1612134389-38f1c0b45e1f51152856fa5b86345f0b (829489), страница 25
Текст из файла (страница 25)
ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА168Отсюда видно, что движение частицы происходит в плоскости, перпендикулярной постоянному вектору M. Введем в этой плоскости полярные координаты r и ϕ, функция Лагранжа в этих координатах равнаṙ 2 + r 2 ϕ̇2L = −mc2 1 −+αr.c2Соответствующие обобщенные импульсыmr 2 ϕ̇pϕ ≡ M = ∂L = ∂ ϕ̇1 − (v/c)2,pr = ∂L = mṙ∂ ṙ1 − (v/c)2связаны соотношением (оно имеет тот же вид, что и в нерелятивистскомслучае — см. (8.9))2p2 = p2r + M2 ,rпоэтому22− M2 − m2 c2 .pr (r) = ± 12 E + αrcrРешение уравнения Гамильтона–Якоби для укороченного действияищем в виде (7):S0 (r, ϕ) = pϕ (ϕ) dϕ + pr (r) dr.В итоге получаем полный интеграл уравнения Гамильтона–ЯкобиS(r, ϕ, E, M, t) = −E t + M ϕ + pr (r) dr,где величины E и M играют роль параметров α1,2 .Уравнение ∂S/∂α1 = β1 или ∂S/∂E = const определяет зависимость r(t): dr ,1E+α(41.8)t= 2rpcr (r)а уравнение ∂S/∂M = const илиϕ=M drr 2 pr (r)(41.9)§ 41.
Уравнение Гамильтона–Якоби169определяет траекторию частицы. Сравним уравнение (9) с уравнением (3.21) для траектории движения нерелятивистской частицы в полеβU (r) = − αr + r2 .Видно, что уравнение (9) совпадает с уравнением (3.21) при заменахm→E,c2E→E 2 − m 2 c4,2E2β → −α .2E(41.10)Другими словами, уравнение (9) соответствует движению нерелятивистской частицы в кулоновском поле U (r) = −α/r с возмущением в видедополнительного центрального поля притяженияδU (r) = −α2.2E r 2(41.11)При M > α/c это позволяет сразу записать ответ для рассматриваемого случая в виде, аналогичном (3.23):r=p̃,1 + ẽ cos(γϕ)(41.12)где введены обозначения2c2 M 2 − α 2,1 − 2α 2 ,p̃ =Eαc M(E 2 − m2 c4 )(c2 M 2 − α2 )ẽ = 1 +.(41.13)E 2 α2Для случая E < mc2 (при этом ẽ < 1) траектория соответствует финитномудвижению частицы и, вообще говоря, незамкнута (см.
рис. 7, б). За однорадиальное колебание частицы ее полярный угол изменится наγ=Δϕ = 2πγ .(41.14)Если применить эти формулы для движения планет в Солнечной системе, то такое изменение соответствует смещению перигелия планеты наугол(41.15a)δϕ = 2πγ − 2π.Глава IV.
ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА170Для движения планет можно использовать нерелятивистский предел этоговыражения (считая v c или mc2 − E ≈ α/(2a) mc2 )δϕ ≈ πα/ a,mc2 (1 − e2 )(41.15b)где a и e — большая полуось и эксцентриситет планеты. Для планеты Меркурий численное значение смещения перигелия оказывается равнымδϕ ≈ 7,2 в столетие.(41.16)Наблюдаемая прецессия перигелия Меркурия (после исключения влияниядругих планет) равнаδϕ наблюд = (43,11 ± 0,45) в столетие.(41.17)Это значение δϕнаблюд находится в очевидном противоречии с предсказанием (16) специальной теории относительности, но прекрасно согласуетсяс предсказанием общей теории относительности (см. [10, § 101]):δϕOTO = 6δϕ ≈ 43 в столетие.(41.18)41.3. Оптико-механическая аналогияИзвестно, что распространение световой волны в прозрачной средес показателем преломления n(r) можно описывать как движение волновыхповерхностей — поверхностей одинаковых фаз Ψ(r, t) = const. В приближении геометрической оптики фаза Ψ(r, t) подчиняется уравнению эйконала2n2 ∂Ψ2,(∇Ψ) = 2c∂tгде c — скорость света в вакууме (см.
