1612134389-38f1c0b45e1f51152856fa5b86345f0b (829489), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Второе замечание: к сожалению, определение канонического преобразования не очень наглядно. Зато данное определениепозволяет очень быстро получить целый ряд полезных свойств.Итак, дадим определение: каноническим называется преобразованиевида (1) такое, чтоspi dqi =i=1sPi dQi + dF (q, Q, t̆),(36.2)i=1где dF (q, Q, t̆) есть полный дифференциал функции F (q, Q, t) при фиксированном времени, т.
е.∂Fdt.(36.3)dF (q, Q, t̆) = dF (q, Q, t) −∂tt=t̆Функция F (q, Q, t) называется производящей функцией данного канонического преобразования. Из определения (2) немедленно получаемpi =∂F,∂qiPi = −∂F.∂Qi(36.4)3 Можно обобщить канонические преобразования так, чтобы они также допускали преобразование времени — см. Дополнение D.Глава IV.
ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА148Разрешая эти алгебраические соотношения, можно по известной производящей функции F (q, Q, t) получить явные уравнения связи старых и новыхпеременных.Докажем ковариантность уравнений Гамильтона относительно канонических преобразований.
Напомним, что из вариационного принципа(см. § 34) t2 ∂H∂HδΣ =q̇i −δpi − ṗi +δqi dt +∂pi∂qiit1+t2pi δqi = 0(36.5)t1iс учетом граничных условий (34.2) и независимости вариаций δqi и δpiследуют уравнения Гамильтонаq̇i =∂H,∂piṗi = −∂H.∂qiВ силу (2), (3) функционал Σ равенΣ=t2 t1Pi Q̇i − H (P, Q, t)it2dt +dF (q, Q, t),t1гдеH (P, Q, t) = H(p, q, t) +∂F (q, Q, t),∂t(36.6)и поэтому вариационный принцип (5) можно переписать в виде∂H δPi − Ṗi +δQi dt +∂Qiit1t2∂F∂F+δqi +δQi = 0.Pi δQi +∂qi∂Qit1iδΣ =t2 Q̇i −∂H ∂PiВ силу соотношений (4) и граничных условий (34.2) внеинтегральные слагаемые исчезают, поэтому с учетом независимости вариаций δQi и δPi мы§ 36.
Канонические преобразования149получаем уравнения движения для новых переменных, также имеющие видуравнений Гамильтона,Q̇i =∂H ,∂PiṖi = −∂H ,∂Qi(36.7)с новой функцией Гамильтона H (P, Q, t), определяемой формулой (6).Таким образом, производящая функция F (q, Q, t) задает каноническоепреобразование с помощью формул (4); эти формулы и соотношение (6)могут быть представлены в следующем компактном виде:dF (q, Q, t) =(pi dqi − Pi dQi ) + (H − H)dt.(36.8)iПример. Рассмотрим одномерную систему с гамильтонианом H(p, q, t).Простейшим нетривиальным примером канонических преобразований может служить линейное преобразование координат и импульсов, получаемоеиз производящей функции F (q, Q, t), имеющей вид квадратичной формыканонических переменных:(36.9)F (q, Q, t) = 1 a q 2 + 2b qQ + c Q22(здесь величины a, b и c являются либо константами, либо функциямивремени).
Используя уравнения (4), находим соотношенияp=∂F= a q + b Q,∂qP =−∂F= −b q − c Q.∂QРазрешая их, получаем линейные уравнения связи старых и новых переменных:Q = α q + β p,P = γ q + δ p,(36.10)в которых коэффициенты равныα = −a,bβ = 1,bγ=ac − b2,bδ = −c.b(36.11)Обратим внимание на то, что эти коэффициенты не являются произвольными, а именно, якобиан преобразования (10) равен единице4∂(Q, P )= αδ − βγ = 1.∂(q, p)(36.12)4 Таким образом, условие (12) является необходимым для того, чтобы линейное преобразование (10) было каноническим.
