Прогрессии (835796), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Найти третий ее член.Решение:5 =21 + 4· 5 = 30 ⇒ (1 + 2) · 5 = 30 ⇒ 1 + 2 = 3 = 6.2Ответ: 6.Если из арифметической прогрессии убрать первые членов и последовательно перенумеровать остальные, мы получим арифметическую прогрессию с той же разностью, первым членом которой будет ( + 1)-й член исходной. 98Пример 18.Пусть 17 = 5, а 25 = 35. Найти сумму чле-нов прогрессии с семнадцатого по двадцать пятый.Решение. Отбросим первые 16 членов, и задача сведетсяк нахождению суммы девяти первых членов прогрессии,ГЛАВА 1.
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ23первый член которой равен 5, а девятый 35.9 =1 + 95 + 35·9=· 9 = 180.22Ответ: 180.Очевидно, сумма членов арифметической прогрессии с -гопо -й, т. е. [,] , где > , равна − −1 .Пример 19.Найти сумму членов арифметической про- 98грессии с двенадцатого по девятнадцатый, если первый членравен 3, а двадцатый 41.Решение: 20 = 1 + 19 ⇒ 3 + 19 = 41 ⇒ = 2.21 + 186 + 36· 19 =· 19 = 399.2221 + 106 + 20=· 11 =· 11 = 143, 19 − 11 = 256.2219 =11Ответ: 256.Пример 20.Отношение суммы первых 13 членов ариф-метической прогрессии [1,13] к сумме последних 13 членов1[−12,] равно , а отношение суммы всех членов без первых2трех [4,] к сумме всех членов без последних трех [1,−3]4равно .
Определить число членов прогрессии.3Решение:⎧⎨⎩[1,13][−12,][4,][1,−3]==4312⇒⎧⎨⎩1 +13−12 +4 +1 +−3==4312⇒⎧⎨21 +1221 +2(−7)=⎩ 21 +(+2) =21 +(−4)1243⇒ 9824⎧⎨ 1 = − 19⇒ ⎩ 1 = 22− .⇒ − 19 =22 − ⇒ = 20.22Ответ: 20. 99Пример 21.Найти арифметическую прогрессию, в кото-рой сумма первых членов равна 2 для любого .2( − 1 )21 + ( − 1)· = 2 ⇒ =.Решение: =2−1В последнем равенстве будет константой только в случае1 = 1.
Тогда = 2 и = 1 + ( − 1)2 = 2 − 1. Иначеговоря, последовательность состоит из нечетных натуральных чисел {1, 3, 5, 7 . . .}.Ответ: 1 = 1 и = 2. 99Пример 22.Могут ли числа 1,√3 и 3 быть членами од-ной арифметической прогрессии?Решение. Условия задачи не требуют, чтобы члены про-грессии были расположены подряд. Пусть = 1, =√3и = 3, где < < . = 1 +(−1), = 1 +(−1) ⇒⇒ − = (−), т. е. разность любых двух членов равнапроизведению разности их номеров на разность прогрессии.⎧⎨ − = ( − ) = √3 − 1Тогда⎩ − = ( − ) = 3 − √3 = √3(√3 − 1) − −⇒== − −√ √3( 3 − 1) √√= 3.3−1⇒ГЛАВА 1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИПоскольку√3 – иррациональное число, а−−25– рациональ-ное, они ни при каких , , не будут равны.√Ответ: числа 1, 3 и 3 не могут быть членами одной арифметической прогрессии.Пример 23.При каком условии числа , и могут бытьчленами арифметической прогрессии?Решение.
Пусть = , = и = . Тогда⎧⎪⎪ = 1 + ( − 1)⎪⎨ = 1 + ( − 1)⎪⎪⎪⎩ = 1 + ( − 1)⇒⎧⎨ − = ( − )⇒⎩ − = ( − )−−=.−−−– иррациональное число, то числа , и −не могут быть членами арифметической прогрессии.−= , где и – целые числа, то , и 2. Если−являются членами арифметической прогрессии:1. Если⎧⎪ = = 1 + ( − 1);⎪⎪⎨ = + = 1 + ( + − 1);⎪⎪⎪⎩ = ++ = 1 + ( + + − 1),где 1 – произвольная константа, =−1.−1Ответ: числа , и – члены арифметической прогрессиитогда и только тогда, когда−– рациональное число.− 9926 99Найти четырехзначное число, первые триПример 24.цифры которого образуют невозрастающую арифметическуюпрогрессию, если известно, что оно делится на 225.Решение.