[9, § 85]).Напомним, что для фотона функция Гамильтона согласно (33.12a) имеет видH(p, r) = c |p|.n(r)Соответствующее уравнение Гамильтона–Якоби∂S= c |∇S|∂tn(r)§ 42. Переменные действие–угол171легко преобразуется к видуn2 (r)(∇S) =c22∂S∂t2.Это уравнение совпадает с уравнением эйконала, если принять, что функция S(r, t) пропорциональна фазе Ψ(r, t). Иными словами, в механике фотона роль волновых поверхностей играют поверхности S(r, t) = const, гдеS(r, t) — действие как функция координат и времени.Задача41.1. Определить траектории и законы движения частиц, рассеиваемыхв полеθU (r, θ, ϕ) = a cosr2и падающих в центр этого поля. Траекторию выразить через квадратуры,а при Eρ2 a — и аналитически.
Скорость частиц до рассеяния параллельна оси z.§ 42. Переменные действие–уголЕсли механическая система, допускающая разделение переменныхв уравнении Гамильтона–Якоби, совершает финитное движение, то для нееможно ввести особые канонические переменные w1 , . . . , ws , I1 , . . . , Is , называемые угловыми переменными и переменными действия. Они позволяют дать единое и очень простое описание всех таких систем. Кроме того,они полезны при исследовании механических систем, которые получаютсяв результате более или менее значительной модификации исходных и недопускают разделения переменных. Нередко современные исследования понелинейной механике стартуют сразу с формулировки задачи в переменныхдействие–угол.
Мы начнем со случая, когда функция Гамильтона системыне зависит от времени явно: ∂H/∂t = 0.42.1. Системы с одной степенью свободыРассмотрим сначала систему с одной степенью свободы с гамильтонианом H(p, q), совершающую периодическое движение. Покажем, что длятакой системы можно ввести новые канонические переменные (координату w и импульс I), в которых движение рассматриваемой системы выглядитГлава IV.
ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА172предельно просто, даже если в исходных переменных q и p это движениебыло достаточно сложным. Именно, импульс I сохраняется, а координата wлинейно растет со временем, что соответствует свободному движению точки в этих переменных. При этом вся индивидуальность исходной системыбудет «спрятана» в формулах связи старых и новых переменных, так чтоновое описание будет совершенно одинаковым для самых разных систем.Прежде чем переходить к общему случаю, рассмотрим поучительный пример.Пример.
Гармонический осциллятор с гамильтонианомH(p, x) =p2+ 1 mω 2 x2 .2m 2(42.1)Новые переменные введем соотношениями (их можно получить, используяпроизводящую функцию (11), приводимую ниже)√2I sin w,p = 2mωI cos w.(42.2)x = mωЛегко проверить, что{p, x}I,w = 1,т. е. что преобразование (2) является каноническим. Новая функция ГамильтонаH (I, w) = H(p(w, I), x(w, I)) = ωIне зависит от координаты w, поэтому новый импульс сохраняется I = constи равен(42.3)I=Eω,так как в данной задаче гамильтониан H = E = const.Уравнение Гамильтона для новой координаты∂H =ω∂Iприводит к тривиальному закону движения:ẇ =w(t) = ω t + w0 .(42.4)(42.5)На рис. 60 показаны фазовые траектории в исходных переменных p x,имеющие вид эллипсов, и прямолинейные фазовые траектории в переменных действие–угол.§ 42.
Переменные действие–угол173Рис. 60. Фазовые траектории гармонического осциллятора в исходных переменныхp, x и в переменных действие–угол I, wПерейдем теперь к общему случаю одномерного движения. В этом случае вопрос о разделении переменных тривиален. Из равенстваH(p, q) = E(42.6)выразим p = p(q, E) и найдем укороченное действиеqS0 (q, E) =p(q, E) dq.(42.7)p(q, E) dq,(42.8)q0Определим величину I какI(E) =12π.где интеграл берется по периоду движения (имея в виду, например, маятник, можно представлять себе, что в зависимости от энергии период движения есть либо период колебания, либо период полного обращения маятника). Наглядный смысл величины S0 (q, E) — площадь на фазовой плоскости,отмеченная на рис.
