Главная » Просмотр файлов » 1612134389-38f1c0b45e1f51152856fa5b86345f0b

1612134389-38f1c0b45e1f51152856fa5b86345f0b (829489), страница 28

Файл №829489 1612134389-38f1c0b45e1f51152856fa5b86345f0b (Г.Л.Коткин, В.Г.Сербо, А.И.Черных - Лекции по аналитической механике (2017)) 28 страница1612134389-38f1c0b45e1f51152856fa5b86345f0b (829489) страница 282021-02-01СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Поэтому при дифференцированиипо времени соотношения (3) получаем результат (2).Для дальнейшего полезно рассмотреть также производную по временидля произвольного зависящего от времени вектора A = A(t). Его разложение по указанным ортамA = A1 e1 + A2 e2 + A3 e3(45.5)содержит координаты A1 , A2 , A3 , зависящие, вообще говоря, от времени.Поэтому дифференцирование соотношения (5) приводит к другому результату:dA1dA2dA3dA=e1 +e2 +e3 + [Ω, A].(45.6a)dtdtdtdtПроецируя это уравнение на ось ei , получаемdAdti≡ ei ·3dAidA=+eijk Ωj Ak ,dtdti = 1, 2, 3.(45.6b)j,k=1Здесь eijk — полностью антисимметричный единичный тензор третьегоранга.В случае, когда твердое тело движется произвольно, скорость a-й материальной точки равна(45.7)va = V + [Ω, ra ].Начало подвижной системы координат xyz, т. е.

точка O, может бытьвыбрана совершенно произвольно, в том числе и вне самого твердого тела.Покажем, однако, что угловая скорость Ω не зависит от выбора точки O.Пусть начало отсчета смещено в точку O , отстоящую на вектор B от точки O, так что новый радиус-вектор ra связан со старым радиус-вектором raсоотношением(45.8)ra = ra + B.При этом скорость точки O в согласии с (7) равнаV = V + [Ω, B].(45.9)§ 46. Импульс, момент импульса и кинетическая энергия191Для скорости va материальной точки мы можем использовать два эквивалентных выражения — или формулу (7) в старых координатах или формулуva = V + [Ω , ra ](45.10)в новых координатах.

Подставив (8) в формулу (7), получим соотношениеV + [Ω , ra ] = V + [Ω, B] + [Ω, ra ],из которого в силу (9) и произвольности вектора ra следует равенствоΩ = Ω,т. е. независимость угловой скорости вращения твердого тела от выбораточки O.Разложим скорость V на составляющие V и V⊥ , параллельные и перпендикулярные вектору угловой скорости Ω(t) в данный момент времени.Сделаем то же самое и для скорости V , тогда из равенства (9) получим двасоотношения:V⊥= V⊥ + [Ω, B].V = V ,Если V = 0, то из этих формул следует, что можно найти такую точку O , чтобы скорость V в данный момент времени была равна нулю. Иными словами, в этом случае существует возможность представить движениетвердого тела как чистое вращение. Соответствующую ось вращения, проходящую через точку O , при этом называют мгновенной осью вращениятела.§ 46.

Импульс, момент импульса и кинетическая энергиятвердого тела46.1. Импульс твердого телаИмпульс твердого тела равен сумме импульсов материальных точекданного тела:Nma va .(46.1a)P=a=1Подставив (45.7) и введя обозначения массы всего твердого тела и радиусвектора его центра инерции,ma r a,(46.2)ma ,rци = am=maГлава V. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА192найдемP = mV + m[Ω, rци ].(46.1b)Если начало отсчета подвижной системы координат xyz поместить в центринерции твердого тела, так что rци = 0, то импульс твердого тела окажется равен импульсу материальной точки с массой m и скоростью, равнойскорости движения центра инерции Vци :P = mVци .(46.3)46.2.

Момент импульса твердого телаМомент импульса твердого тела равен сумме моментов импульса материальных точек данного тела, т. е.M=Nma [R + ra , V + [Ω, ra ]] = m[R, V] +a=1+ma [ra , [Ω, ra ]] + m [rци , V] + m [R, [Ω, rци ]].(46.4)aЕсли начало отсчета системы координат xyz поместить в центр инерциитвердого тела, то момент импульса твердого тела окажется равен суммемомента импульса материальной точки с массой m, радиус-вектором Rи скоростью, равной скорости движения центра инерции, и момента импульса, соответствующего вращению твердого тела относительно точки O с угловой скоростью Ω:ma [ra , [Ω, ra ]].(46.5)M = m[R, Vци ] +aРассмотрим более подробно случай, когда точка O покоится, так чтоma [ra , [Ω, ra ]].(46.6)M=aВ этом случае компоненты момента импульса оказываются линейной формой компонент Ωj угловой скорости.

Действительно, переписав[ra , [Ω, ra ]] = Ω r2a − (Ω ra ) ra§ 46. Импульс, момент импульса и кинетическая энергия193и спроецировав это равенство на оси подвижной системы координатx1 x2 x3 ,3/ 20ra δik − (ra )i (ra )k Ωk ,[ra , [Ω, ra ]] · ei =k=1представим компоненты момента импульса в видеMi =3Iik Ωk ,(46.7)k=1где коэффициенты Iik образуют симметричный тензор второго ранга — такназываемый тензор моментов инерции твердого тела:Iik =N/0ma r2a δik − (ra )i (ra )k ,i, k = 1, 2, 3.(46.8)a=1Подчеркнем, что угловая скорость и момент импульса, вообще говоря, зависят от времени, в то время как компоненты Iik суть постоянные характеристики твердого тела. Свойства этого тензора рассмотрены в § 46.4. Изуравнения (7) видно, что в общем случае направления вектора M и вектора Ω не совпадают.46.3.