Поскольку 225 = 25 · 9, число должно делитьсяна 25 и на 9. На 25 делятся все четырехзначные числа вида * * 00, * * 25, * * 50 и * *75. Представим все возможныеварианты в зависимости от значения разности прогрессии в следующей таблице:d* * 00* * 25* * 50* * 7500000222555507775121004325765098752420064259750–363008525––48400–––Случай = 0 – стационарная прогрессия. Число 0000не является четырехзначным. Из остальных перечисленныхв таблице делятся на 9 числа 6 300 и 7650.Ответ: 6 300 и 7650.
99Пример 25. Могут ли цифры трехзначного простого чис-ла образовать прогрессию с положительной разностью?Решение. Допустим, могут. Пусть пусть – первая циф-ра, тогда + – вторая, + 2 – третья. Сумма цифрчисла равна 3 + 3. Поскольку сумма цифр делится на 3,на 3 делится и все число, а значит, оно не будет простым.ГЛАВА 1.
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ27Ответ: цифры трехзначного простого числа не могут обра-зовать арифметическую прогрессию.Пример 26.Могут ли цифры четырехзначного простогочисла образовать арифметическую прогрессию с положительной разностью?Решение. Допустим, могут. Пусть – первая цифра, + – вторая, + 2 – третья, + 3 – четвертая. Сумма цифрчисла равна 4 + 6 = 2(2 + 3). Сразу исключим случаи,когда делится на 3, так как тогда и все число делитсяна 3.
Поскольку + 3 – цифра, + 3 ≤ 9. Если > 3,то число + 3 не будет десятичной цифрой, = 3 ⇒ = 0,и в таком случае число уже не будет четырехзначным.Остаются = 0, = 1 и = 2.1) = 0. Прогрессия стационарна, число состоит из четырех одинаковых цифр и делится на соответствующую цифру.
Простое число может делиться только на 1. Но число,состоящее из одних единиц, 1 111 = 11 · 101. Значит, ̸= 0.2) = 1. Тогда надо искать число среди 1 234, 2 345, 3 456,4 567,5 678 и 6 789. Удалим четные числа, делящеесяна 5 число 2 345 и делящееся на 3 число 6 789. Остается4 567, которое действительно является простым.
Чтобы убедиться в этом, достаточно проверить делимость числа 4 567на простые числа от 2 до 67, поскольку 682 > 4 567.3) = 2 ⇒ ≤ 3. Случаи = 0 и = 3 мы исключили выше, а при = 2 получим четное число. Остается составное 9928число 1 357 = 23 · 59.Ответ: единственное четырехзначное простое число, цифрыкоторого образуют арифметическую прогрессию, – 4 567. 100Пример 27.Можно ли в арифметической прогрессиимежду каждыми двумя последовательными членами вставить по чисел так, чтобы и новая последовательность былаарифметической прогрессией?Решение.
Надо взять прогрессию с тем же первым чле-. Например, если в исходной по+1следовательности 1 = 6, = 4 и требуется между каждымином 1 и разностьюсоседними членами вставить по 3 числа, то в новой последовательности должна быть разность4= 1 (рис. 3).Ответ: можно.Рис.
3.Сплошная линия – исходная прогрессия, пунктирная – новаяЕще одно замечание: последовательность членов арифметической прогрессии с номерами , + , + 2, + 3, . . .,где и – натуральные числа, также является арифметической прогрессией с первым членом и разностью · .Так, если в исходной прогрессии с первым членом 1 = 5 иразностью = 3 взять члены с номерами 3, 7, 11, . .
., мы получим прогрессию с первым членом 11 и разностью 4 = 12.ГЛАВА 1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ29Интересно, что номера выбранных членов исходной прогрессии также образуют арифметическую прогрессию.Далее рассмотрим задачу, предлагавшуюся на вступительном экзамене в Высшую школу бизнеса МГУ в 2004 г., которая, на первый взгляд, может показаться очень непростой. Однако, если вы не боитесь громоздких выражений,окажется, что для ее решения достаточно рассмотренногонами выше набора «стандартных средств».Пример 28.Найти все значения параметра , при кото-рых уравнение 25 + 25( − 1) − 4( − 7) = 0 имеет ровно53пять различных вещественных корней, образующих арифметическую прогрессию.Решение.
