1612134389-38f1c0b45e1f51152856fa5b86345f0b (829489), страница 29
Текст из файла (страница 29)
рис. 69 при M = m),в этом случаеI3 = 2 m1 a2 .(46.20)I1 = I2 = m1 a2 ,Если у твердого тела главные момента инерции разные, то такое телоназывают асимметрическим волчком.Задачи46.1. В вершинах квадрата со стороной 2a расположены массы m и M(рис. 69). Найти компоненты тензора моментов инерции относительно:а) осей xyz;б) осей x y , совпадающих с диагоналями квадрата, и z.Рис. 69.
Четыре массы в вершинахквадратаРис. 70. Массы в вершинах треугольника46.2. Найти главные оси инерции и главные моменты инерции системы, в которой частицы массы m и 2m расположены в вершинах прямоугольного треугольника с катетами 2a и 4a (рис. 70).§ 47. Уравнения движения твердого тела. Примеры47.1. Уравнения движения твердого тела. Уравнения ЭйлераНачнем с уравнения для импульса твердого тела, стартуя от известного закона Ньютона для движения a-й материальной точки под действиемсилы fa :d(ma va )= fa .dtГлава V. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА198Суммируя эти уравнения по всем материальным точкам твердого тела, получаемdP= F,(47.1)dtгде P — импульс твердого тела, определенный формулами (45.1)–(45.3), аF=faa— полная действующая на тело сила.
Так как внутренние силы, действующие между материальными точками твердого тела, в силу третьего закона Ньютона взаимно скомпенсированы, то фактически сила F есть полнаявнешняя сила, действующая на твердое тело. Проецируя уравнения (1) наоси подвижной системы координат x1 x2 x3 и используя (45.6), находим3dPieijk Ωj Pk = Fi ,+dti = 1, 2, 3.(47.2)j,k=1Если начало отсчета подвижной системы координат x1 x2 x3 поместитьв центр инерции твердого тела (см. (46.3)), то Pi = m (Vци )i .Совершенно аналогично может быть получено уравнение для моментаимпульса твердого тела:dM= K,(47.3)dtгде M — момент импульса твердого тела, определенный формулами (46.4)–(46.7), аK=[ra , fa ]a— полный действующий на тело момент сил (а так как внутренние моменты сил взаимно скомпенсированы, то фактически K есть полный моментвнешних сил, действующих на твердое тело).
Проецируя уравнения (3) наоси подвижной системы координат x1 x2 x3 и используя (45.6), находим3dMi+eijk Ωj Mk = Ki ,dti = 1, 2, 3.(47.4)j,k=1Если начало отсчета подвижной системы координат x1 x2 x3 покоится, то(см. (46.7))3dΩkdMi=,i = 1, 2, 3.(47.5)Iikdtdtk=1§ 47. Уравнения движения твердого тела. Примеры199Если же дополнительно оси системы x1 x2 x3 выбраны вдоль главных осейинерции, то уравнения (4) выглядят особенно просто (их называют уравнениями Эйлера):Ii3dΩi+eijk Ωj Ωk Ik = Ki ,dti = 1, 2, 3.(47.6)j,k=1Рассмотрим далее несколько примеров применения уравнений (3)–(6).47.2.
Свободное движение шарового и симметрического волчковПри свободном движении твердого тела F = K = 0, и потому импульси момент импульса твердого тела сохраняются, а центр инерции движетсяс постоянной скоростью. Выберем инерциальную систему, в которой центринерции покоится, и поместим начала отсчета инерциальной системы XY Zи подвижной системы xyz в центр инерции твердого тела.У шарового волчка Iik = I δik , поэтому из (46.7) следуетM = IΩ.(47.7)Отсюда видно, что при свободном движении шарового волчка сохраняетсяне только момент импульса M, но и сонаправленный с ним вектор угловойскорости Ω.Законов сохранения импульса и момента импульса достаточно и дляопределения свободного движения симметрического волчка.
Ось x3 (ееорт e3 ) выберем вдоль оси симметрии волчка, тогда I1 = I2 = I3 , аM1 = I1 Ω1 ,M2 = I1 Ω2 ,M3 = I3 Ω3 .(47.8)В векторной форме эти уравнения можно представить в видеΩ=1M3(M1 e1 + M2 e2 ) +e3I1I3илиΩ=M+I1M3M3−I3I1e3 .(47.9)Эта формула очень удобна для анализа движения волчка. Из нее следует,что три вектора M, Ω и e3 всегда лежат в одной плоскости. В рассматриваемой инерциальной системе координат XY Z вектор M неподвижен,200Глава V. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛАа движение орта e3 определяется уравнением (45.4), которое с учетом (9)гласитMde3= [Ω, e3 ] =, e3 .(47.10)dtI1Иными словами, ось симметрии волчка вращается с постоянной угловойскоростью M/I1 вокруг направления момента импульса. Конечно, при таком вращении проекция момента импульса на ось симметрии M3 остаетсянеизменной, а вектор угловой скорости Ω вращается с той же угловой скоростью, что и ось симметрии.Рис.