Далее мы покажем, что (12) является также и достаточнымусловием (см. пример 1 в § 38).Глава IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА150Новый гамильтониан, определяемый уравнением (6), имеет видH (P, Q, t) = H(p, q, t) + 1 ȧ q 2 + 2ḃ qQ + ċ Q2 ,2(36.13)причем в правой стороне этого равенства необходимо заменить старые переменные q и p на новые переменные Q и P согласно соотношениям (10).36.2. Другие производящие функцииПомимо производящей функции F (q, Q, t) можно ввести другие производящие функции от переменных q, P , или Q, p, или p, P . Например, подставив в (8) соотношениеPi dQi = d(Pi Qi ) − Qi d Piи вводя производящую функциюΦ(q, P, t) = F +s(36.14)Qi Pi ,i=1получимdΦ(q, P, t) =s(pi dqi + Qi d Pi ) + (H − H) dt.(36.15)i=1Отсюда для производящей функции Φ(q, P, t) немедленно следуют аналогичные (4), (6) формулыpi =∂Φ,∂qiQi =∂Φ,∂PiH = H +∂Φ.∂t(36.16)Приведем простые примеры.
Производящая функцияF (q, Q, t) =sqi Qii=1с точностью до знака обменивает координаты и импульсы:Qi = pi , Pi = −qi .По этой причине в гамильтоновом методе термины «координаты» и «импульсы» становятся условными и переменные p, q часто называют простоканонически сопряженными величинами.§ 36.
Канонические преобразования151Производящая функцияΦ(q, P, t) =sqi Pii=1задает тождественное преобразование:Qi = qi , Pi = pi .Производящую функцию преобразования, близкого, к тождественному,нередко можно представить в виде Φ(q, P, t) =i qi Pi + εW (q, P ), гдепараметр ε определяет малость поправки.Пример. В качестве примера рассмотрим производящую функциюΦ(q, P, t) = qP + δτ H(P, q, t),(36.17)где ε ≡ δτ бесконечно малый параметр, а H(p, q, t) — функция Гамильтонасистемы.
В этом случае уравнения связи старых и новых переменных (16)имеют вид∂H(P, q, t)∂Φ= P + δτ,p=∂q∂q∂Φ∂H(P, q, t)Q== q + δτ.∂P∂PИспользуя малость параметра δτ , можем переписать эти уравнения в виде∂H(p, q, t)= p(t) + ṗδτ = p(t + δτ ),∂q∂H(p, q, t)Q(t) = q + δτ= q(t) + q̇δτ = q(t + δτ ).∂pP (t) = p − δτТаким образом, рассматриваемое преобразованиеQ(t) = q(t + δτ ),P (t) = p(t + δτ )(36.18)представляет собой сдвиг по времени на δτ (ср. [1, § 45]). Новая функцияГамильтона∂Φ∂H(P, q, t)= H(p, q, t) + δτ≈∂t∂tdH(p, q, t)= H(p, q, t + δτ )≈ H(p, q, t) + δτdtH (P, Q, t) = H(p, q, t) +Глава IV.
ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА152также соответствует сдвигу по времени на δτ . Отсюда следует, что, совершая последовательные малые сдвиги по времени, можно получить конечный сдвиг по времени и показать, что преобразованиеQ(t) = q(t + τ ),P (t) = p(t + τ )(36.19)также является каноническим. Производящая функция для этого преобразования будет указана в § 39.2.В заключение этого раздела упомянем, что канонические преобразования особенно просто выглядят в формализме внешних дифференциальных форм.
Этот вопрос рассматривается в Дополнении E. В частности,в этом формализме легко доказываются следующие важные свойства канонических преобразований: скобки Пуассона инвариантны относительноканонических преобразований; якобиан канонического преобразования (1)равен единице (это означает, что при канонических преобразованиях фазовый объем сохраняется).В стандартном подходе доказательство этих свойств выглядит заметноболее громоздким (см.
