1612134389-38f1c0b45e1f51152856fa5b86345f0b (829489), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Поэтому при дифференцированиипо времени соотношения (3) получаем результат (2).Для дальнейшего полезно рассмотреть также производную по временидля произвольного зависящего от времени вектора A = A(t). Его разложение по указанным ортамA = A1 e1 + A2 e2 + A3 e3(45.5)содержит координаты A1 , A2 , A3 , зависящие, вообще говоря, от времени.Поэтому дифференцирование соотношения (5) приводит к другому результату:dA1dA2dA3dA=e1 +e2 +e3 + [Ω, A].(45.6a)dtdtdtdtПроецируя это уравнение на ось ei , получаемdAdti≡ ei ·3dAidA=+eijk Ωj Ak ,dtdti = 1, 2, 3.(45.6b)j,k=1Здесь eijk — полностью антисимметричный единичный тензор третьегоранга.В случае, когда твердое тело движется произвольно, скорость a-й материальной точки равна(45.7)va = V + [Ω, ra ].Начало подвижной системы координат xyz, т. е.
точка O, может бытьвыбрана совершенно произвольно, в том числе и вне самого твердого тела.Покажем, однако, что угловая скорость Ω не зависит от выбора точки O.Пусть начало отсчета смещено в точку O , отстоящую на вектор B от точки O, так что новый радиус-вектор ra связан со старым радиус-вектором raсоотношением(45.8)ra = ra + B.При этом скорость точки O в согласии с (7) равнаV = V + [Ω, B].(45.9)§ 46. Импульс, момент импульса и кинетическая энергия191Для скорости va материальной точки мы можем использовать два эквивалентных выражения — или формулу (7) в старых координатах или формулуva = V + [Ω , ra ](45.10)в новых координатах.
Подставив (8) в формулу (7), получим соотношениеV + [Ω , ra ] = V + [Ω, B] + [Ω, ra ],из которого в силу (9) и произвольности вектора ra следует равенствоΩ = Ω,т. е. независимость угловой скорости вращения твердого тела от выбораточки O.Разложим скорость V на составляющие V и V⊥ , параллельные и перпендикулярные вектору угловой скорости Ω(t) в данный момент времени.Сделаем то же самое и для скорости V , тогда из равенства (9) получим двасоотношения:V⊥= V⊥ + [Ω, B].V = V ,Если V = 0, то из этих формул следует, что можно найти такую точку O , чтобы скорость V в данный момент времени была равна нулю. Иными словами, в этом случае существует возможность представить движениетвердого тела как чистое вращение. Соответствующую ось вращения, проходящую через точку O , при этом называют мгновенной осью вращениятела.§ 46.
Импульс, момент импульса и кинетическая энергиятвердого тела46.1. Импульс твердого телаИмпульс твердого тела равен сумме импульсов материальных точекданного тела:Nma va .(46.1a)P=a=1Подставив (45.7) и введя обозначения массы всего твердого тела и радиусвектора его центра инерции,ma r a,(46.2)ma ,rци = am=maГлава V. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА192найдемP = mV + m[Ω, rци ].(46.1b)Если начало отсчета подвижной системы координат xyz поместить в центринерции твердого тела, так что rци = 0, то импульс твердого тела окажется равен импульсу материальной точки с массой m и скоростью, равнойскорости движения центра инерции Vци :P = mVци .(46.3)46.2.
Момент импульса твердого телаМомент импульса твердого тела равен сумме моментов импульса материальных точек данного тела, т. е.M=Nma [R + ra , V + [Ω, ra ]] = m[R, V] +a=1+ma [ra , [Ω, ra ]] + m [rци , V] + m [R, [Ω, rци ]].(46.4)aЕсли начало отсчета системы координат xyz поместить в центр инерциитвердого тела, то момент импульса твердого тела окажется равен суммемомента импульса материальной точки с массой m, радиус-вектором Rи скоростью, равной скорости движения центра инерции, и момента импульса, соответствующего вращению твердого тела относительно точки O с угловой скоростью Ω:ma [ra , [Ω, ra ]].(46.5)M = m[R, Vци ] +aРассмотрим более подробно случай, когда точка O покоится, так чтоma [ra , [Ω, ra ]].(46.6)M=aВ этом случае компоненты момента импульса оказываются линейной формой компонент Ωj угловой скорости.
Действительно, переписав[ra , [Ω, ra ]] = Ω r2a − (Ω ra ) ra§ 46. Импульс, момент импульса и кинетическая энергия193и спроецировав это равенство на оси подвижной системы координатx1 x2 x3 ,3/ 20ra δik − (ra )i (ra )k Ωk ,[ra , [Ω, ra ]] · ei =k=1представим компоненты момента импульса в видеMi =3Iik Ωk ,(46.7)k=1где коэффициенты Iik образуют симметричный тензор второго ранга — такназываемый тензор моментов инерции твердого тела:Iik =N/0ma r2a δik − (ra )i (ra )k ,i, k = 1, 2, 3.(46.8)a=1Подчеркнем, что угловая скорость и момент импульса, вообще говоря, зависят от времени, в то время как компоненты Iik суть постоянные характеристики твердого тела. Свойства этого тензора рассмотрены в § 46.4. Изуравнения (7) видно, что в общем случае направления вектора M и вектора Ω не совпадают.46.3.