71. Свободное движение симметрического волчкаЭто означает, что три вектора M, Ω и e3 не только всегда лежат в однойплоскости, но и сохраняют в этой плоскости неизменным взаимное расположение и свои длины. Отсюда следует, что в рассматриваемой инерциальной системе координат (в которой момент импульса неподвижен) векторыΩ и e3 лежат в одной плоскости и вращаются по коническим поверхностямвокруг направления момента импульса (рис.
71) с одной и той же угловойскоростью. Такое движение волчка называется регулярной прецессией, а егоугловая скорость — скорость прецессии Ωпр — равнаΩпр =M.I1(47.11)Помимо регулярной прецессии, происходит, конечно, и вращение волчка вокруг вращающейся оси симметрии, называемое собственным вращением волчка. Соответствующая угловая скорость собственного вращения§ 47. Уравнения движения твердого тела. Примеры201равнаΩсоб. вр. =M3M3−I3I1I3e3 = 1 −Ω3 e 3 .I1(47.12)Угловые скорости этих двух вращений, прецессии Ωпр и собственного вращения Ωсоб.
вр. в сумме составляют полную угловую скорость вращенияволчка:(47.13)Ω = Ωпр + Ωсоб. вр. .Наглядное истолкование собственного вращения можно получить, если отрассматриваемой инерциальной системы координат перейти к системе координат, вращающейся с угловой скоростью Ωпр . В этой системе волчоквращается с угловой скоростью, равной разнице Ω − Ωпр , которая как рази равняется угловой скорости собственного вращения Ωсоб. вр.
.В качестве иллюстрации полученных результатов рассмотрим свободное движение матрешки в инерциальной системе координат, описаннойвыше. Обычно матрешка представляет собой тело вращения. Ось симметрии x3 проходит через неподвижный центр инерции матрешки и вращается с угловой скоростью Ωпр вокруг направления момента импульса.
Дляопределенности пусть в начальный момент времени угол между моментомимпульса M и осью симметрии равен αM = 60o . Тогда угол αΩ междуугловой скоростью Ω и осью симметрии может быть найден из уравненияtg αΩ =Ω⊥M⊥ /I1I3==tg αM ,Ω3M3 /I3I1(47.14)M⊥ ≡ M1 e1 + M2 e2 = I1 Ω⊥ .При дальнейшем движении матрешки оба эти угла сохраняют свои значения. Если матрешка — одноцветное тело вращения, то мы не сможем наблюдать ее собственное вращение. Например, через время Tпр = 2π/Ωпрось симметрии матрешки вернется в начальное положение, но мы не сможем отличить новое положение матрешки от начального.
Если же матрешкараскрашена, например, на ней нарисовано лицо и в начальный момент времени это лицо было в положении анфас, то через время Tпр мы обнаружимэто лицо повернутым на уголΩсоб. вр.I1ψ = Ωсоб. вр. · Tпр = 2π= 2π− 1 cos αM .(47.15)ΩпрI3Глава V. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА202Рассмотрим два варианта: «худая» матрешка,I1 = 2I3 ,и «полная» матрешка,I1 = 3 I3 .4В первом случае угол αΩ ≈ 40◦ , расположение векторов M, Ω и e3 примерно такое же, как и на рис.
70, и через время Tпр угол ψ = π (т. е. «худая»матрешка окажется повернутой к нам затылком). Попробуйте сами определить взаимное расположение векторов M, Ω и e3 для «полной» матрешкии ее угол поворота ψ через время Tпр .В заключение этого раздела рассмотрим движение симметрическоговолчка, который в инерциальной системе координат имеет закрепленнуюнеподвижную точку O, расположенную на оси симметрии волчка. Пустьl — вектор, проведенный из точки O в центр инерции волчка вдоль осисимметрии. Если на волчок действуют только силы, приложенные в неподвижной точке O, то в инерциальной системе координат XY Z с началом отсчета в точке O момент этих сил равняется нулю и потому момент импульсаволчка сохраняется.
Легко видеть, что в этом случае уравнения движениясвободного волчка (8)–(13) сохраняют свой вид при заменеI1 → I1 = I1 + ml2 .(47.16)В частности, ось симметрии волчка и вектор l вращаются с угловой скоростьюMΩпр = (47.17)I1вокруг постоянного вектора момента импульса M.47.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