Вынесем за скобки общий множитель : (254 + 25( − 1)2 − 4( − 7)) = 0 и найдем корни биквадратного трехчлена в скобках. Для этого введем замену переменной 2 = : 252 + 25( − 1) − 4( − 7) = 0; = 252 ( − 1)2 + 4 · 25 · 4( − 7) = 25(252 − 34 − 87);(︃)︃ (︃)︃√√17 − 4 15417 + 4 154 > 0 ⇒ ∈ −∞;∪; +∞ .2525На определенной ранее области√значений уравнение имеет−5( − 1) ± 252 − 34 − 87. Посколькудва корня: 1,2 =10 = 2 , исходное уравнение будет иметь пять различных вещественных корней только тогда, когда 1,2>0. 10030В таком случае −5( − 1) = 5(1 − ) > 0, т.
е. должновыполняться условие < 1. При этом автоматически вы√полнится условие 5(1 − ) > 252 − 34 − 87. Действительно, возведя левую и правую части неравенства в квадрат,после простых преобразований мы придем к неравенству < 7, что справедливо,1. Теперьобласть значений(︃ если <√)︃ (︃)︃√17 − 4 15417 + 4 154 сузилась до ∈ −∞;∪;1 .2525В этой области исходное уравнение имеет пять вещественных корней.
Расположим их в порядке возрастания:√︂5(1 − ) + 5(1 − ) − ; 2 = −; 3 = 0;1 = −1010√︂√︂5(1 − ) − 5(1 − ) + 4 =; 5 =,1010√где = 252 − 34 − 87.√︂Они образуют арифметическую прогрессию (с. 8), если√︂√︂5(1 − ) − 5(1 − ) + 24 = 3 + 5 ⇒ 2=⇒10105(1 − ) − 5(1 − ) + =⇒ 3 − 3 = ⇒⇒ 41010√⇒ 3 − 3 = 252 − 34 − 87 ⇒ 2 − − 6 = 0.Последнее уравнение имеет решения: 1 = −2 и 2 = 3.Однако второе не входит в установленную нами областьзначений .
При = −2 упорядоченное множество корнейГЛАВА 1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ{︁ √√√√ }︁− 2 515 , − 515 , 0, 515 , 2 51531образует(︁ √ )︁арифметическую прогрессию с первым членом − 2 515приметвиди разностьюи√15.5Ответ: при = −2.Пример 29.Доказать, что для членов любой арифмети-ческой прогрессии 1 , 2 , . . . , +1 справедливо равенство111++ ... +=.1 2 2 3 +11 +1Доказательство. Для любого = 1, 2, . .
. (︂)︂11 11111=−⇒++ ... += +1 +11 2 2 3 +1(︂)︂1 111111=−+−+ ... +−=. 1 2 2 3 +11 +1Равенство доказано. 101Глава 2. Геометрические прогрессии§ 2.1. Основные понятия12 ⇔ 36Геометрическая прогрессия – это последова-тельность вещественных чисел, каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего путем умножения его на некоторый фиксированный множитель ̸= 0:если первый член прогрессии равен 1 , то для натуральных>1 имеет место равенство 22 = 1 , 3 = 1 , . .
. , = 1 −1=−1 . Отсюда, . . . , где = 1, 2, 3, . . . .Если все > 0, логарифмы членов геометрической прогрессии образуют арифметическую прогрессию: = 1 −1 ⇒ ln = ln 1 + ( − 1) ln .Первый член арифметической прогрессии 1 = ln 1 , а разность = ln . Аналогично, если { }, где = 1, 2, 3, . . . , –арифметическая прогрессия, то последовательность { } –геометрическая прогрессия = 1 + ( − 1) ⇒ = 1 ( )−1 .На соответствии между арифметическими и геометрическими прогрессиями основан принцип работы логарифмическойлинейки–простейшегомеханическогоГЛАВА 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ33аналогового вычислительного устройства, которое успелопослужить не одному поколению инженеров.Иногда под геометрической прогрессией подразумевают конечное число последовательных ее членов.
Величину называют знаменателем геометрической прогрессии. При = 1 прогрессия стационарна, при > 0 строго монотонна, а при < 0 немонотонна. Прогрессию полностьюопределяют значения 1 и . Для любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, имеет место равенство√︀ = −1 +1 . Действительно,√︀√︀√︀−1 +1 = 1 −2 1 = 21 2(−1) = 1 −1 = .И наоборот, если – среднее геометрическое и , т. е.√ = · , то числа , и образуют геометрическую прогрессию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