Кинетическая энергия твердого телаКинетическая энергия твердого тела равна сумме кинетических энергий материальных точек данного тела, т. е.T =N1 ma va2 .2 a=1Подставив (45.7) и использовав обозначения (2), найдем11 T = mV2 +ma [Ω, ra ]2 + m Ω[rци , V].22 aЕсли начало отсчета подвижной системы координат xyz поместить в центринерции твердого тела, то кинетическая энергия твердого тела окажется равной сумме кинетической энергии материальной точки с массой mи скоростью Vци и кинетической энергии вращения твердого тела:11 2T = mVци+ma [Ω, ra ]2 .(46.9)22 aГлава V. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА194Рассмотрим более подробно случай, когда точка O покоится, так чтовся кинетическая энергия твердого тела является энергией вращения:T =1 ma [Ω, ra ]2 .2 a(46.10)Кинетическая энергия поступательного движения твердого тела можетбыть представлена в виде скалярного произведения импульса тела и егоскорости:11T = mV2 = PV.(46.11)22Аналогично, можно представить формулу (10) для кинетической энергиивращения твердого тела в виде скалярного произведения вектора моментаимпульса тела и вектора его угловой скорости1 :T =1MΩ.2(46.12)Для этого достаточно использовать уравнение (6) и переписать(Ω [ra , [Ω, ra ]]) = [Ω, ra ]2 .Подставим далее в (12) выражение для момента импульса в форме (7),тогда энергия окажется квадратичной формой компонент Ωj угловой скорости:31 Iik Ωi Ωk ,(46.13)T =2i,k=1где коэффициенты квадратичной формы Iik являются компонентами тензора моментов инерции твердого тела (8).46.4.
Тензор моментов инерции твердого телаКак момент импульса вращающегося твердого тела, так и его кинетическая энергия выражаются через тензор моментов инерции. Два тела с совершенно различными распределениями масс, но одинаковыми тензорамимоментов инерции вращаются одинаково.
Рассмотрим подробнее свойстватензора моментов инерции твердого тела.1 Таккак T > 0, то из (12) видно, что угол между векторами M и Ω всегда меньше 90o .§ 46. Импульс, момент импульса и кинетическая энергия195Диагональные элементы тензора моментов инерции определяются через квадраты расстояний материальных точек до соответствующей осиI11 =ma (ya2 + za2 ), I22 =ma (x2a + za2 ), I33 =ma (x2a + ya2 ),aaaа недиагональные элементы — через произведения соответствующих координатI12 = I21 = −ma xa ya , I13 = I31 = −ma xa za ,aI23 = I32 = −ama ya za .aИз этих определений видно, что сумма двух разных диагональных элементов тензора Iik не меньше третьего диагонального элемента, такI11 + I22 =ma (xa + ya2 + 2za2 ) ma (x2a + ya2 ) = I33 .aaИз этого же соотношения видно, что для плоского твердого тела (расположенного в плоскости xy) имеет место равенствоI11 + I22 = I33 .Пусть единичный вектор n задает направление некоторой оси, а величина ρa обозначает расстояние от материальной точки a до этой оси.Определим момент инерции твердого тела относительно оси n следующимобразом:ma ρ2a .In =aЛегко видеть, что диагональные элементы тензора моментов инерции I11 ,I22 и I33 представляют собой моменты инерции относительно осей x, y и zсоответственно.
С другой стороны, момент инерции относительно произвольной оси n может быть выражен через компоненты тензора Iik и вектора n:3Iik ni nk .In =i,k=1Рассмотрим случай, когда начало O подвижной системы координат xyzпомещено в центр инерции твердого тела, так чтоma ra = 0,(46.14)aГлава V. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА196а точка O (начало другой подвижной системы координат x y z ) смещенана вектор B.
При этом между радиус-векторами ra и ra материальной точки имеет место соотношение (45.8). Подставляя (45.8) в определение (8)и учитывая равенство (14), получаем соотношение (которое иногда называется теоремой Гюйгенса–Штейнера)ци(46.15)= Iik+ m B2 δik − Bi Bk .IikИз этой формулы видно, что диагональные элементы тензора моментовинерции имеют наименьшее значение в системе центра инерции твердого тела.Как всякий симметричный тензор, тензор моментов инерции можетбыть приведен к диагональной форме при подходящем выборе осей подвижной системы координат xyz относительно твердого тела. Специальный интерес представляет диагональная форма этого тензора в случае, когда начало отсчета системы xyz помещено в центре инерции твердого тела.В этом случае диагональные элементыци,I1 ≡ I11циI2 ≡ I22,циI3 ≡ I33(46.16)циназываются главными моментами инерции твердого тела, а сотензора Iikответствующие оси системы xyz — главными осями инерции.ОпределенияЕсли у твердого тела главные моменты инерции одинаковы I1 = I2 == I3 , то такое тело называют шаровым волчком.
Конечно, шаровым волчкомявляется однородный шар радиуса R, у которогоI1 = I2 = I3 = 2 mR2 .5(46.17)Однако шаровым волчком является также и однородный куб с длиной ребра a, у которого(46.18)I1 = I2 = I3 = 1 ma2 .6Если у твердого тела два главных момента инерции совпадают, например I1 = I2 = I3 , то такое тело называют симметрическим волчком. В качестве примера можно указать однородный эллипсоид вращения с полуосямиa = b = c, у которогоI1 = I2 = m (a2 + c2 ),5I3 = 2 ma2 .5(46.19)§ 47. Уравнения движения твердого тела. Примеры197Другой пример симметрического волчка — четыре точки с одинаковымимассами m1 = m2 = m3 = m4 , расположенные в вершинах квадрата и соединенные невесомыми стержнями длины a (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
