1612134389-38f1c0b45e1f51152856fa5b86345f0b (829489), страница 19
Текст из файла (страница 19)
52, в. При возрастании из области отрицательныхзначений амплитуда колебаний меняется по ветви ABC, а в точке C скачком уменьшается до значения, соответствующего точке E на нижней ветвиDEF («срыв» колебаний). При уменьшении из области положительныхзначений амплитуда колебаний меняется по линии F ED и скачком возрастает до значения, соответствующего точке B на резонансной кривой(«жесткое возбуждение» колебаний). Таким образом, амплитуда колебанийв интервале 1 < < 2 может иметь два разных значения в зависимостиот предыстории системы.
Можно показать, что третье значение амплитуды,соответствующее ветви CD, — неустойчиво, а колебания, соответствующиеветвям ABC и F ED, устойчивы.На рис. 53 приведенные выше результаты приближенных аналитических вычислений сопоставляются с численными расчетами движения согласно уравнению (1). Для расчетов выбрана потенциальная энергия математического маятника длины l при малых углах отклонения ϕ = x/l:1124ϕ − ϕ = m ω02 x2 + m βx4 .U = mgl(1 − cos ϕ) ≈ mgl22424Были приняты значенияα = 0,β=−ω026l3,λ = 0.095 ω0 ,f = 0.26 mω02 l.128Глава III. КОЛЕБАНИЯРис. 53. Результаты численных расчетов уравнения (1). Значками «+» отмеченывеличины амплитуды установившихся колебаний при возрастании частоты внешнейсилы γ, значками «o» — при ее уменьшении. В окрестности скачков шаг изменениячастоты уменьшенКривая, полученная путем аналитических расчетов по формуле (7), показана сплошной линией.
Отрицательному значению β отвечает уменьшениечастоты свободных колебаний маятника с ростом амплитуды, поэтому максимум кривой лежит при отрицательном значении . Крестиками показаныамплитуды установившихся колебаний, полученные в результате численного решения уравнений (1) при увеличении частоты внешней силы очень малыми шагами. Ноликами — амплитуды, полученные таким же образом приуменьшении частоты. При изменении частоты вынуждающей силы весьмасущественно было, чтобы фаза этой силы изменялась без скачков. Именноэто обеспечило «прохождение» вдоль резонансной кривой как в сторонуувеличения частоты, так и в сторону уменьшения, поскольку установившиеся значения амплитуды и фазы колебаний x(t) с изменением частотыизменяются мало.В результате наблюдались скачки, описанные выше.
Видно также отличие результатов численного расчета от «предсказаний» аналитическихвычислений (7). Объяснение этого расхождения в том, что при аналитических вычислениях не были учтены вклады высших гармоник, пренебрегатькоторыми при x ∼ l не совсем корректно.§ 31. Параметрический резонансВспомним, как можно раскачивать качели. Самый простой способ —подталкивать их в такт раскачиваниям. В терминах механики это есть§ 31. Параметрический резонанс129использование резонансной внешней силы. Второй способ состоит в том,чтобы в определенные моменты приседать и выпрямляться.
Хорошо известно, что для раскачивания нужно вставать, когда качели находятся в самом нижнем положении, и приседать, когда они максимально отклонены,так что частота приседаний оказывается вдвое больше частоты колебаний.В терминах механики это есть использование резонансного изменения параметра системы — эффективной длины качелей, а само явление называетсяпараметрическим резонансом.Качели с периодически приседающим человеком — это маятник массы m с периодически меняющейся длиной l(t). Используя в качестве координаты угол отклонения от вертикали, который обозначим x, получаемфункцию Лагранжа для малых колебаний (ср.
(12.8))L=ml2 (t) 2 mgl(t) 2ẋ −x22и уравнение движенияd l2 (t) dx + gl(t)x = 0.dtdtПереходя к новому «времени» t по правилу dt = dt/l2 (t), вводя обозначение ω 2 (t ) = gl3 (t) и опуская далее знак штриха, получаем уравнениев видеd2 x + ω 2 (t) x = 0,(31.1)dt2где частота ω(t) меняется периодически по времени.В качестве математической модели раскачивающихся качелей возьмемуравнение (1) с параметром ω 2 (t), зависящим от времени по гармоническому закону:(31.2)ω 2 (t) = ω02 (1 + h cos γt).Соответствующее уравнениеd2 x + ω 2 (1 + h cos γt) x = 00dt2(31.3)называется уравнением Матьё.
Наиболее эффективно качели раскачиваются, если вставать при каждом прохождении минимума и приседать прикаждом максимальном отклонении, что соответствует примерному выполнению равенств γ ≈ 2ω0 .Глава III. КОЛЕБАНИЯ130Выясним условия, при которых существует нарастающее решениеуравнений (3), предполагая, что постоянная h 1. Рассмотрим подробнеепараметрический резонанс при γ = 2ω0 + , где отстройка предполагаетсямалой || ω0 .