ниже § 37, 40).Задачи36.1. Выяснить смысл канонических преобразований, задаваемых производящими функциями:а) Φ(r, P) = rP + δaP;б) Φ(r, P) = rP + δϕ[r, P].Здесь r — декартовы координаты, а δa и δϕ — бесконечно малые параметры.36.2. Показать, что каноническое преобразование, задаваемое производящей функциейΦ(x, y, Px , Py ) = xPx + yPy + ε(xy + Px Py ),где ε → 0, представляет собой поворот в фазовом пространстве.§ 37. Канонические преобразования и скобки ПуассонаСуществует тесная связь между каноническими преобразованиямии скобками Пуассона.
В этом разделе мы обсудим два важных свойстваскобок Пуассона. Во-первых, покажем, что скобки Пуассона инвариантны относительно канонических преобразований, а во-вторых, представимпростой и конструктивный способ проверки с помощью так называемыхфундаментальных скобок Пуассона того, является ли данное преобразование каноническим.§ 37. Канонические преобразования и скобки Пуассона15337.1. Инвариантность скобок Пуассона относительно каноническихпреобразованийДокажем, что скобки Пуассона инвариантны относительно канонических преобразований. При этом удобно использовать тот же формальныйприем, что и при доказательстве тождества Якоби в § 35.2.
Пусть f и h —некоторые функции q, p и t. Напомним, что в канонических преобразованиях время есть параметр, и будем далее считать t = const. Положим,что h(q, p, t) есть «гамильтониан» некоторой воображаемой механическойсистемы. Как и в § 35.2, это предположение означает, что развитие qi и piв зависимости от воображаемого «времени» τ (никак не связанного с реальным временем t) определяется «каноническими уравнениями» (35.9), изкоторых можно найти qi и pi как функции τ , а значит, и f (q(τ ), p(τ ), t) какфункцию τ .
При этом в согласии с (35.3) ∂h ∂f∂h ∂fdf−.(37.1)= {h, f }p,q ≡dτ∂pi ∂qi∂qi ∂piiДля канонического преобразования q, p → Q, P вида (36.1), в которое «время» τ явным образом не входит, новый «гамильтониан» естьh (Q, P, t) = h(q(Q, P, t), p(Q, P, t), t),(37.2)и поэтому производная по τ от f (q(Q, P, t), p(Q, P, t), t) задается формулой ∂h ∂fdf∂h ∂f= {h , f }P,Q ≡−.(37.3)dτ∂Pi ∂Qi∂Qi ∂PiiЛевые части формул (1) и (3) совпадают, поэтому совпадают и правые частиэтих соотношений, что с учетом (2) приводит к искомому равенству:{h, f }p,q = {h, f }P,Q .(37.4)37.2. Необходимый и достаточный признак того, что преобразованиеявляется каноническимМы уже отмечали, что определение канонических преобразований,данное в § 36.1, не очень наглядно. Кроме того, оно еще дополнительнои не очень эффективно в том смысле, что с его помощью часто не оченьпросто проверить, что данное преобразование является каноническим.
Поэтому особую важность имеет установление простого и конструктивногоГлава IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА154признака того, что преобразование каноническое. Оказывается, чтобы преобразование q, p → Q, P вида (36.1) было каноническим, необходимо и достаточно выполнение следующих равенств для так называемых фундаментальных скобок Пуассона:{Qi , Qj }p,q = 0,{Pi , Pj }p,q = 0,{Pi , Qj }p,q = δij .(37.5)Если данное преобразование каноническое, то соотношения (5) необходимо следуют из равенств (4). Например: ∂Qi ∂Qj∂Qi ∂Qj−= 0, (37.6){Qi , Qj }p,q = {Qi , Qj }P,Q =∂Pk ∂Qk∂Qk ∂Pkkтак как ∂Ql /∂Pk = 0 из-за независимости канонических координат и импульсов.Сложнее доказывается достаточность. Пусть q, p — канонические переменные, а преобразование к новым переменным Q, P вида (36.1) таково,что для них выполняются соотношения (5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