61, а величина 2πI соответствует площади, ограниченной фазовой траекторией за период движения. Отметим, что укороченноедействие является неоднозначной функцией координаты, вырастая за период на величину 2πI, так что после n периодов движения приращениеΔS0 = 2πn I.(42.9)Выразив из (8) E(I) и подставив в (7), получим функциюΦ(q, I) = S0 (q, E(I)).(42.10)Глава IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА174Рис. 61. Геометрический смысл укороченного действия — выделенная площадь нафазовой плоскостиЕе и примем за производящую функцию канонического преобразования,в котором I — новый импульс7 .
Связь новых канонических переменных состарыми определяется соотношениями вида (36.16)p=∂Φ(q, I),∂qw=∂Φ(q, I).∂I(42.12)Новый гамильтониан фактически уже известен, он не зависит от координаты w:(42.13)H (I, w) = E(I).Уравнения Гамильтона∂H ∂E∂EI˙ = −=−= 0, ẇ =∂w∂w∂Iприводят к закону движения для новых переменных(42.14)∂Et + w0 .∂IВеличину ∂E/∂I находим с помощью (8):.∂I1∂p(q, E)=dq.∂E2π∂EI = const,w=7В рассмотренном примере гармонического осциллятора= 2mE − (mωx)2 , укороченное действиеxS0 (x, E) = p(x, E) dx =(42.15)(42.16)импульсp(x, E)=x0+m ωx + 2πn E + const.arcsin= 1 x 2mE − (mωx)2 + Eωω22EОтсюда производящая функция+m ωx + 2πn I + const.Φ(x, I) = 1 x 2mωI − (mωx)2 + I arcsin22ωI(42.11)§ 42.
Переменные действие–угол175Чтобы найти производную ∂p(q, E)/∂E, подставим p = p(q, E) в уравнение (6) и, продифференцировав полученное тождество H (p(q, E), q) = Eпо E, получим∂H ∂p= 1,∂p ∂Eоткуда∂p11== ,(42.17)∂E∂H/∂pq̇так что.∂I1T1dq=== ,(42.18)∂E2πq̇2πωгде T = 2π/ω — период движения, а ω — частота. В общем случае частотаω зависит от энергии, т. е. от I. Итак,I = const,w = ω(I) t + w0 .(42.19)Угловая переменная w так же, как и укороченное действие, является неоднозначной функцией координаты q.
За период движения переменная w увеличивается на 2π (ср. (9)). Переменные q и p — периодические функции w.42.2. Системы со многими степенями свободыДля системы со многими степенями свободы и функцией Гамильтона,не зависящей явно от времени (∂H/∂t = 0), можно ввести переменные действия и угловые переменные в случае, если переменные разделяются. Действуем вполне аналогично, но заменяем в (7) функцию S0 на Si из (41.7).При этом каждая из переменных Ii оказывается функцией s произвольныхпостоянных αj , в том числе и энергии E. Новая функция Гамильтона естьH = E(I1 , .
. . , Is ),(42.19)а пары канонически сопряженных координат и импульсов qi , pi — функции «своих» wi и всех переменных Ij . Параметры αi также могут бытьвыражены через Ij :(42.20)αi = αi (I1 , . . . , Is ).Переменные Ii играют особую роль при переходе к квантовой механике. В так называемом квазиклассическом приближении они могутпринимать лишь дискретный ряд значений (правила квантования Бора–Зоммерфельда):Ii = ni h̄(здесь ni — целые числа, а h̄ — постоянная Планка или квант действия).Глава IV.
ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА17642.3. Функция Гамильтона, зависящая явно от времениПусть теперь функция Гамильтона механической системы с одной степенью свободы зависит от параметра λ = λ(t), изменяющегося со временем. При этом функция Гамильтона H = H(p, q, λ) приобретает явнуюзависимость от времени через этот параметр, а энергия системы E не сохраняется. Переход к каноническим переменным w, I в этом случае проводится по тем же формулам (8)–(10), (12), в которых, однако, теперь появитсяпараметр λ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