Представим вначале уравнение (3) в эквивалентном видеd2 x + ω 2 x = −hω 2 x cos γt.(31.4)00dt2Теперь будем строить его приближенное решение, пользуясь малостью h.Если в начальный момент имеется отличное от нуля собственное колебание(например, x = a cos ω0 t), то правую часть уравнения (4) запишем в виде,соответствующем вынуждающей внешней силе:1−hω02 x cos γt = − hω02 a [cos (ω0 + )t + cos (3ω0 + )t] .2Первое слагаемое в правой части этого равенства можно понимать как резонансную силу (а второе, содержащее третью гармонику, можно отбросить).Это приведет к медленному (в силу малости h) росту амплитуды колебаний.Будем искать решение в видеx(t) = a(t) cos (γt/2) + b(t) sin (γt/2),где a(t) и b(t) — медленно изменяющиеся функции времени. Подставляя этовыражение в уравнение (4), сохраним лишь резонансные слагаемые в правой части, а в левой части пренебрежем малыми вторыми производными äи b̈ по сравнению с первыми.
В итоге получим систему уравнений4ȧ + (2 + hω0 ) b = 0,4ḃ − (2 − hω0 ) a = 0.Если || < hω0 /2, то решение этой системыa(t) = α1 C1 e−st + C2 est ,b(t) = α2 C1 e−st − C2 est ,гдеs = 1 (hω0 )2 − 42 , α1,2 = hω0 ± 2,(31.5)4содержит слагаемые, которые экспоненциально растут со временем.
Решение, отвечающее параметрическому резонансу, имеет видγγx(t) = Cest cost − ϕ + De−st cost+ϕ ,(31.6)22где tg ϕ = α1 /α2 (рис. 54).§ 31. Параметрический резонансРис. 54. Параметрический резонанс131Рис. 55. БиенияТаким образом, колебания, вообще говоря, неограниченно возрастают.Скорость их роста, характеризуемая величиной s, действительно,мала.Если же || > hω0 /2, то величина s = ±(i/4) 42 − (hω0 )2 и амплитуда колебаний не растет, а медленно осциллирует с течением времени(рис. 55).До сих пор мы изучали основной параметрический резонанс на частоте γ ≈ 2ω0 . В рассматриваемом примере раскачивания качелей это соответствует тому, что приседать в верхнем положении качелей и вставать в ихнижнем положении было необходимо дважды за один период колебаниясамих качелей.
Именно при таком способе действия в систему добавляетсяэнергия. Ясно, однако, что раскачать качели можно и в том случае, еслиприседать и вставать только один раз за тот же период или за два периодаколебания качелей и т. д. Иными словами, параметрический резонанс может происходить и на частоте γ ≈ ω0 /n при n 1, правда с меньшейэффективностью, чем на основной частоте γ ≈ 2ω0 (т. е. в более высокихпорядках по h).При учете трения вместо уравнения (3) получаемd2 x + ω 2 (1 + h cos γt)x + 2λ dx = 0.0dtdt2(31.7)Решение этого уравнения, возрастающее со временем, имеет вид (6) сs = 1 (hω0 )2 − 42 − λ.(31.8)4В отличие от случая без трения параметрическая раскачка начинается лишьпри h > 4λ/ω0 .В реальных условиях возрастание амплитуды колебаний прекращается, например, если становится существенной роль ангармонических попра-Глава III.
КОЛЕБАНИЯ132вок (см. [3, задача 8.7]) или обратное влияние колебаний на устройство,периодически изменяющее частоту.Более детальный и математически последовательный разбор этого круга вопросов можно найти в Дополнении C.§ 32. Движение в быстро осциллирующем полеКак известно, у обычного плоского маятника имеется два положения равновесия: нижнее устойчивое и верхнее неустойчивое. В маятникеП. Л. Капицы точка подвеса маятника колеблется в вертикальном направлении. Если частота таких колебаний точки подвеса достаточно высока, точастота медленных колебаний маятника в нижнем положении изменится,а верхнее положение может даже стать устойчивым. Для объяснения этогоявления детали, связанные с устройством маятника несущественны, а важно только, что уравнение его движения может быть записано в видеmẍ = − dU + f (x) cos ωt,dx(32.1)где частота внешней силы ω много больше характерных частот движенияв поле U при отсутствии внешней силы.
При таком разделении частот естественно пытаться искать решение в виде x(t) = X(t) + ξ(t), где считается,что X(t) — медленное среднее движение, на которое наложено высокочастотное дрожание с малой амплитудой ξ(t) = ξ0 cos ωt. Малость амплитудыξ0 позволяет разложить по ней силу в ряд Тейлора и преобразовать уравнение к видуmẌ + mξ¨ = −d2 U (X)df (X)dU (X)+ f (X) cos ωt −ξ cos ωt. (32.2)ξ+2dXdXdXРасщепим это уравнение на два: высокочастотное и низкочастотное.Сначала получим высокочастотное уравнение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
