =9⏞ ⏟7= (1 + 10 + 100 + 1000 + . . . + 1 00 . . . 0 −( + 1)) =9 (︂)︂7 10+1 − 1=− ( + 1) . При = 1, 2, 3, 4, . . .99сумма принимает значения 7, 84, 861, 8 638 .
. . .⏞ ⏟7Ответ: 7+77+777+. . .+ 77 . . . 7 =9(︂)︂10+1 − 1− ( + 1) .9Пример 56. При каких условиях три положительных чис-ла , и могут быть членами геометрической прогрессии?Решение. Пусть = 1 , = 1 и = 1 .⎧⎨ = −⎩ = −⇒⎧⎨() − () = ()( − )⇒⎩() − () = ()( − )⇒() − ()−=.() − ()−Ответ: , и могут быть членами геометрической про-грессии тогда и только тогда, когданальное число.() − ()– рацио() − ()Последняя задача аналогична, предложенной на с. 25.Ее решение очевидно, если вспомнить, что логарифмы чле- 10652нов геометрической прогрессии образуют арифметическуюпрогрессию (с. 32). Если числа , и являются членаминекоторой геометрической прогрессии, то найдется еще бесконечное множество прогрессий, членами которых эти числа являются (пример на с. 42). 107Пример 57.(3)Члены прогрессии { } – произведения со-ответствующих членов бесконечно убывающих геометриче(1)(2)ских прогрессий { } и { }, где = 1, 2, 3, .
. . . Известно,что суммы прогрессий (1) = 2 и (3) =67(1)(2)и 1 = 1 = 1.Найти (2) .(3)Решение: 1(1) (2)= 1 1 = 1. Как следует из теории (с. 35),знаменатель третьей прогрессии должен равняться произведению знаменателей первых двух:11= 2 ⇒ 1 =1 − 12161⎪⎩=⇒ 1 2 = −1 − 1 276⎧⎪⎨⇒ 2 = −1⇒3⇒ (2) = 10711+133= .4Ответ: (2) =3.4Пример 58.Найти два различных корня уравнения 2 −6 + = 0, если известно, что , 1 , 2 и образуют геометрическую прогрессию.ГЛАВА 2.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ53Решение. Поскольку 2 = −1 +1 ,⎧⎨2 = 21⎩ 2 = 2⇒ (1 2 )2 = 1 2 ⇒ 1 2 = .1Но по теореме Виета 1 2 = , следовательно, = 1 и уравнение принимает вид 2 − 6 + = 0. Тогда при = 1окажется, что один из корней равен квадрату другого. Носумма корней равна 6. Такие числа и 2 можно получитьиз уравнения 2 + = 6 ⇒ 2 + − 6 = 0.1) = −3 ⇒ 2 = 9. Числа {1, −3, 9, −27};2) = 2 ⇒ 2 = 4.
Числа {1, 2, 4, 8}.Ответ: 1) −3 и 9; 2) 2 и 4.Пример 59.Доказать, что для переменных , и вы- 107полняется равенство ( + )( + ) = ( + ) тогда22222и только тогда, когда , и образуют геометрическуюпрогрессию.Доказательство. Раскрыв скобки, после несложных пре-образований придем к равенству 2 = . Последнее равенство равносильно утверждению о том, что , и образуютгеометрическую прогрессию. Утверждение доказано.Пример 60.Найти трехзначное число, цифры которогообразуют геометрическую прогрессию. Если из этого числавычесть 792, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Если из цифры, выражающей 10754число сотен, вычесть 4, остальные цифры образуют арифметическую прогрессию.Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