Кинетическая энергия твердого телаКинетическая энергия твердого тела равна сумме кинетических энергий материальных точек данного тела, т. е.T =N1 ma va2 .2 a=1Подставив (45.7) и использовав обозначения (2), найдем11 T = mV2 +ma [Ω, ra ]2 + m Ω[rци , V].22 aЕсли начало отсчета подвижной системы координат xyz поместить в центринерции твердого тела, то кинетическая энергия твердого тела окажется равной сумме кинетической энергии материальной точки с массой mи скоростью Vци и кинетической энергии вращения твердого тела:11 2T = mVци+ma [Ω, ra ]2 .(46.9)22 aГлава V. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА194Рассмотрим более подробно случай, когда точка O покоится, так чтовся кинетическая энергия твердого тела является энергией вращения:T =1 ma [Ω, ra ]2 .2 a(46.10)Кинетическая энергия поступательного движения твердого тела можетбыть представлена в виде скалярного произведения импульса тела и егоскорости:11T = mV2 = PV.(46.11)22Аналогично, можно представить формулу (10) для кинетической энергиивращения твердого тела в виде скалярного произведения вектора моментаимпульса тела и вектора его угловой скорости1 :T =1MΩ.2(46.12)Для этого достаточно использовать уравнение (6) и переписать(Ω [ra , [Ω, ra ]]) = [Ω, ra ]2 .Подставим далее в (12) выражение для момента импульса в форме (7),тогда энергия окажется квадратичной формой компонент Ωj угловой скорости:31 Iik Ωi Ωk ,(46.13)T =2i,k=1где коэффициенты квадратичной формы Iik являются компонентами тензора моментов инерции твердого тела (8).46.4.

Тензор моментов инерции твердого телаКак момент импульса вращающегося твердого тела, так и его кинетическая энергия выражаются через тензор моментов инерции. Два тела с совершенно различными распределениями масс, но одинаковыми тензорамимоментов инерции вращаются одинаково.

Рассмотрим подробнее свойстватензора моментов инерции твердого тела.1 Таккак T > 0, то из (12) видно, что угол между векторами M и Ω всегда меньше 90o .§ 46. Импульс, момент импульса и кинетическая энергия195Диагональные элементы тензора моментов инерции определяются через квадраты расстояний материальных точек до соответствующей осиI11 =ma (ya2 + za2 ), I22 =ma (x2a + za2 ), I33 =ma (x2a + ya2 ),aaaа недиагональные элементы — через произведения соответствующих координатI12 = I21 = −ma xa ya , I13 = I31 = −ma xa za ,aI23 = I32 = −ama ya za .aИз этих определений видно, что сумма двух разных диагональных элементов тензора Iik не меньше третьего диагонального элемента, такI11 + I22 =ma (xa + ya2 + 2za2 ) ma (x2a + ya2 ) = I33 .aaИз этого же соотношения видно, что для плоского твердого тела (расположенного в плоскости xy) имеет место равенствоI11 + I22 = I33 .Пусть единичный вектор n задает направление некоторой оси, а величина ρa обозначает расстояние от материальной точки a до этой оси.Определим момент инерции твердого тела относительно оси n следующимобразом:ma ρ2a .In =aЛегко видеть, что диагональные элементы тензора моментов инерции I11 ,I22 и I33 представляют собой моменты инерции относительно осей x, y и zсоответственно.

С другой стороны, момент инерции относительно произвольной оси n может быть выражен через компоненты тензора Iik и вектора n:3Iik ni nk .In =i,k=1Рассмотрим случай, когда начало O подвижной системы координат xyzпомещено в центр инерции твердого тела, так чтоma ra = 0,(46.14)aГлава V. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА196а точка O (начало другой подвижной системы координат x y z ) смещенана вектор B.

При этом между радиус-векторами ra и ra материальной точки имеет место соотношение (45.8). Подставляя (45.8) в определение (8)и учитывая равенство (14), получаем соотношение (которое иногда называется теоремой Гюйгенса–Штейнера)ци(46.15)= Iik+ m B2 δik − Bi Bk .IikИз этой формулы видно, что диагональные элементы тензора моментовинерции имеют наименьшее значение в системе центра инерции твердого тела.Как всякий симметричный тензор, тензор моментов инерции можетбыть приведен к диагональной форме при подходящем выборе осей подвижной системы координат xyz относительно твердого тела. Специальный интерес представляет диагональная форма этого тензора в случае, когда начало отсчета системы xyz помещено в центре инерции твердого тела.В этом случае диагональные элементыци,I1 ≡ I11циI2 ≡ I22,циI3 ≡ I33(46.16)циназываются главными моментами инерции твердого тела, а сотензора Iikответствующие оси системы xyz — главными осями инерции.ОпределенияЕсли у твердого тела главные моменты инерции одинаковы I1 = I2 == I3 , то такое тело называют шаровым волчком.

Конечно, шаровым волчкомявляется однородный шар радиуса R, у которогоI1 = I2 = I3 = 2 mR2 .5(46.17)Однако шаровым волчком является также и однородный куб с длиной ребра a, у которого(46.18)I1 = I2 = I3 = 1 ma2 .6Если у твердого тела два главных момента инерции совпадают, например I1 = I2 = I3 , то такое тело называют симметрическим волчком. В качестве примера можно указать однородный эллипсоид вращения с полуосямиa = b = c, у которогоI1 = I2 = m (a2 + c2 ),5I3 = 2 ma2 .5(46.19)§ 47. Уравнения движения твердого тела. Примеры197Другой пример симметрического волчка — четыре точки с одинаковымимассами m1 = m2 = m3 = m4 , расположенные в вершинах квадрата и соединенные невесомыми стержнями длины a (см.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,9 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее